二导数与微分部分

1、第二章导数与微分1、利用导数定义求函数极限如果 fx)存在二 lim f(X+ 口) f(X)= fx)口 T口注意：分子中的“口”和分母中的“口”应一致，且符号也相同例1设f(x)在Xo点可导，求下列极限()lim f(X0 +2h)-f(X0 -2h) hm>2h(2 )设 f(x)=t寓叫gX) _g(x)，其中 g(x)有二阶导数，求 f/(x)t-jpc2、利用定义求函数的导数例 2(1)设(X)= f (a)(x a) + f (x)(x a)2，求 W " (a)注意：函数护(x)仅在X = a处存在二阶导数，故求W (a)时不能直接利用求导公式。(2)设周期函数

2、f (X)的周期为5，f (X)可导，且lim f(2)- f(2-x) =1，求曲线y=f(x)在点_j0-2x(-3, f (-3)处的切线方程。(3)设 F(x) = f(sin 护(X)，(0) =a,®(0) =0,3(0) =b，求 F©)3、求含有绝对值的函数和分段函数的导数分析:含有绝对值的函数可转化为分段函数f(x) y H Ag(x)X =a，(1)x>a y' = f /(x)当x<a/ z 、y = g (X)(2)/ "、. f(X)- Ax=a y® 巳學yl(a) = lim g(xAIX - a(3)y

3、/a) = y/ja) = B 则 ya)存在，且 y/(a)=B.否则 ya)不存在(4)写出y/的解析式2 . 1X sin-X(1)已知 f(x)In (1 + x)X c0X = 0 ,求f (x)的导数X >0-10 -(2)设f(x)在点X = 0可导，且F(x)= f(x)(1+ sinx ),求F(x)在点x = 0可导的充要条件(3)已知 f(X)+e bX工0,则f"。)是否存在(4)设 W(X)= max f1 (x), f2(x)，其中 fx) = x +1 , f2(x) = (x +1)2，求 W/(x)4、分段函数在分段点处的导数存在，求待定系数已

4、知y(x) =1f(x) xxa在x =a处可导,求y(x)中的待定系数 ig(x)xca分析：(1) y(x)在 X = a 处可导，则在 X = a 处连续，即 lim f (x) = lim g(x) = f (a) *j4a_a(2)求 y；(a) = lim, y_/(a lim_f(a ,而 y； (a) = yj(a) #I七X - a-IJX - a(3)由*和# ,求待定系数ex例4已知y(x) = lax +bx < 0在x = 0处可导，求a,bX >05、求分段函数的导数，并会讨论导数在分段点处的连续性f(x)Ag(x)> a=a,求y/(x),并讨论

5、yx)的连续性< a分析：(1)先求yx) ;(2)然后讨论yx)在定义域内的连续性例5设f(x)盘肿,x*0问如何选取a,b,c才能使f(x)处处具有一阶连续导数，但在x=0X >0处却不存在二阶导数。6、利用导数求函数例 6( 1 )设 f(x)在(0，+ 8)内有定义，且f'(1) = a(H0),又对VX,严(0- )有f(xy)= f( xp f( y)求 fx)注意：有乘积的，一般令y互为倒数f(x) + f(y)(2)设函数f(x)满足等式f(x+y)=亠工，且 厂(0)存在，求f (x)1 - f(x)f(y)注意：有和的，一般令X、y互为相反数；有差的，一

6、般令x、y相等求导例7 已知 f(x) =(x-1)(x+2)(x+3)(x+100),求 f/(l)。复合函数的求导sin2!fPx 1 -例 8 求导(1) y=e x ； (2)设 y=fi丨,f '(X)= in x3I x+1 丿求反函数的导数I d 2y例 9 设 X = 1 n (y + Jy2 -1)，求 了¥10隐函数的求导例 10 求导(1) (cosx)y=(sin y)x 设y=y(x)是由方程x y+ ey=1所确定的隐函数，求y"(0)。11由参数方程所确定的函数的导数例11求导数dydx(2)=ft + ey =2 jx=a(t-sin

7、t)y = a(1 -cost)12对数求导法求函数的导数 <1> (1)对幕指函数 y =f(x)gg两边取对数 in y =g(x) ”1 n f (x)两边对 X 求导得： y =eX f(X2 +1 n X)； (2)设 y = f (arcsin x) , f '(x) = tan x , y'= g'(x) ”ln f (x g(x) f'(x) yf (X)则 y = f(x)g(x)g/(x) dn f(X)+_g(Q ”f/g f (x)例 12 求导(1) y =Vx ； (2) y = (x2 +sin x)cosx(x-1)(

8、2x +3)<2>多重函数的连乘除，多重根式内商的函数求导例13求导(1) y =3(3x-5)(x-2)13抽象函数的求导例14求导14求高阶导数常见函数的高阶导数(1)=a (a -1) a -2)(a -n +1)x3(2)(ax)(n)=ax| nna,ax、(n)n ax(e )= a-e(6)(In X)(-1)2( n-1)!(5)(sin x)(n)= sin(x + 凹)2(cosx)(n)=cos(x + )2(7)(1)(n) _ (-1) n! a ax + b(ax + b)n*两个函数乘积的n阶导数公式(u v)(n)nk=0k!( n-k)!n!uT例

9、15求高阶导数y(n)(1) y =e2x cos2x求 f(X)=x2 ln(1 +x)在 X=0 的 f (n)(0)。1设f(x)在Xo点可导，求下列极限(1)屛(X0 心X)f(X0)1hh(2)lim0jf(x0+2;)-f(x0-杰)2( 1)设 f (x)在(=,p)上有定义，在 X=a 处可导，且 y = f (a +bx) f(a-bx)，其中 bO，求 yO)设 f(x)在U(0, 6)内有定义，若有 2f(X)=2f(0)-3x + g(x) , lim购=0，求 f 0)。T X设F(x) =xf(x)在X =1处可导，且f=1，求f/(1)3(1)已知f(x)斗x+2

10、| ,求f(X)的导数兀 X 1,+,x>142arctanx, |x|兰 1 求 f'(1), f'(1)。,X£-1兀丄X -1 I 422(1 cosx)设f(X)= 2 >X1 ,1 X2一 f cost2dt, X bX cOx=0 讨论f(X)在x=0处的连续性与可导性。X aO已知g(x)在X=a连续，讨论f(X)=| X-a|g(X)在该点的可导性。设f(x)=|x3-1| ®(x)，其中W(X)在X=1处连续，则f(x)在X=1处可导的条件是什么设F(x)=min fO, f2(x)，定义域为(0,2)，其中f1(x)=x，f2

11、(x) =l，试在其定义域内求 f'(x)。X4已知y(x)=卜X兰1为可导函数，求a,b.ax +bX >1sin X2In (1 +x)<0=0 ,求fx)并讨论fx)的连续性>0(2)|g(x) -r f(X)十 XI 0XH。其中g(x)有二阶连续导数 且g(0)=1,g'(0)= 1,X =0,f'(x); 讨论f x)在(丄C,+=c)内的连续性。f(x) + f(y)6( 1)设f(x)为连续函数，且f'(0)存在，对Vx和y有f(x + y) =1-4f(x)十(y)1 证明对一切X，f(x)可微； 若f '(0)=，求

12、f(x)。2(2) f (x1 +X2)= f ( X1 ) f ( X2 )，且 f / (0) = 1，证明 f /(X)= f (x)丄丄2丄100兀t兀tin兀t7 已知f(t)=(tan -1)(tan -2)川(tan -100)，求 f' (1)。4448 求导(1) y = Jx + Jx + 仮(2) y =cos2(ln x)9 求导(1) sin(xy)+ln( y x) = x(2) In Jx2 + y2.,COSX(3) y =sin()Xy=arcta nX设f(x)为可微函数，且 y2 f (x)+ X f (y)=x2，求dx10已知F/tx 求巴ey

13、-2l nt-1=0 dx11求导设f(x)可导，且(1) =2，求dfM良二dxeX 1dy3X12求n阶导数(1)4y = X cosx设 y = f (尸)，f/(x) =cosx2，求 dX|-0(n>2)。设f(x)有任意阶导数，且 f &) = f2(x)，求f(X)历届高等数学竞赛真题1、1 X求y = m的n阶导数1 +x2、y =arccos学，求 y/X +15.也XT 0时，该函数在点Xo处微分dy是也y的(A )A等价无穷小 B同阶但不等价的无穷小C高阶无穷小 D低阶无穷小(2)设函数f(x)在点x=a处可导，贝y f (x)在点x = a处不可导的充要条

14、件是 (C )A f(a)=0,且 f'(a)=0 B f(a)H0,且 f'(a)=0C f(a)=0,且 f'(a)H0 D f(a)H0,且 f'(a)H0(3)设函数f(x)与g(x)在开区间(a,b)内可导，考虑如下的两个命题：(1)若f(x)Ag(x)，f'(xp-g'(x) ；(2)若 f'(x) Ag'(x)，则 f (xp-g(x)。则(B )A两个命题均正确C命题(1)正确，命题(2)不正确B两个命题均不正确D命题(1)不正确，命题(2)正确(4 )设函数f(x)在Xo的一个领域内有定义，则在Xo点处存在连续函

15、数g(x)使f(X)- f (x0) =(x -x0)g(x)是 f(X)在 X)点处可导的(C)A充分而非必要条件B必要而非充分条件C充分必要条件D既非充分，也非必要则 f (X)(5)设函数f (x)对任意X都满足f(x+1)=af(x)，且f'(0) =b，其中a,b均为非零常数,在X =1处()不可导 B可导，且f (1)=a C可导，且f (1)=b D可导，且f (1) = absecx6、设y = Jcscxarctant dt，求dy7、设/_u2X = f e du0t 4 丄 y = Jo(u4 +1) 2 dudxd2ydx2& (1)设函数y = y(x

16、)由参数方程严2xT+2t2,Od V1H2lnteu(t >1)所确定，求一2|y = redu；'dx2I 1 u'1xz9I X = d sin 2t(2)曲线etsin2t，在点(0,1)处的法线方程为 .y = e costdydxX = f (t)兀(3)设函数y=y(x)由参数方程彳-3t'所确定，其中f可导，且f'(0)H0，求.y=f(e -1),(5)设摆线方程为X-t -sint，则此曲线在t =上处的法线方程为ly = 1-cost3(6)设函数y =y(x)由方程eX为cos(xy) =0所确定，则9、(1)设函数f(x)在点的某邻域内具有二阶导数，且lim/1 +xX+ f(X)X /1下3=e o求 f (0), f (0), f (0) o半(x)-COSXxo(2)设函数f(x)= X , xhO，其中护(X)具有连续二阶导函数，且 叫0)=1。确定i a,X = 0a的值，使f(x)在点x=0处可导，并求f'(x)。讨论f'(x)在点x = 0处的连续性。1 _ x()(0 )。( 2)设 y = x + xX，求10、( 1)设 f (X) = arc tan，求 f(n)1 + xf 11Ia cos11、设 a 为实数，f(x) =