专题20直线与圆的位置关系含答案

1、专题20 直线与圆的位置关系（1）阅读与思考圆心到直线的距离与圆的半径的大小量化确定直线与圆的相离、相切、相交三种位置关系.直线与圆相切是研究直线与圆的位置关系的重点.与切线相关的知识，包括弦切角、切线的性质和判断、切线长定理、切割线定理等.证明一直线是圆的切线是平面几何问题中一种常见的题型，证明的基本方法有：1.利用定义，判断直线和圆只有一个公共点；2.当已知一条直线和圆有一个公共点时，就把圆心和这个公共点连接起来，再证明这条半径和直线垂直；3.当直线和圆的公共点没有确定时，就过圆心作直线的垂线，再证明圆心到直线的距离等于半径.熟悉如下基本图形和以上基本结论.例题与求解 【例1】如图，已知A

2、B为O的直径，CB切O于点B，CD切O于点D，交BA的延长线于E.若AB3，DE2，则BC的长为( ) （青岛市中考试题） A2 B3 C3.5 D4 例1题图 例2题图解题思路：本例包含了切线相关的丰富性质，从C点看可应用切线长定理，从E点看可应用切割线定理，又EC为O的切线，可应用切线性质，故解题思路广阔.【例2】如图，O是ABC的外接圆，已知ACB45，ABC120，O的半径为1.(1) 求弦AC，AB的长;(2) 若P为CB的延长线上一点，试确定P点的位置，使PA与O相切，并证明你的结论. （哈尔滨市中考试题）解题思路：第(2)题是考查探索能力的开放性几何题，只要探求得PB与BC，或P

3、C与BC的关系，或求得PB或PC的长，点P的位置即可确定.【例3】已知ABC是O的内接三角形，BT为O的切线，B为切点，P为直线AB上一点.过点P作BC的平行线交BT于点E，交直线AC于点F.(1) 当点P在线段AB上时(如图)，求证：PAPBPEPF； (2) 当点P为线段BA的延长线上一点时，第(1)题的结论还成立吗?如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由. （北京市中考试题）解题思路：本例是“运动型”的开放性问题，要求点在运动变化中，判断原结论是否成立，通过观察、比较、归纳、分析等系列活动，逐步确定应有的结论.【例4】已知：如图1，把矩形纸片ABCD折叠，使得顶点A与边DC上的动点P重

4、合（P不与点D，C重合），MN为折痕，点M，N分别在边BC，AD上.连接AP，MP，AM，AP与MN相较于点F，O过点M，C，P.(1) 请你在图1中作出O（不写作法，保留作图痕迹）；(2) 与是否相等？请说明理由；(3) 随着点P的运动，若O与AM相切于点M时，O又与AD相切于点H.设AB为4，请你通过计算，画出这时的图形（图2、图3供参考）. （宜昌市中考试题）解题思路：对于(3)，只依靠AB的长不能画出图形，需求出关键的量，因为C90，O过点M，C，P，故将画出矩形的条件转化为求出CP（或MP）的长.当矩形确定后，依据线段CP的长，就可确定P点的位置.有些竞赛培优的Word 初中的一套

5、小学竞赛培优的视频讲义 小初高 各科视频讲义 新概念可以 加我 q 468453607 威 信 t442546597【例5】如图，已知ABC内接于O，AD，BD为O的切线，作DEBC，交AC于点E，连接EO并延长交BC于点F.求证：BFFC. （太原市竞赛试题）解题思路：要证明BFFC，只需证FOBC即可，连接OA，OB，OD，将问题转化为证明DAOEFC. 【例6】如图，在等腰ABC中，已知ABAC，C的平分线与AB交于点P，M是ABC的内切I与边BC的切点，作MDAC，交I于点D，求证：PD是I的切线. （全国初中数学联赛试题）解题思路：设I切AB于点S，连接IM

6、，IS，ID，直接证明PDI90困难，不妨证明PDIPSI，即证明PISPID. 能力训练A 级1. PA，PB切O于A，B，APB78，点C是O上异于A，B的任意一点，则ACB_.2.如图，以ABC的边AB为直径作O交BC于点D，过点D作O的切线交AC于点E.要使DEAC，则ABC的边必须满足的条件是_. （武汉市中考试题） 第2题图 第3题图3. 如图，PA切O于点A，C是上任意一点，PAB62，则C的度数是_.（荆门市中考试题）4.直角梯形ABCD中，ADBC，B90，ADBCDC.若腰DC上有一点P，使APBP，则这样的点（ ）A不存在B只有一个C只有两个D有无数个5如图，已知AB是O

7、的直径，CD，CB是O的切线，D，B为切点，OC交O于点E，AE的延长线交BC于点F，连接AD，BD，给出以下四个结论：ADOC；E为CDB的内心；FCFE.其中正确的结论是 ( )A B C D6如图，ABCD为O的内接四边形，AC平分BAD并与BD相交于E点，CF切O于点C并与AD的延长线相交于点F.图中的四个三角形CAF,ABC,ABD,BEC，其中一定相似的是（ ） (连云港市中考试题)A B C D 第5题图 第6题图 第7题图 7如图，ABC内接于O，AE切O于点A，BCAE(1) 求证：ABC是等腰三角形；(2) 设AB=10cm，BC=8cm，点P是射线AE上的点，若以A，P，

8、C为顶点的三角形与ABC相似，问这样的点有几个? (南昌市中考试题)8如图，RtABC中，C90，以AC为直径的O交斜边AB于点E，ODAB求证：(1) ED是O的切线；(2) 2DE2BEOD. 9如图，在ABC中，a，b，c分别是A，B，C的边，且a，b是关于x的一元二次方程x24(c2)(c+4)x的两个根. 点D在AB上，以BD为直径的O切AC于点E(1) 求证：ABC是直角三角形；(2) 若tanA时，求AE的长. (内蒙古中考试题) 10如图，在RtABC中，ABC90，以AB为直径作O交AC边于点D，E是边BC中点，连接DE.(1) 求证：直线DE是O的切线；(2) 连接OC交D

9、E于点F，若OFCF，求tanACO的值 (武汉市中考试题) 11如图，O的半径r25，四边形ABCD内接于O，ACBD于点H，P为CA延长线上一点，且PDAABD(1) 试判断PD与O的位置关系，并说明理由；(2) 若tanADB，PAAH，求BD的长；(3) 在(2)的条件下，求四边形ABCD的面积. (成都市中考试题) B 级1 如图，AB是O的直径，CD是弦，过点C的切线与AD的延长线交于点E若DAB56，ABC64，则CED_.2如图，O与矩形ABCD的边AD，AB，BC分别相切于点E，F，G，P是上的一点，则EPF_. （广州市中考试题） 第1题图 第2题图 第3题图 3如图，直线

10、AB，AC与O分别相切于点B，C两点，P为圆上一点，P到AB，AC的距离分别为4cm，6cm，那么P到BC的距离为_cm. （全国初中数学联赛试题） 4如图，在RtABC中，A90，O分别与AB，AC相切于点E，F，圆心O在BC上，若ABa，ACb，则O的半径等于（ ）ABCD5如图，在O的内接ABC中，ABC30，AC的延长线与过点B的O的切线相交于点D若O的半径OC1，BDOC，则CD的长为( )A1+ B C D 第4题图 第5题图 第6题图 6如图，O的内接ABC的外角ACE的平分线交O于点DDFAC，垂足为F，DEBC，垂足为E给出以下四个结论：CECF；ACBEDF；DE是O的切线

11、；其中正确的结论是( ) (苏州市中考试题)A B C D 7如图，已知AC切O于点C，CP为O的直径，AB切O于点D，与CP的延长线交于点B.若ACPC.求证：(1) BD2BP；(2) PC3BP. (天津市中考试题) 8.如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABC90，AB12cm，AD8cm，BC22cm，AB为O的直径.动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以2cm/s的速度运动. P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止.设运动时间为t(s).(1) 当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形?(2)

12、 当t为何值时，PQ与O相切? (呼和浩特市中考试题) 9.如图，已知在ABC中，ABC90,O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的半圆与AB交于点E，与AC切于点D，AD2，AE1.求证：SAOD，SBCD是方程10x251x540的两个根. (河南省中考试题) 10.如图，点O在APB的平分线上，O与PA相切于点C. (1) 求证：直线PB与O相切;(2) PO的延长线与O交于点E，若O的半径为3，PC4，求弦CE的长.(武汉市中考试题) 11.如图，直线yx4交x轴于点B，交y轴于点A，O过A，O两点.(1) 如图1，若O交AB于点C，当O在OA上时，求弦AC的长;(2) 如图2，当O

13、与直线l相切于点A时，求圆心O的坐标;(3) 当OA平分AOB的外角时，请画出图形，并求O的半径的长.12.如图，AB是O的直径，ABd，过点A作O的切线并在其上取一点C，使ACAB，连接OC交O于点D，BD的延长线交AC于点E. 求AE的长. (四川省竞赛试题)专题20 直线与圆的位置关系（1）例1、B 提示：连接，则例2、（1）， （2）提示：若是的切线，则，又 ，得， ，即当时，是 的切线例3、 提示（1）证明 （2）当为延长线上一点时，第（1）题的 结论仍成立例4、（1）略 （2），理由如下：假设，则。， ，与关于对称，而与不重 合，这与“过一点（）”只能作一条直线与已知直线（）垂直”

14、矛盾，假设 不成立，即（3）证明，得，设，则， ，连接并延长交于，则四边形为矩形， ，得， ，解得 即，由此画图 例6 连切点半径，和，得四点共圆，得， ，设，则 ， ，则， ， 而， ，在与中， ，故是的切线 A级1、51或129 2、 3、 或 4、D 提示：以为直径的圆与相交5、 6、7、 （1）略 （2）满足条件的点有两个：过点作交于点，则 ，这时； 过点作的切线交于点，则 ，这时8、 （1）提示：连接，证明， （2）在中，又，又 2，9、 （1）由已知，得，由两根关系得， ，是直角三角形 （2）提示：连接，则，10、 （1）连接，是的直径，是的中点，直线是的切线（2）作于点，由（1）

15、知BDAC，EC=EBOA=OB，OEAC且OE=，CDF=OEF，DCF=EOFCF=OF，DCFEOF，DC=OE=AD，BA=BC，A=45OHAD，OH=AH=DH，CH=3OH，故tanACO=11（1）略（2）连接DO并延长与O相交于点E，连接BE设AH=3ktanADB=，PA=，ACBD于点HDH=4k，AD=5k，PA=，PH=PA+AH=tanP=P=30，PD=8kBDAC，P+PDB=90PDDE，PDB+BDE=90BDE=P=30DE是直径，DBE=90，DE=2r=50BD=DEcosBDE=50cos30=（3）连接CEDE是直径，DCE=90CD=DEsinC

16、ED=DEsinCAD=PDA=ABD=ACD，P=P，PDAPCD解得PC=64，k=AC=PCPA=64S四边形ABCD=SABD+SCBD=B级1862453连接BP，MQ，PC，QN，由PMAB，PNAC，PQBC可得P，Q，C，N四点共圆，P，Q，B，M四点共圆由MPQQPN得PQ=4C5B【提示】连接OB，过C作CHBD交BD于点HOBHC是正方形，CH=1ABC=30，OAC=60=D在RtCDH中，CD=6D7提示：（1）连接OD，由BDOBCA，得BD=，又BD2=BPBC（2）由（1）可知BC=2BD，BD=2BP，得BC=4BP，PC+BP=4BP，PC=3BP8（1）直

17、角梯形ABCD，ADBC，PDQC当PD=QC时，四边形PQCD是平行四边形由题意可知AP=t，CQ=2t，8t=2t，3t=8，t=时，四边形PQCD为平行四边形（2）设PQ与O相切于点H，过P作PEBC于E直角梯形ABCD，ADBC，PE=AB有题意可知AP=BE=t，CQ=2t，BQ=BCCQ=222t，EQ=BQBE=222tt=223tAB为O的直径，ABC=DAB=90，AD、BC为O的切线AP=PH，HQ=BQPQ=PH+HQ=AP+BQ=22t在RtPEQ中，PE2+EQ2=PQ2，122+(223t)2=(222t)2，即8t288t+144=0，t211t+18=0，t1=2，t2=9P在AD边运动时间为，而t=98，t=9舍去当t=2时，PQ与O相切9提示：AB=4，BC=CD=3，SAOD=作BHAC于H，则RtAODRtABH，得SBCD=10（1）过点O作ODPB于点D，连接OCPA切O于点C，OCPA又点O在APB的平分线上，OC=OD，PB与O相切（2）过点C作CFOP于点F在RtPCO中，PC=4，OC=3，OP=，OCPC=OPCF=2SPOD，CF=在RtCOF中，EF=EO+OF=，11（1）AC=（2）连接AC，则A，O，C共线设OC=a，则AC2=a2+42，又AC2=（a+3）252，即a2+42=（a+3）252，解得a=，O