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关于切点三角形的两个不等式尚品山常庚哲老师在1中给出了切点三角形如下一个重要而有趣的不等式:设ABC的内切圆分别切各边于，则的面积ABC的面积 等号当且仅当ABC为正三角形时成立。受此精彩结果的启发，本文在给出有关切点三角形的来你哥哥新的重要不等式。记ABC与切点的边长分别为a、b、c及a、b、c，各对应角分别为A、B、C及，。定理1 a+b+c （a+b+c） 等号当且仅当ABC为正三角形时成立 证明：记p为ABC的半周长，由于AC=AB (a+b+c)-2a=p-a而如图1在RtAHB中所以 同理可得 另不失一般性，在ABC中设，则;及故由并利用切比雪夫不等式及熟知的不等式 得.定理2 + 等号当且仅当三角形ABC为正三角形时成立.证明 设三角形ABC的 外接圆与内切圆半径分别为R及r.如图1，由弦切角定理得,而=.又因在直角三角形中同理可得,+ 另由文中不等式 及Euler不等式R，得 而 则由、及熟知的不等式得+从定理1、定理2的证明过程易知，不等式、中的等号均当且仅当三角形ABC为正三角形时成立，同时运用这两个基本不等式，并结合排序原理又可推得切点三角形以下几个重要的不等式（证明过程留给读者去完成）1、2、+3、4、5、+参考文献1、 常庚哲：关于三角形的两个不等式，数学通报，1980，22、

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