数列高考题汇编(共48页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业高考数学经典试题分类汇编高考数学经典试题分类汇编数列数列一、选择题1.（2009 福建卷理）等差数列na的前 n 项和为nS，且3S =6，1a=4， 则公差 d 等于A1 B 53 C.- 2 D 3【答案】：C解析31336()2Saa且3112 =4 d=2aad a.故选 C . 2.(2009 年广东卷文)已知等比数列na的公比为正数，且3a9a=225a，2a=1，则1a= A. 21 B. 22 C. 2 D.2 【答案】B【解析】设公比为q,由已知得22841112a qa qa q,即22q ,又因为等比数列na的公比为正数，所以2q

2、 ,故211222aaq,选 B3.（2009 广东卷 理）已知等比数列na满足0,1,2,nan，且25252 (3)nnaan，则当1n 时，2123221logloglognaaa A. (21)nn B. 2(1)n C. 2n D. 2(1)n【解析】由25252 (3)nnaan得nna222，0na，则nna2， 3212loglogaa 2122) 12(31lognnan ，选 C. 4.（2009 安徽卷文）已知为等差数列，则等于精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业A. -1 B. 1 C. 3 D.7【解析】135105aaa 即33105a 335a 同理可得43

3、3a 公差432daa 204(204)1aad .选 B。【答案】B5.（2009 江西卷文）公差不为零的等差数列na的前n项和为nS.若4a是37aa与的等比中项, 832S ,则10S等于 A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 . 答案：C【解析】由2437aa a得2111(3 )(2 )(6 )adad ad得1230ad,再由81568322Sad得 1278ad则12,3da ,所以1019010602Sad,.故选 C6.（2009 湖南卷文）设nS是等差数列 na的前 n 项和，已知23a ，611a ，则7S等于【 C 】A13 B35 C49 D 63 解: 1

4、72677()7()7(3 11)49.222aaaaS故选 C.或由21161315112aadaaadd, 71 6 213.a 所以1777()7(1 13)49.22aaS故选 C.7.（2009 辽宁卷文）已知 na为等差数列，且7a24a1, 3a0,则公差 d（A）2 （B）12 （C）12 （D）2【解析】a72a4a34d2(a3d)2d1 d12【答案】B精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业8.（2009 辽宁卷理）设等比数列 na的前 n 项和为nS ，若 63SS=3 ，则 69SS = （A） 2 （B） 73 （C） 83 （D）3【解析】设公比为 q ,则3

5、6333(1)Sq SSS1q33 q32 于是63693112471123SqqSq . 【答案】B9.（2009 宁夏海南卷理）等比数列 na的前 n 项和为ns，且 41a，22a，3a成等差数列。若1a=1，则4s=（A）7 （B）8 （3）15 （4）16解析：41a，22a，3a成等差数列，22132111444,44,440,215aaaaa qa qqqq即，S,选 C.10.（2009 四川卷文）等差数列na的公差不为零，首项1a1，2a是1a和5a的等比中项，则数列的前 10 项之和是 A. 90 B. 100 C. 145 D. 190【答案答案】B【解析解析】设公差为d

6、，则)41 (1)1 (2dd.d0，解得d2，10S10011.（2009 湖北卷文）设,Rx记不超过x的最大整数为x,令x=x-x，则 215 ，215 ,215 A.是等差数列但不是等比数列 B.是等比数列但不是等差数列C.既是等差数列又是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列【答案】B精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业【解析】可分别求得515122 ，5112 .则等比数列性质易得三者构成等比数列.12.（2009 湖北卷文）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如： . 他们研究过图 1 中的 1，3，6，10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类

7、似地，称图 2 中的 1，4，9，16这样的数成为正方形数。下列数中及时三角形数又是正方形数的是A.289 B.1024 C.1225 D.1378【答案】C【解析】由图形可得三角形数构成的数列通项(1)2nnan ，同理可得正方形数构成的数列通项2nbn ，则由2nbn ()nN 可排除 A、D，又由(1)2nnan 知na必为奇数，故选 C.13.（2009 宁夏海南卷文）等差数列 na的前 n 项和为nS，已知2110mmmaaa，2138mS,则m （A）38 （B）20 （C）10 （D）9 . 【答案】C【解析】因为 na是等差数列，所以，112mmmaaa，由2110mmmaaa

8、，得：2ma2ma0，所以，ma2，又2138mS，即2)(12(121maam38，即精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业（2m1）238，解得 m10，故选.C。14.（2009 重庆卷文）设 na是公差不为 0 的等差数列，12a 且136,a a a成等比数列，则 na的前n项和nS=（ ） A2744nn B2533nn C2324nnD2nn【答案】A解析设数列na的公差为d，则根据题意得(22 )22 (25 )dd，解得12d 或0d （舍去） ，所以数列na的前n项和2(1)1722244nn nnnSn15.（2009 安徽卷理）已知 na为等差数列，1a+3a+5a

9、=105，246aaa=99，以nS表示 na的前n项和，则使得nS达到最大值的n是 （A）21 （B）20 （C）19 （D） 18 解析：由1a+3a+5a=105 得33105,a 即335a ，由246aaa=99 得4399a 即433a ，2d ，4(4) ( 2)41 2naann ，由100nnaa得20n ，选 B16.（2009 江西卷理）数列na的通项222(cossin)33nnnan，其前n项和为nS，则30S为A470 B490 C495 D510答案：A【解析】由于22cossin33nn以 3 为周期,故2222222223012452829(3 )(6 )(3

10、0 )222S 221010211(32)(31)59 10 11(3 ) 925470222kkkkkk故选 A17.（2009 四川卷文）等差数列na的公差不为零，首项1a1，2a是1a和5a的等比中项，则数列的前 10 项之和是 A. 90 B. 100 C. 145 D. 190 . 【答案答案】B【解析解析】设公差为d，则)41 (1)1 (2dd.d0，解得d2，10S100精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业二、填空题1.（2009 全国卷理） 设等差数列 na的前n项和为nS，若972S ,则249aaa= 。解: na是等差数列,由972S ,得599,Sa58a 24

11、92945645()()324aaaaaaaaaa. 2.（2009 浙江理）设等比数列na的公比12q ，前n项和为nS，则44Sa 答案：15【解析】对于4431444134(1)1,151(1)aqsqsaa qqaqq3.（2009 浙江文）设等比数列na的公比12q ，前n项和为nS，则44Sa 【命题意图】此题主要考查了数列中的等比数列的通项和求和公式，通过对数列知识点的考查充分体现了通项公式和前n项和的知识联系【解析】对于4431444134(1)1,151(1)aqsqsaa qqaqq . 4.（2009 浙江文）设等差数列na的前n项和为nS，则4S，84SS，128SS，

12、1612SS成等差数列类比以上结论有：设等比数列 nb的前n项积为nT，则4T， ， ，1612TT成等比数列答案： 81248,TTTT【命题意图】此题是一个数列与类比推理结合的问题，既考查了数列中等差数列和等比数列的知识，也考查了通过已知条件进行类比推理的方法和能力. 【解析】对于等比数列，通过类比，有等比数列 nb的前n项积为nT，则4T，81248,TTTT，1612TT成等比数列5.（2009 北京文）若数列na满足：111,2()nnaaa nN，则5a ；前8 项的和8S .（用数字作答）.w【解析解析】本题主要考查简单的递推数列以及数列的求和问题.m 属于基础知识、基本运算的精

13、选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业考查.1213243541,22,24,28,216aaaaaaaaa，易知88212552 1S，应填 255.6.（2009 北京理）已知数列na满足：434121,0,N ,nnnnaaaa n则2009a_；2014a=_.【答案答案】1，0【解析解析】本题主要考查周期数列等基础知识.属于创新题型.依题意，得20094 503 31aa，20142 100710074 252 10aaaa. . 应填 1，0.7.（2009 江苏卷）设 na是公比为q的等比数列，| 1q ，令1(1,2,)nnban，若数列 nb有连续四项在集合53, 23,1

14、9,37,82中，则6q= . 【解析】 考查等价转化能力和分析问题的能力。等比数列的通项。 na有连续四项在集合54, 24,18,36,81，四项24,36, 54,81成等比数列，公比为32q ，6q= -98.(2009 山东卷文)在等差数列na中,6, 7253aaa,则_6a.【解析】:设等差数列na的公差为d,则由已知得6472111dadada解得132ad,所以61513aad. 答案:13.【命题立意】:本题考查等差数列的通项公式以及基本计算.9.（2009 全国卷文）设等比数列na的前 n 项和为ns。若3614, 1ssa，则4a= 答案：答案：3解析：本题考查等比数列

15、的性质及求和运算，由解析：本题考查等比数列的性质及求和运算，由3614, 1ssa得 q3=3 故 a4=a1q3=3。10.(2009 湖北卷理)已知数列 na满足：1am（m 为正整数） ，精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业1,231,nnnnnaaaaa当为偶数时，当为奇数时。若6a 1，则 m 所有可能的取值为_。. 11.【答案】4 5 32【解析】 （1）若1am为偶数，则12a为偶, 故223 a224amma 当4m仍为偶数时，46832mmaa 故13232mm 当4m为奇数时，4333114aam 63144ma故31414m得 m=4。（2）若1am为奇数，则21

16、3131aam 为偶数，故3312ma必为偶数63116ma，所以3116m=1 可得 m=512.（2009 全国卷理）设等差数列 na的前n项和为nS，若535aa则95SS 9 . 解解： na为等差数列，9553995SaSa13.（2009 辽宁卷理）等差数列 na的前n项和为nS，且53655,SS则4a 【解析】Snna112n(n1)d . S55a110d,S33a13d 6S55S330a160d(15a115d)15a145d15(a13d)15a4【答案】3114.（2009 宁夏海南卷理）等差数列na前 n 项和为nS。已知1ma+1ma-2ma=0，21mS=38,

17、则 m=_解析：由1ma+1ma-2ma=0 得到1212212120,0,22138102mmmmmmmaaaaaSmam又。答案 10精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业15.（2009 陕西卷文）设等差数列 na的前 n 项和为ns,若6312as,则na . . 答案:2n解析:由6312as可得 na的公差 d=2,首项1a=2,故易得na 2n.16.(2009 陕西卷理)设等差数列 na的前 n 项和为nS,若6312aS,则2limnnSn .答案：1611223112512211(1)limlim112122nnnnnaadaSSnnSn nsaddnnnn解析：17.

18、（2009 宁夏海南卷文）等比数列na的公比0q , 已知2a=1，216nnnaaa，则na的前 4 项和4S= . 【答案】152【解析】由216nnnaaa得：116nnnqqq，即062 qq，0q ，解得：q2，又2a=1，所以，112a ，21)21 (2144S152。18.(2009 湖南卷理)将正ABC 分割成n2（n2，nN）个全等的小正三角形（图 2，图 3 分别给出了 n=2,3 的情形） ，在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于ABC 的三遍及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于 3 时）都分别一次成等差数列，若顶点 A ,B ,C 处的三个数互不相同且和为

19、1,记所有顶点上的数之和为 f(n)，则有 f(2)=2，f(3)= 103，f(n)= 16(n+1)(n+2) . 【答案】：10 1,(1)(2)36nn【解析】当 n=3 时，如图所示分别设各顶点的数用小写字母表示，即由条件知1212121,abcxxab yybc zzca精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业1212121221122()2,2xxyyzzabcgxyxzyz12121262()2gxxyyzzabc . 即12121211110(3)13233gfabcxxyyzzg 而进一步可求得(4)5f。由上知(1)f中有三个数，(2)f中 有 6 个数，(3)f中共有

20、 10 个数相加 ，(4)f中有 15 个数相加.，若(1)f n中有1(1)nan个数相加，可得( )f n中有1(1)nan个数相加，且由363331045(1)1,(2)(1),(3)(2),(4)5(3),.3333333fffffff 可得1( )(1),3nf nf n所以11113( )(1)(2).(1)3333333nnnnnnf nf nf nf=113211(1)(2)3333336nnnnn19.（2009 重庆卷理）设12a ，121nnaa，21nnnaba，*nN，则数列 nb的通项公式nb= . 【答案】:12n【解析】由条件得111112222222111nn

21、nnnnnnaaabbaaa且14b 所以数列 nb是首项为 4，公比为 2 的等比数列，则114 22nnnb三、解答题1.(2009 年广东卷文)（本小题满分 14 分）已知点（1，31）是函数, 0()(aaxfx且1a）的图象上一点，等比数列na的前n项和为cnf)(,数列nb)0(nb的首项为c，且前n项和nS满足nS1nS=nS+1nS（2n ）.（1）求数列na和nb的通项公式；精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业（2）若数列11nnbb前n项和为nT，问nT20091000的最小正整数n是多少? . 【解析】 （1） 113faQ, 13xf x 1113afcc , 2

22、21afcfc29 , 323227afcfc .又数列 na成等比数列，22134218123327aaca ，所以 1c ；又公比2113aqa，所以12 1123 33nnna *nN ；1111nnnnnnnnSSSSSSSSQ 2n 又0nb ,0nS , 11nnSS；数列 nS构成一个首相为 1 公差为 1 的等差数列，111nSnn ， 2nSn当2n ， 221121nnnbSSnnn ；21nbn(*nN)；（2）1 22 33 411111nnnTbbb bb bb bL11111 33 55 7(21)21nnK 111 111 111111232 352 572 21

23、21nnK 11122121nnn； 由1000212009nnTn得10009n ，满足10002009nT 的最小正整数为 112.2.（2009 全国卷理） （本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上作答无效）注意：在试题卷上作答无效）在数列na中，11111,(1)2nnnnaaan （I）设nnabn，求数列 nb的通项公式精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业 （II）求数列na的前n项和nS分析分析：（I）由已知有1112nnnaann112nnnbb 利用累差迭加即可求出数列 nb的通项公式: 1122nnb(*nN)（II）由（I）知122nnnan,nS=11(2)2

24、nkkkk111(2 )2nnkkkkk而1(2 )(1)nkkn n,又112nkkk是一个典型的错位相减法模型，易得1112422nknkkn nS=(1)n n1242nn评析评析：09 年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求前 n 项和，一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。3.（2009 浙江文） （本题满分 14 分）设nS为数列na的前n项和，2nSknn，*nN，其中k是常数 （I） 求1a及na；

25、 （II）若对于任意的*mN，ma，2ma，4ma成等比数列，求k的值解析：（）当1, 111kSan， 12)1() 1(, 2221kknnnknknSSannnn（） 经验，, 1n（）式成立， 12kknan （）mmmaaa42,成等比数列，mmmaaa422.，即) 18)(12() 14(2kkmkkmkkm，整理得：0) 1(kmk，对任意的 Nm成立， 10kk或4.（2009 北京文） （本小题共 13 分）设数列na的通项公式为(,0)napnq nNP. 数列 nb定义如下：对于正整数 m，mb是使得不等式nam成立的所有 n 中的最小值.精选优质文档-倾情为你奉上专心

26、-专注-专业（）若11,23pq ，求3b；（）若2,1pq ，求数列mb的前 2m 项和公式；（）是否存在 p 和 q，使得32()mbmmN？如果存在，求 p 和 q 的取值范围；如果不存在，请说明理由.【解析解析】本题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想方法本题是数列与不等式综合的较难层次题.（）由题意，得1123nan，解11323n，得203n . . 11323n成立的所有 n 中的最小整数为 7，即37b . （）由题意，得21nan，对于正整数，由nam，得12mn.根据mb的定义可知当21mk时，*mbk kN；当2mk时，*1m

27、bkkN. 1221321242mmmbbbbbbbbb 1232341mm 213222m mm mmm.（）假设存在 p 和 q 满足条件，由不等式pnqm及0p 得mqnp.32()mbmmN,根据mb的定义可知，对于任意的正整数 m 都有3132mqmmp ，即231pqpmpq 对任意的正整数 m 都成立. 当310p （或310p ）时，得31pqmp （或231pqmp ） ， 这与上述结论矛盾！精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业 当310p ，即13p 时，得21033qq ，解得2133q . 存在 p 和 q，使得32()mbmmN；p 和 q 的取值范围分别是13

28、p ，2133q . . 5.（2009 北京理） （本小题共 13 分） 已知数集1212,1,2nnAa aaaaa n具有性质P；对任意的,1i jijn ，ija a与jiaa两数中至少有一个属于A.（）分别判断数集1,3,4与1,2,3,6是否具有性质P，并说明理由；（）证明：11a ，且1211112nnnaaaaaaa；（）证明：当5n 时，12345,a a a a a成等比数列.【解析解析】本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分分类讨论等数学思想方法本题是数列与不等式的综合题，属于较难层次题.（）由于3 4与43均不属于数集1,3,4，该数集不具有性

29、质 P. 由于6 6 1 2 3 61 2,1 3,1 6,2 3, ,2 3 1 2 3 6都属于数集1,2,3,6， 该数集具有性质 P. （）12,nAa aa具有性质 P，nna a与nnaa中至少有一个属于 A，由于121naaa，nnna aa，故nna aA. . 从而1nnaAa，11a .121naaa， knna aa，故2,3,kna aA kn. 由 A 具有性质 P 可知1,2,3,nkaA kna.又121nnnnnnaaaaaaaa，211211,nnnnnnnnaaaaaaaaaaa，精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业从而121121nnnnnnnnaa

30、aaaaaaaaaa，1211112nnnaaaaaaa. . （）由（）知，当5n 时，有552343,aaaaaa，即25243aa aa， 1251aaa，34245a aa aa，34a aA，由 A 具有性质 P 可知43aAa. 2243a aa，得3423aaAaa，且3221aaa，34232aaaaa，534224321aaaaaaaaa，即12345,a a a a a是首项为 1，公比为2a成等比数列.k.s.5.6.（2009 江苏卷） （本小题满分 14 分） 设 na是公差不为零的等差数列，nS为其前n项和，满足222223457,7aaaaS。（1）求数列 na的

31、通项公式及前n项和nS； （2）试求所有的正整数m，使得12mmma aa为数列 na中的项。 【解析】 本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识，考查运算和求解的能力。满分 14 分。（1）设公差为d，则22222543aaaa，由性质得43433 ()()d aad aa，因为0d ，所以430aa，即1250ad，又由77S 得176772ad，解得15a ，2d ,(2) （方法一）12mmma aa=(27)(25)23mmm,设23mt， 则12mmma aa=(4)(2)86ttttt , 所以t为 8 的约数精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业（方法二）因为12222

32、22(4)(2)86mmmmmmmma aaaaaaa为数列 na中的项，故m+28 a为整数，又由（1）知：2ma为奇数，所以2231,1,2mamm 即经检验，符合题意的正整数只有2m 。. 7.（2009 江苏卷） （本题满分 10 分）对于正整数n2，用nT表示关于x的一元二次方程220 xaxb有实数根的有序数组( , )a b的组数，其中,1,2,a bn（a和b可以相等） ；对于随机选取的,1,2,a bn（a和b可以相等） ，记nP为关于x的一元二次方程220 xaxb有实数根的概率。（1）求2nT和2nP；（2）求证：对任意正整数n2，有11nPn .【解析】 必做题必做题本

33、小题主要考查概率的基本知识和记数原理，考查探究能力。满分 10 分。 . 8.(2009 山东卷理)（本小题满分 12 分）精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业等比数列na的前 n 项和为nS， 已知对任意的nN ，点( ,)nn S，均在函数(0 xybr b且1, ,bb r均为常数)的图像上.（1）求 r 的值； （11）当 b=2 时，记 22(log1)()nnbanN . 证明：对任意的nN ，不等式12121111nnbbbnbbb成立解:因为对任意的nN,点( ,)nn S，均在函数(0 xybr b且1, ,bb r均为常数的图像上.所以得nnSbr,当1n 时,11a

34、Sbr,当2n 时,1111()(1)nnnnnnnnaSSbrbrbbbb ,又因为na为等比数列,所以1r ,公比为b,1(1)nnabb（2）当 b=2 时，11(1)2nnnabb, 1222(log1)2(log 21)2nnnban则1212nnbnbn,所以12121113 5 7212 4 62nnbbbnbbbn . 下面用数学归纳法证明不等式12121113 5 72112 4 62nnbbbnnbbbn成立. 当1n 时,左边=32,右边=2,因为322,所以不等式成立. 假设当nk时不等式成立,即12121113 5 72112 4 62kkbbbkkbbbk成立.则当

35、1nk时,左边=11212111113 5 721 232 4 6222kkkkbbbbkkbbbbkk2223(23)4(1)4(1) 111(1) 1(1) 1224(1)4(1)4(1)kkkkkkkkkkk 所以当1nk时,不等式也成立. . 由、可得不等式恒成立.【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知nS求na的基本题型,并运用数学归纳法证明与自然数有关的命题,以及放缩法证明不等式.9.(2009 山东卷文)（本小题满分 12 分）精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业等比数列na的前 n 项和为nS， 已知对任意的nN ，点( ,)nn S，均在函数(0

36、 xybr b且1, ,bb r均为常数)的图像上. （1）求 r 的值； （11）当 b=2 时，记 1()4nnnbnNa 求数列 nb的前n项和nT解:因为对任意的nN,点( ,)nn S，均在函数(0 xybr b且1, ,bb r均为常数)的图像上.所以得nnSbr,当1n 时,11aSbr, 当2n 时,1111()(1)nnnnnnnnaSSbrbrbbbb ,又因为na为等比数列, 所以1r , 公比为b, 所以1(1)nnabb（2）当 b=2 时，11(1)2nnnabb, 1111144 22nnnnnnnba则234123412222nnnT34512123412222

37、22nnnnnT 相减,得23451212111112222222nnnnT 31211(1)112212212nnn12311422nnn所以113113322222nnnnnnT【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知nS求na的基本题型,并运用错位相减法求出一等比数列与一等差数列对应项乘积所得新数列的前n项和nT.10.（2009 全国卷文） （本小题满分 10 分）. 已知等差数列na中，, 0,166473aaaa求na前 n 项和ns. . 解析：本题考查等差数列的基本性质及求和公式运用能力，利用方程的思想可求解。解析：本题考查等差数列的基本性质及求和公式运用

38、能力，利用方程的思想可求解。精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业解：设 na的公差为d，则. 11112616350adadadad 即22111812164adadad 解得118,82,2aadd 或因此819819nnSnn nn nSnn nn n ，或11.（2009 广东卷 理） （本小题满分 14 分）. 已知曲线22:20(1,2,)nCxnxyn从点( 1,0)P 向曲线nC引斜率为(0)nnk k 的切线nl，切点为(,)nnnP xy（1）求数列nnxy与的通项公式；（2）证明：1352112sin1nnnnnxxxxxxxy.解：（ 1）设直线nl：) 1( xk

39、yn，联立0222ynxx得0)22()1 (2222nnnkxnkxk，则0)1 (4)22(2222nnnkknk，12 nnkn（12 nn舍去）. 22222) 1(1nnkkxnnn，即1nnxn，112) 1(nnnxkynnn（2）证明： 121111111nnnnnxxnn . 12112125331212432112531 nnnnnxxxxn精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业nnnxxxxxx 1112531由于nnnnxxnyx11121，可令函数xxxfsin2)(，则xxfcos21)(，令0)(xf，得22cosx，给定区间)4, 0(，则有0)(xf，则函

40、数)(xf在)4, 0(上单调递减，0)0()( fxf，即xxsin2在)4, 0(恒成立，又4311210n，则有121sin2121nn，即nnnnyxxxsin211. . 12.（2009 安徽卷理） （本小题满分（本小题满分 13 分）分）首项为正数的数列 na满足211(3),.4nnaanN （I）证明：若1a为奇数，则对一切2,nna都是奇数；（II）若对一切nN都有1nnaa，求1a的取值范围.解：本小题主要考查数列、数学归纳法和不等式的有关知识，考查推理论证、抽象概括、运算求解和探究能力，考查学生是否具有审慎思维的习惯和一定的数学视野。本小题满分13 分。解：（I）已知1

41、a是奇数，假设21kam是奇数，其中m为正整数，则由递推关系得213(1) 14kkaam m是奇数。 根据数学归纳法，对任何nN，na都是奇数。（II） （方法一）由11(1)(3)4nnnnaaaa知，1nnaa当且仅当1na 或3na 。另一方面，若01,ka则11 3014ka；若3ka ，则21333.4ka根据数学归纳法，1101,01,;33,.nnaanNaanN 综合所述，对一切nN都有1nnaa的充要条件是101a或13a 。精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业（方法二）由21213,4aaa得211430,aa于是101a或13a 。22111133()(),444

42、nnnnnnnnaaaaaaaa 因为21130,4nnaaa所以所有的na均大于 0，因此1nnaa与1nnaa同号。根据数学归纳法，nN ，1nnaa与21aa同号。 因此，对一切nN都有1nnaa的充要条件是101a或13a 。13.（2009 安徽卷文）（本小题满分 12 分）已知数列 的前 n 项和，数列的前 n 项和（）求数列与的通项公式；（）设，证明：当且仅当 n3 时， . 【思路】由11 (1) (2)nnanassn 可求出nnab和 和，这是数列中求通项的常用方法之一，在求出nnab和 和后，进而得到nc ，接下来用作差法来比较大小，这也是一常用方法。【解析】(1)由于1

43、14as当2n 时, 221(22 )2(1)2(1)4nnnassnnnnn*4 ()man nN又当xn时11(26 )(2)nnnmmbTTb12nnbb数列nb项与等比数列,其首项为 1,公比为1211( )2nnb . (2)由(1)知22111116( )2nnCabn2(1) 121221116(1)( )(1)21216( )2nnnnnCnCnn由21(1)112nnCnCn得即221012nnn 即3n 又3n 时2(1)212nn成立,即11nnCC由于0nC 恒成立. . 因此,当且仅当3n 时, 1nnCC精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业14.（2009 江

44、西卷文） （本小题满分 12 分）数列na的通项222(cossin)33nnnan，其前 n 项和为nS. (1) 求nS; (2) 3,4nnnSbn求数列nb的前 n 项和nT.解: (1) 由于222cossincos333nnn,故312345632313222222222()()()1245(32)(31)(3 )(6 )(3 ) )222kkkkSaaaaaaaaakkk 1331185(94)2222kkk,3133(49 ),2kkkkkSSa2323131(49 )(31)1321,22236kkkkkkkSSak 故 1,3236(1)(1 3 ),316(34),36n

45、nnknnSnknnnk (*kN)(2) 394,42 4nnnnSnbn21 132294,2 444nnnT 112294413,244nnnT两式相减得1232199199941941944313138,12444242214nnnnnnnnnnT故 2321813.33 22nnnnT15.（2009 江西卷理） （本小题满分 14 分）各项均为正数的数列na，12,aa ab，且对满足mnpq的正整数, , ,m n p q都精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业有.(1)(1)(1)(1)pqmnmnpqaaaaaaaa（1）当14,25ab时，求通项;na . （2）证明：

46、对任意a，存在与a有关的常数，使得对于每个正整数n，都有1.na解：（1）由(1)(1)(1)(1)pqmnmnpqaaaaaaaa得121121.(1)(1)(1)(1)nnnnaaaaaaaa将1214,25aa代入化简得. 1121.2nnnaaa所以11111,13 1nnnnaaaa . 故数列11nnaa为等比数列，从而11,13nnnaa即31.31nnna可验证，3131nnna满足题设条件.(2) 由题设(1)(1)mnmnaaaa的值仅与mn有关,记为,m nb则111.(1)(1)(1)(1)nnnnnaaaabaaaa . 考察函数 ( )(0)(1)(1)axf xx

47、ax,则在定义域上有. 精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业1,111( )( ),12,011aaf xg aaaaa故对*nN， 1( )nbg a恒成立. . 又 222( )(1)nnnabg aa,注意到10( )2g a,解上式得1( )1 2 ( )1( )1 2 ( )( ),( )( )1( )1 2 ( )ng ag ag ag ag aag ag ag ag a取1( )1 2 ( )( )g ag ag a,即有 1.na. . 16.（2009 天津卷文） （本小题满分 12 分）已知等差数列na的公差 d 不为 0，设121nnnqaqaaS*1121, 0,

48、) 1(NnqqaqaaTnnnn（）若15, 1, 131Saq ,求数列na的通项公式；（）若3211,SSSda且成等比数列，求 q 的值。（）若*2222,1)1 (2)1 (1, 1NnqqdqTqSqqnnn）证明（【答案】 （1）34 nan（2）2q（3）略【解析】 （1）解：由题设，15, 1, 1,)2()(3121113SaqqdaqdaaS将代入解得4d，所以34 nan*Nn （2）解：当32123211,32,2,SSSdqdqdSdqdSdSda成等比数列，所以3122SSS，即)32222dqdqdddqd（）（，注意到0d，整理得2q（3）证明：由题设，可得1

49、nnqb，则精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业12223212nnnqaqaqaaS 12223212nnnqaqaqaaT -得，)(212234222nnnnqaqaqaTS+得，)(2221223122nnnnqaqaqaTS 式两边同乘以 q，得)(2)(221223122nnnnqaqaqaTSq所以22123221)1 (2)(2)1 ()1 (qqdqqqqdTqSqnnnn（3）证明：nlklklkbaabaabaaccnn)()()(212121211=11122111)()()(nnnqdblkqdblkdblk因为0, 01bd，所以12211121)()()(n

50、nnqlkqlklkdbcc若nnlk ，取 i=n，若nnlk ，取 i 满足iilk ，且jjlk ，nji1由（1） （2）及题设知，ni 1，且12211121)()()(nnnqlkqlklkdbcc . 当iilk 时，1iilk，由nq ，1,2 , 1, 1iiqlkii即111qlk，),1()(22qqqlk2211) 1()(iiiiqqqlk所以111) 1() 1() 1() 1(1112121iiiiqqqqqqqqqqdbcc因此021cc 当iilk 时，同理可得, 1121dbcc因此021cc . 精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业综上，21cc 【

51、考点定位】本小题主要考查了等差数列的通项公式，等比数列通项公式与前 n 项和等基本知识，考查运算能力和推理论证能力和综合分析解决问题的能力。17.(2009 湖北卷理)（本小题满分 13 分）（注意：在试题卷上作答无效）（注意：在试题卷上作答无效）已知数列 na的前 n 项和11( )22nnnSa （n 为正整数） 。（）令2nnnba，求证数列 nb是等差数列，并求数列 na的通项公式；（）令1nnncan，12.nnTccc试比较nT与521nn的大小，并予以证明。19.解析：（I）在11( )22nnnSa 中，令 n=1，可得1112nSaa ，即112a 当2n 时，2111111

52、1( )2( )22nnnnnnnnnSaaSSaa ，11n1112a( ),212nnnnnaaan即2. 112,1,n21nnnnnnbabbbn即当时，b. . 又1121,ba 数列nb是首项和公差均为 1 的等差数列. 于是1 (1) 12,2nnnnnnbnnaa .(II)由（I）得11(1)( )2nnnncann，所以23111123 ( )4 ( )(1)( )2222nnTn K2341111112 ( )3 ( )4 ( )(1)( )22222nnTn K由-得231111111 ( )( )( )(1)( )22222nnnTn K 111111 ( )1334

53、21(1)( )122212332nnnnnnnnT 535(3)(221)3212212 (21)nnnnnnnnnTnnn于是确定521nnTn与的大小关系等价于比较221nn与的大小精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业由234522 1 1;22 2 1;22 3 1;22 4 1;22 5; K 可猜想当3221.nnn时，证明如下：证法 1：（1）当 n=3 时，由上验算显示成立。（2）假设1nk时122 22(21)422(1) 1 (21)2(1) 1kkkkkkk g所以当1nk时猜想也成立综合（1） （2）可知 ，对一切3n 的正整数，都有221.nn证法 2：当3n

54、时01210112(1 1)2221nnnnnnnnnnnnnnnCCCCCCCCCnnK综上所述，当1,2n 时521nnTn，当3n 时521nnTn18.（2009 四川卷文） （本小题满分 14 分）设数列 na的前n项和为nS，对任意的正整数n，都有51nnaS成立，记*4()1nnnabnNa。 （I）求数列 na与数列 nb的通项公式；（II）设数列 nb的前n项和为nR，是否存在正整数k，使得4nRk成立？若存在，找出一个正整数k；若不存在，请说明理由；（III）记*221()nnncbbnN，设数列 nc的前n项和为nT，求证：对任意正整数n都有32nT ；【解析解析】 （I

55、）当1n时，111151,4 aSa 又1151,51nnnnaSaS11115,4即 nnnnnaaaaa数列 na是首项为114 a，公比为14 q的等比数列，1()4 nna，*14()4()11 ()4 nnnbnN 3 分精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业（II）不存在正整数k，使得4nRk成立。证明：由（I）知14()5441( 4)11 ()4 nnnnb 2122125552015 16408888.( 4)1( 4)1161164(161)(164)kkkkkkkkkbb当 n 为偶数时，设2 ()nm mN 1234212()()()84nmmRbbbbbbmn当

56、n 为奇数时，设21()nmmN1234232221()()()8(1)4844nmmmRbbbbbbbmmn对于一切的正整数 n，都有4nRk 不存在正整数k，使得4nRk成立。 8 分（III）由54( 4)1nnb 得 212221225515 1615 1615 16154141(161)(164)(16 )3 164(16 )16nnnnnnnnnnnnnncbb 又1221343,33bbc， 当1n时，132T ，当2n 时，22232111 ()41114161625 ()2513161616311614693162513482116nnnT 14 分19.（2009 全国卷理

57、） （本小题满分 12 分）设数列na的前n项和为,nS 已知11,a 142nnSa精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业（I）设12nnnbaa，证明数列 nb是等比数列 （II）求数列na的通项公式。解：（I）由11,a 及142nnSa，有12142,aaa21121325,23aabaa由142nnSa， 则当2n 时，有142nnSa 得111144,22(2)nnnnnnnaaaaaaa又12nnnbaa，12nnbb nb是首项13b ，公比为的等比数列（II）由（I）可得1123 2nnnnbaa ，113224nnnnaa数列2nna是首项为12，公差为34的等比数列1

58、331(1)22444nnann，2(31) 2nnan 评析：第（I）问思路明确，只需利用已知条件寻找1nnbb与的关系即可第（II）问中由（I）易得1123 2nnnaa ，这个递推式明显是一个构造新数列的模型：1( ,nnnapaqp q为常数)，主要的处理手段是两边除以1nq总体来说，09 年高考理科数学全国 I、这两套试题都将数列题前置,主要考查构造新数列（全国 I 还考查了利用错位相减法求前 n 项和的方法） ，一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变

59、的良苦用心。20.（2009 湖南卷文） （本小题满分 13 分）对于数列nu,若存在常数 M0,对任意的*nN，恒有 1121nnnnuuuuuuM, 则称数列nu为B数列.（）首项为 1，公比为12的等比数列是否为 B-数列？请说明理由;（）设nS是数列nx的前 n 项和.给出下列两组判断：A 组：数列nx是 B-数列, 数列nx不是 B-数列;精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业B 组：数列nS是 B-数列, 数列nS不是 B-数列.请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题.判断所给命题的真假，并证明你的结论；()若数列na是 B-数列，证明：数列2na

60、也是 B-数列。解: （）设满足题设的等比数列为na,则11()2nna .于是12211131()()( ),2.2222nnnnnaan 1121|nnnnaaaaaa =2n311112222-1（）（）=n1313.2（）所以首项为 1，公比为12的等比数列是 B-数列 .（）命题命题 1：若数列nx是 B-数列，则数列nS是 B-数列.此命题为假命题.事实上设nx=1，*nN，易知数列nx是 B-数列，但nS=n， 1121|nnnnSSSSSSn.由 n 的任意性知，数列nS不是 B-数列。命题命题 2 2：若数列nS是 B-数列，则数列nx不是 B-数列。此命题为真命题。事实上，