一元二次方程根的分布练习及答案

1、一元二次方程根的分布一.一元二次方程根的基本分布一一零分布所谓一元二次方程根的 零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根 分布在零的两侧。设一元二次方程2axbx的两个实根为X1 , X2，且X12b 4ac 0x2。【定理11 X1X20 （两个正根）XiX2X1X2推论:XiX2b2 4ac a 0 f(0) ccab2 4ac 00af(0) c 00围。求m的取值范分析：依题意有4(m 1)2 2(m 1) m m14m(m1)0< m <1。b24ac【定理21 X1X2XiX

2、2X1X2推论:XiX2b2 4ac0af(0) cb 02b 4ac 00af(0) c 0 b 0由二次函数图象易知它的正确性。【例21若2kX 3kX k取值范围。（k次30的两根都是负数,12亠或 k>3）5c【定理3】xi 0 X2 0a3kx k0有一个正根和一个负【例3】k在何范围内取值，一元二次方程 kx2 根？分析：依题意有匚3 <o=>o< k<3k【定理4】0 , X2是负根？分析：由已知k - 3=0,.k=3，代入原方程得3x2+5x=0,另一根为负。元二次方程的非零分布 设一元二次方程 ax 数。则一元二次方程根的bxk分布c 0 (即

3、Xi,k分布a 0）的两实根为Xi, X2，且Xi X2。k为常 X2相对于k的位置）有以下若干定理。【定理1】kXib2af (k)b4ac0【定理2】x1kkX2b2a【定理3】Xi推论1推论2XiXiC 03cJfc)cOX2xaca(a0。b c)【定理5】k1Xik2 Pi X2P2f(ki) f(k2) f(Pi) f(P2)00或00f(ki) f(k2) f(Pi) f(P2)0000此定理可直接由定理4推出，请读者自证。b204ac【定理6】k1aXiX2 k2 f (ki)f(k2)b204acki00b2aaf(ki)f(k2)k2k1002" k22a0三、例

4、题与练习【例51已知方程(129 )(12 m 丿4(2 )若一元二次方程0的两实根都大于1，求m的取值范围。(m(m2或 m(3)若一元二次方程1或m2已知方程【例61范围。(2)已知方程X(12(3)已知方程x2式：改为较小实根(4)若方程(5)若方程X2求k的取值范围。mx22晶)mx2 (m1)x1)xx2276)0的两个实根都大于 -1 ,0的两实根都小于2 ,求m的取值范围。求m的取值范围。(m2)32mx22m(m(k243(k(不可能;k12)2)x 2k 1(丄k22m20有一根大于2,另一根比2小，求m的取值 f)0有一实根在0和1之间，求m的取值范围。0的较大实根在120

5、的两实根均在区间(0和1之间，求实数m的取值范围。1、1 )内，求k的取值范围。(6)已知关于x的方程(m0的两根中，一根在2-)31)x2 2mx m20和1之间，另一根在1和2之间,60的两根为m V7)m47或2且满足1 ，求m的取值范围。【例71已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.(1) 若方程有两根，其中一根在区间(2) 若方程两根均在区间(0, 1)内，求m的范围.(-1, 0)内，另一根在区间(1, 2)内，求m的范围.本题重点考查方程的根的分布问题，解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质所 具有的意义.技巧与方法：设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，

6、然后用函数性质加以限制.解：(1)条件说明抛物线 f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(1，0)和(1，2) 内，画出示意图，得mf (0) 2m 10,mf( 1) 2 0,f (1) 4m 20,mf (2) 6m 50m12R,1 二2，56(2)据抛物线与x轴交点落在区间(0, 1)内，列不等式组f(0) 0,f(1) 0,0,0 m 1m1练习：1 于12 '应或m 1 应,0.(这里0< m<1是因为对称轴x= m应在区间(0 , 1)内通过)1. 若方程 4x (m 3)?2x提示：令2x = t转化为关于2. 若关于x的方程lg( x 范围

7、。m 0有两个不相同的实根，求m的取值范围。t的一元二次方程有两个不同的正实根。答案：20x) lg(8x6a3)0有唯一的实根,0< m <1求实数a的取值提示：原方程等价于2x2x20x020x 8x 6a20或 x 012x 6a 30令 f (x) = x2+12x+6a+311(1)若抛物线y = f(x)与x轴相切，有 =144 4(6a+3)=0即a= 2将a =11代入式有 x = 6不满足式， a丰11 o2 2(2)若抛物线y = f(X)与x轴相交，注意到其对称轴 为x= 6,故交点的横坐标有且仅有一个满足式 的充要条件是f( 20)f(0) 0.当俚60解得

8、1631ao621丄时原方程有唯一解。22x +20 x =8 x 6a 3(x< 20 或 x>0)另法：原方程等价于求实数a的取值范围，使直线y=8x 2x +20 x ( x< 20或x >0)有且只有问题转化为：6a 3与抛物线y =一个公共点。虽然两个函数图像都明确，但在什么条件下它们有且 只有一个公共点却不明显，可将变形为X2+12X+3= 6a( x< 20或x>0)，再在同一坐标系中分别也作出抛 物线y = x +12X+3和直线y= 6a ,如图，显然当 3<11Ay' 163A丨20 Xjy01111d6a w 163即 一 a -时直线y = 6a与抛物线有且只有一个公共点。 2a)(x b) 2( a < b )，并且a ,3.已知(<A、6f (x) =( x )，则实数< a <b <b,、的大小关系是(B、a <<< bC、, 是方程)a < <b<f(x) =0的两根< a <<b4.方程 f (x)