2020-2021中考数学专题《平行四边形》综合检测试卷附详细答案

1、2020-2021中考数学专题平行四边形综合检测试卷附详细答案一、平行四边形1.如果两个三角形的两条边对应相等，夹角互补，那么这两个三角形叫做互补三角形，如图2,分别以4ABC的边AB AC为边向外作正方形 ABDE和ACGF则图中的两个三角形 就是互补三角形.（1）用尺规将图1中的 ABC分割成两个互补三角形；（2）证明图2中的 ABC分割成两个互补三角形；（3）如图3,在图2的基础上再以BC为边向外作正方形 BCHI. 已知三个正方形面积分别是17、13、10,在如图4的网格中（网格中每个小正方形的边长为1）画出边长为 '"、叮、V117的三角形，并计算图 3中六边形DE

2、FGHI的面积.若4ABC的面积为2,求以EE DI、HG的长为边的三角形面积. A（图L）D（国手）（S4 ）【答案】（1）作图见解析（2）证明见解析（3）62 ;6【解析】试题分析：（1）作BC边上的中线AD即可.（2）根据互补三角形的定义证明即可.（3） 画出图形后，利用割补法求面积即可.平移4CHG至ij AMF,连接EM, IM ,则AM=CH=BI,只要证明 Saefm=3Saabc即可.试题解析：（1）如图1中，作BC边上的中线 AD, 4ABD和4ADC是互补三角形.（2）如图2中，延长FA到点H,使得AH=AF,连接EH.四边形ABDE,四边形ACGF是正方形， AB=AE,

3、 AF=AC / BAE=Z CAF=90 ,° / EAF+/ BAC=180 ,° AEF和 ABC是两个互补三角形.3 / EAH+Z HAB=Z BAC+Z HAB=90 ；/ EAH=Z BAC,4 .AF=AC,.AH=AB,在 AEH和ABC中，AE - AHdAR = &RACAH-AC5 .AEHAABC, Sa aef=Sa aehfSa abc.（3） 边长为117、/、口的三角形如图4所示.（图4）Saabc=3X2- 1.5-3=5.5, s六边形 =17+13+10+4< 5.5=62.如图 3 中，平移 4CHG至ij AMF,连

4、接 EM, IM ,贝U AM=CH=BI,设 Z ABC=x,E（邺）. AM/CH, CH, BC, AM XBC,/ EAM=90 +90 -x=180 - x, Z DBI=360 - 90 - 90 - x=180 - x,，/EAM=/ DBI, -. AE=BD, .AEMADBI, .在 ADBI 和 ABC 中，DB=AB, BI=BC / DBI+/ ABC=180 , DBI和 ABC是互补三角形，Sa aem=S aef=Safm=2 ,Sa efm=3Sa abc=6.考点：1、作图-应用与设计，2、三角形面积2.如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A,

5、B的坐标分别为(4, 0),(4, 3),动点M, N分别从O, B同时出发.以每秒1个单位的速度运动.其中，点 M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动.过点 M作MPLOA,交AC于P,连接NP,已知动点运动了 x秒.(1) P点的坐标为多少(用含 x的代数式表示)；(2)试求4NPC面积S的表达式，并求出面积 S的最大值及相应的x值；(3)当x为何值时，4NPC是一个等腰三角形？简要说明理由.y 1y Bc KI0A x,ic 3【答案】(1) P点坐标为(x, 3-x).4(2) S的最大值为-,此时x=2.“、4 f 16 f 128(3) x=,或 x=,或 x=.S 95-【

6、解析】试题分析：(1)求P点的坐标，也就是求 OM和PM的长，已知了 OM的长为x,关键是 求出PM的长，方法不唯一， 可通过PM/ OC得出的对应成比例线段来求； 也可延长 MP交BC于Q,先在直角三角形 CPQ中根据CQ的长和/ACB的正切值求出 PQ的长，然后根据 PM=AB-PQ来求出PM的长.得出 OM和PM的长，即可求出 P点的 坐标.(2)可按(1) 中的方法经求出 PQ的长，而CN的长可根据CN=BC- BN来求得，因此 根据三角形的面积计算公式即可得出S, x的函数关系式.(3)本题要分类讨论： 当CP=CN时，可在直角三角形 CPQ中，用CQ的长即x和/ABC的余弦值求出

7、CP的表 达式，然后联立 CN的表达式即可求出 x的值；当CP=PN时，那么CQ=QN,先在直角三角形 CPQ中求出CQ的长，然后根据 QN=CN- CQ求出QN的表达式，根据题设的等量条件即可得出x的值.当CN=PN时，先求出QP和QN的长，然后在直角三角形 PNQ中，用勾股定理求出 PN 的长，联立CN的表达式即可求出 x的值.试题解析：(1)过点P作PQ± BC于点Q,有题意可得：PQ / AB,.CQPACBA,QP ABQCBC,QP _ 3. -,x 4解得：QPx,43PM=3 x,4由题意可知，cP点坐标为(X,(0, 3) , M (x, 0) , N (4-x,

8、3),33- x).4(2)设NPC的面积为S,在ANPC中，NC=4-x,3NC边上的高为-x,其中，0WxW4- S= (4 - x) x=2432 3=-(x-2) +-.oX| (_/+4x)3，S的最大值为,此时x=2.(3)延长MP交CB于Q,则有PQ± BC.若NP=CRPQ± BC,NQ=CQ=x3x=4,4X=. 若 CP=CN 贝U CN=4- x, PQ=x, CP= x, 4- x= x,4416若 CN=NP,贝U CN=4-x.3. ' PQ= x, NQ=4- 2x,4,.在 RtPNQ 中，Phf=NQ2+P(f,3( 4 - x)

9、2= (4 - 2x) 2+ ( - x) 2,4128x=.57综上所述，x=, 或 x=, 或 x=39"考点：二次函数综合题.3 .操作：如图，边长为 2的正方形ABCD,点P在射线BC上，将4ABP沿AP向右翻折， 得到AEP, DE所在直线与 AP所在直线交于点 F.探究：（1）如图1,当点P在线段BC上时， 若/BAP=30,求/AFE的度数；若点E 恰为线段DF的中点时，请通过运算说明点 P会在线段BC的什么位置？并求出此时 ZAFD 的度数.归纳：（2）若点P是线段BC上任意一点时（不与 B, C重合），/AFD的度数是否会发 生变化？试证明你的结论；猜想：（3）如图

10、2,若点P在BC边的延长线上时，/AFD的度数是否会发生变化？试在 图中画出图形，并直接写出结论.圄1E2【答案】（1）45° ;BC的中点，45° （2）不会发生变化，证明参见解析；（3）不会发生变化，作图参见解析 .【解析】试题分析：（1）当点P在线段BC上时，由折叠得到一对角相等，再利用正方形性质求 出/ DAE度数，在三角形 AFD中，利用内角和定理求出所求角度数即可；由E为DF中点，得到P为BC中点，如图1,连接BE交AF于点O,作EG/ AD,彳导EG/ BC,得到AF 垂直平分BE,进而得到三角形 BOP与三角形EOG全等，利用全等三角形对应边相等得到 BP=

11、EG=1得到P为BC中点，进而求出所求角度数即可；（2）若点P是线段BC上任意一点时（不与B, C重合），/AFD的度数不会发生变化，作 AG± DF于点G,如图1 （a）所 示，利用折叠的性质及三线合一性质，根据等式的性质求出/1 + /2的度数，即为/FAG度数，即可求出/F度数；（3）作出相应图形，如图 2所示，若点P在BC边的延长线上时，/AFD的度数不会发生变化，理由为：作AGLDE于G,得/DAG=/ EAG,设/ DAG=Z EAG=%根据/ FAE为/ BAE一半求出所求角度数即可.试题解析：（1）当点P在线段BC上时，,一/ EAP土 BAP=30 ,，/ DAE=

12、90 - 30 °X 2=30,° 在 ADE 中，AD=AE, / DAE=30°, . . / ADE=/ AED= (180 - 30°) +2=75,° 在 AFD 中，Z FAD=30+30 =60 °, Z ADF=75 °, ZAFE=180 -60 - 75 =45 °；点 E 为 DF 的中点时，P也为BC的中点，理由如下：圉1如图1,连接BE交AF于点O,作EG/ AD,彳导EG/ BC, = EG/ AD,DE=EFEG='AD=1,AB=AE, .点A在线段BE的垂直平分线上，同理可

13、得点P在线段BE的垂直平分线上，AF垂直平分线段 BE, .OB=OE) / GE/ BP,/ OBP=/ OEG,/OPB=/ OGE, .-.ABOPAEOG, . BP=EG=1 即 P 为 BC 的中点， . / DAF=90 , / BAF, / ADF=45 +2 BAF,/ AFD=180 - / DAF- / ADF=45 ;° ( 2) / AFD 的度数不会发生变化，作 AGDF于点G,如图1 (a)所示，堡在 4ADE 中，AD=AE, AG± DE, AG 平分/DAE,即 /2=/DAG,且1/1 = /BAP, . . / 1 + /2='

14、;X 9=45 ；即 /FAG=45,° 贝U/AFD=90，45 =45； (3)如图 2所示，/ AFE的大小不会发生变化，/ AFE=45 ,E图3cF 作 AG± DE于 G,得 / DAG=Z EAG,设 / DAG=Z EAG通,IIZ BAE=90 ° +2.kZ FAE= / BAE=45 ° , + 忘/ FAG=Z FAE- / EAG=45 ；在 RtAAFG中,ZAFE=90 - 45 =45 :考点：1.正方形的性质；2.折叠性质；3.全等三角形的判定与性质4 .在平面直角坐标系中，四边形 AOBC是矩形，点O (0, 0),点

15、A (5, 0),点B (0,3).以点A为中心，顺时针旋转矩形 AOBC得到矩形ADEF,点O, B, C的对应点分别 为 D, E, F.(1)如图，当点D落在BC边上时，求点D的坐标；(2)如图，当点D落在线段BE上时，AD与BC交于点H.求证ADB0AOB；求点H的坐标.(3)记K为矩形AOBC对角线的交点，S为4KDE的面积，求S的取值范围(直接写出结 果即可).S®图017【答案】(1)D(1,3); (2)详见解析；H (一，53) ； (3)30 人34 忘303 ；34(1)如图，在RtACD中求出CD即可解决问题；(2)根据HL证明即可；,设 AH=BH=m,贝U

16、 HC=BC-BH=5-m 在 RtAHC中，根据m即可解决问题；(3)如图中，当点D在线段BK上时，4DEK的面积最小,AH2=HC2+AC2，构建方程求出当点 D在BA的延长线上时，E'的峋积最大，求出面积的最小值以及最大值即可解决问题;【详解】图- A 0) , B (0, 3),.OA=5, OB=3,四边形AOBC是矩形，.AC=OB=3, OA=BC=5, /OBC=/C=90；矩形ADEF是由矩形AOBC旋转得到， .AD=AO=5,在 RtADC中，CD=Jad2 AC2 =4, BD=BGCD=1, .D (1, 3).(2)如图中，圉由四边形ADEF是矩形，得到 /

17、ADE=90°,点D在线段BE上，/ ADB=90 ；由（1）可知，AD=AO,又 AB=AB, Z AOB=90°, RtA ADBZ RtA AOB ( HL). 如图 中，由ADB0AOB,得到/BAD=/BAO, 又在矩形 AOBC中，OA/ BC,/ CBA=/OAB,/ BAD=Z CBA,.BH=AH,设 AH=BH=m,贝U HC=BGBH=5-m, 在 RtA AHC 中，AH2=HC2+AC2,m2=32+ (5-m) 2,17 m=, 517BH=，511（3）如图 中，当点D在线段BK上时，4DEK的面积最小，最小值 =-?DE?DK=- X 3X2

18、25-且）=型23.34当点D在BA的延长线上时，DEK的面积最大，最大面积 =1 XDE KD' 1 x 3X 22(5+3) =30 3 3424综上所述，30 3 一530 3可44【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、旋转变换等 知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决 问题.5.已知 AOB 90，点C是 AOB的角平分线OP上的任意一点，现有一个直角MCN绕点C旋转，两直角边 CM , CN分别与直线OA, OB相交于点D ,点E.图3（1）如图1,若CD OA,猜想线段OD , OE, OC之间的

19、数量关系，并说明理由.（2）如图2,若点D在射线OA上，且CD与OA不垂直，则（1）中的数量关系是否仍 成立？如成立，请说明理由；如不成立，请写出线段 OD , OE , OC之间的数量关系， 并加以证明.（3）如图3,若点D在射线OA的反向延长线上，且 OD 2, OE 8 ,请直接写出线段 CE的长度.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3） J34【解析】【分析】（1）先证四边形ODCE为矩形，再证矩形 ODCE为正方形，由正方形性质可得；（2） 过点C作CG OA于点G , CH OB于点H ,证四边形 OGCH为正方形，再证CGD CHE（ASA）,可得；（3）根据 CGD C

20、HE （ASA）,可得OE OD OH OG 、2OC.【详解】解：（1） AOB 90 , MCN 90 , CD OA, 四边形ODCE为矩形.OP是 AOB的角平分线,DOC EOC 45 ,OD CD ,，矩形ODCE为正方形，oc >/2od，oc V2oe.OD OE 2OC.(2)如图，过点C作CG OA于点G, CH OB于点H ,. OP 平分 AOB, AOB 90 ,，四边形OGCH为正方形，由(1)得：OG OH V2OC，在CGD和CHE中，CGD CHE 90CG CH,DCG ECHCGD CHE(ASA),GD HE ,OD OE 2OC.(3)og oh

21、 72oc，CGD CHE (ASA),GD HE .OD GD OG, OE OH EH ,OE OD OH OG 虚OC，OC 3万CE 扃，ce的长度为44a.考核知识点：矩形，正方形的判定和性质.熟练运用特殊四边形的性质和判定是关键.6.菱形ABCD中、ZBAD= 120°,点O为射线CA上的动点，作射线 OM与直线BC相交于 点E,将射线OM绕点O逆时针旋转60°,得到射线ON,射线ON与直线CD相交于点F.(1)如图，点。与点A重合时，点E, F分别在线段BC, CD上，请直接写出 CE, CF, CA三条段段之间的数量关系；(2)如图，点O在CA的延长线上，且

22、 OA= 1 AC, E, F分别在线段BC的延长线和线 3段CD的延长线上，请写出 CE CF, CA三条线段之间的数量关系，并说明理由；(3)点O在线段AC上，若AB= 6, B0= 2用,当CF= 1时，请直接写出 BE的长.4.【答案】(1) CA=CE+CF (2) CF-CEAC. (3) BE 的值为 3 或 5 或 1.3【解析】【分析】(1)如图 中，结论：CA=CE+CF只要证明ADF0ACE ( SAS即可解决问题；4(2)结论：CF-CEAC.如图中，如图作 OG/ AD交CF于G,则AOGC是等边二角3形.只要证明 FO8 4EOC (ASA)即可解决问题；(3)分四

23、种情形画出图形分别求解即可解决问题【详解】.ABC, AACD都是等边三角形,3 Z DAC=Z EAF=60 , °/ DAF=Z CAE,4 . CA=AD, / D=Z ACE=60,°5 .ADFAACE (SAS , .DF=CE6 . CE+CF=CF+DF=CD=A C，CA=CE+CF”4(2)结论：CF-CEAC.3理由：如图 中，如图作 OG/ AD交CF于G,则4OGC是等边三角形.7 / GOC=Z FOE=60 ;/ FOG=Z EOC8 .OG=OC, ZOGF=ZACE=120,°.FOGAEOC (ASA),9 .CE=FG10 O

24、C=OG CA=CD.OA=DG,1 4CF-EC=CF-FG=CG=CD+DG=AC+AC= AC,33(3)作 Bhl±AC于 H. . AB=6, AH=CH=3,.BH=3T3 ,如图-1中，当点O在线段AH上，点F在线段CD上，点E在线段BC上时.oh=VOB2BH2 =1, .OC=3+1=4,由(1)可知：CO=CE+CF. OC=4, CF=1,，CE=3,BE=6-3=3.DC的延长线上，点，CE=4+1=5,E在线段BC上时.，BE=1.CD上，点E在线段同法可证：OC=CE+CFBC上时. OC=CH-OH=3-1=2 CF=1,.CE=1,.BE=6-1=5.

25、DC的延长线上，点E在线段BC上时.同法可知：CE-CF=OC，CE=2+1=3,BE=3,综上所述，满足条件的 BE的值为3或5或1.【点睛】本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，解题的关 键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题， 属于中考压轴题.7.在VABC中，AD BC于点D ,点E为AC边的中点，过点 A作AF/BC，交DE的延长线于点F ,连接CF .1如图1,求证：四边形 ADCF是矩形；2如图2 ,当AB AC时，取AB的中点G ,连接DG、EG ,在不添加任何辅助线和字母的条件下，请直接写出图中所有的平行四

26、边形（不包括矩形ADCF ）娶L因2【答案】（1）证明见解析；（2）四边形ABDF、四边形AGEF、四边形GBDE、四边形 AGDE、四边形GDCE都是平行四边形.【解析】【分析】（1）由4AE图CED推出EF=DE又AE=EC推出四边形 ADCF是平行四边形，只要证 明/ ADC=90 ,即可推出四边形 ADCF是矩形.（2）四边形ABDF、四边形AGER四边形GBDE四边形 AGDR四边形GDCE都是平行四 边形.【详解】1 证明：.AF/BC,AFE EDC , E是AC中点，AE EC ,在VAEF和VCED中，AFE CDEAEF CED,AE ECVAEF VCED ,EF DE

27、, AE EC ,，四边形ADCF是平行四边形，AD BC ,ADC 90°，四边形ADCF是矩形.2二.线段DG、线段GE、线段DE都是VABC的中位线，又 AF/BC, .AB/DE, DG/AC, EG / / BC ,四边形ABDF、四边形 AGEF、四边形GBDE、四边形 AGDE、四边形GDCE都是 平行四边形.【点睛】考查平行四边形的判定、矩形的判定、三角形的中位线定理、全等三角形的判定和性质等知识，正确寻找全等三角形解决问题是解题的关键8. （1）如图1,将矩形ABCD折叠，使BC落在对角线BD上，折痕为BE ,点C落在 点C处，若/ ADB 42°，则 D

28、BE的度数为°.（2）小明手中有一张矩形纸片 ABCD, AB 4 , AD 9.（画一画）如图2,点E在这张矩形纸片的边 AD上，将纸片折叠，使 AB落在CE所在 直线上，折痕设为 MN （点M , N分别在边AD , BC上），利用直尺和圆规画出折痕 MN （不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线段描清楚）；（算一算）如图3,点F在这张矩形纸片的边 BC上，将纸片折叠，使 FB落在射线FD上，折痕为GF，点A,B分别落在点A,B处，若AG 7,求BD的长.3BD 3【答案】（1） 21; （2）画一画；见解析；算一算:【解析】【分析】(1)利用平行线的性质以及翻折不变性即可解决

29、问题；(2)【画一画】，如图 2中，延长BA交CE的延长线由G,作/BGC的角平分线交 AD于M,交BC于N,直线MN即为所求；【算一算】首先求出 GD=9-7 20 ,由矩形的性质得出 AD/ BC, BC=AD=9由平行线的33性质得出/ DGF=Z BFG,由翻折不变性可知，/ BFG=Z DFG,证出/ DFG=Z DGF,由等腰三 20角形的判定定理证出 DF=DG=20 ,再由勾股定理求出 CF,可得BF,再利用翻折不变性,3可知FB' =F,B由此即可解决问题.【详解】D(1)如图1所示:四边形ABCD是矩形,.AD/ BC,/ ADB=Z DBC=42 ；1由翻折的性质

30、可知， / DBE=Z EBC / DBC=21 ;2故答案为21 .(2)【画一画】如图所示：G【算一算】如3所示:. AG=7, AD=9,37 20.GD=9,33四边形ABCD是矩形， .AD/BC, BC=AD=9,/ DGF=Z BFG由翻折不变性可知，/ BFG=Z DFG,/ DFG=Z DGF,20 DF=DG,3 . CD=AB=4, /C=90；.在RtCDF中，由勾股定理得：CF=1DF2 CD220316 . BF=BC-CF=9 311£由翻折不变性可知,r 11FB=FB 一 ,3,，20.B D=DB -3【点睛】四边形综合题，考查了矩形的性质、翻折变

31、换的性质、勾股定理、等腰三角形的判定、平 行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用翻折不变性解决 问题.9.在平面直角坐标系中，O为原点，点A (- 6, 0)、点C (0, 6),若正方形 OABC绕点O顺时针旋转，得正方形 OA B',C记旋转角为 “：(1)如图，当“=45°时，求BC与A' B勺交点D的坐标；(2)如图，当a= 60°时，求点B'的坐标；(3)若P为线段BC的中点，求AP长的取值范围(直接写出结果即可).图 图【答案】（1） （6 672,6） ; （2） 3M 3,3 3向）；（3） 3金 3赛叭P

32、372 3.【解析】【分析】(1)当 “=45°时，延长 OA经过点 B,在 RBA' D中，/ OBC= 45°, A 肚 6J2 6,可 求得BD的长，进而求得 CD的长，即可得出点 D的坐标；(2)过点C作x轴垂线MN,交x轴于点M,过点B彳乍MN的垂线，垂足为 N,证明 OMCC' NB'可彳C C'*OM=3j3, B'生C' b 3,即可得出点 B'的坐标；(3)连接OB, AC相交于点K,则K是OB的中点，因为 P为线段BC的中点，所以PK=1OC=3,即点P在以K为圆心，3为半径的圆上运动，即可得出 A

33、P长的取值范围.2【详解】解：(1) /A ( 6, 0)、C (0, 6) , O (0, 0),四边形OABC是边长为6的正方形，当仁45。时,如图，延长OA经过点B, .OB=6&, OA=OA= 6, ZOBC= 45°, A 群 672 6，BD= ( 672 6)>S/2 12 6员 -CD=6- (12 672)=642 6， BC与A'的交点D的坐标为(6 6J2，6)；国(2)如图，过点C作x轴垂线MN,交x轴于点M,过点B彳乍MN的垂线，垂足为 N, / OC'390 °,/ OC'心90/ B'B'

34、 N,. OC'= B' ,C'/OMC'=/C' NB90 ；.OMC，AC， NBAAS),当仁60°时，. /A' OC90 °, OC'= 6, / C OM30 °, .C'* OM= 3 J3 , B'处 C' g 3, 点B的坐标为373 3,3 3石；(3)如图，连接OB, AC相交于点K,则K是OB的中点， P为线段BC的中点，1 PK= - OC = 3,2 .P在以K为圆心，3为半径的圆上运动， .AK=3V2,，AP最大值为3J2 3，AP的最小值为3J2 3,

35、 .AP长的取值范围为3亚 3轰叭P 3近 3.【点睛】3)问解题的关键是本题考查正方形性质，全等三角形判定与性质，三角形中位线定理.( 利用中位线定理得出点 P的轨迹.EF± EC,且 EF= EC.10.如图，已知矩形 ABCD中，E是AD上一点，F是AB上的一点, (1)求证：4AE图 4DCE(2)若DE= 4cm,矩形ABCD的周长为32cm,求AE的长.【答案】(1)证明见解析；(2) 6cm. AEFADCE.分析：(1)根据EF± CE,求证/AEF=/ ECD.再利用AAS即可求证ABCD的周长为32cm,即可求得(2)利用全等三角形的性质，对应边相等，再

36、根据矩形 AE的长.详解：(1)证明：.EF，CE, / FEC=90, ° / AEF+/ DEC=90,°而 / ECD+Z DEC=90 ,° / AEF=Z ECD在 RtAEF和 RtDEC 中，/ FAE=Z EDC=90 ,° / AEF=/ ECQ EF=EC.AEFADCE(2)解： AAEFADCEAE=CDAD=AE+4.矩形ABCD的周长为32cm, 2 (AE+AE+4 =32.解得，AE=6 (cm). 答：AE的长为6cm.点睛：此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质和矩形的性质等知识点的理解和掌 握，难易程度适中，是一道

37、很典型的题目.11.点P是矩形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点(点 P不与我A, C重合)，分别 过点A, C向直线BP作垂线，垂足分别为点 E, F,点。为AC的中点.C DCC(1)如图1,当点P与点。重合时，请你判断 OE与OF的数量关系；(2)当点P运动到如图2所示位置时，请你在图 2中补全图形并通过证明判断(1)中的 结论是否仍然成立；(3)若点P在射线OA上运动，恰好使得 ZOEF= 30°时，猜想此时线段 CF, AE, OE之间 有怎样的数量关系，直接写出结论不必证明.【答案】(1) OE= OF.理由见解析；(2)补全图形如图所示见解析，OE= OF仍然成立；

38、(3) CF= OE+AE或 CF= OE- AE.【解析】【分析】(1)根据矩形的性质以及垂线，即可判定AOE COF(AAS),得出OE=OF;(2)先延长EO交CF于点G,通过判定 AOE COG(ASA),得出OG=OE,再根据1 一 r 一,Rt EFG 中，OF EG,即可得到 OE=OF； 2(3)根据点P在射线OA上运动，需要分两种情况进行讨论：当点P在线段OA上时，当点P在线段OA延长线上时，分别根据全等三角形的性质以及线段的和差关系进行推导计 算即可.【详解】(1) OE=OF.理由如下： 如图1.四边形ABCD是矩形，OA=OC.AE BP , CF BP , AEO C

39、FO 90 .AEO CFO1 .在 AOE 和 COF 中， AOE COF , AOE COF (AAS) , . . OE=OF； OA OC(2)补全图形如图2, OE=OF仍然成立.证明如下： 延长EO交CF于点G.2 AE BP, CF BP ,AE/CF,EAO GCO.又点O为AC的中点，AO=CO.EAO GCO在 AOE 和 COG 中，AO CO ，.一 AOE COG(ASA) ,，og=OE, AOE COG1 - 一一Rt EFG 中，OF EG，OE=OF； 2(3) CF=OE+AE或 CF=OE-AE.证明如下： 如图2,当点P在线段OA上时. OEF 30

40、, EFG 90，.一 OGF 60 ,由(2)可得：OF=OG,OGF 是 等边三角形，FG=OF=OE,由(2)可得： AOE COG ,CGAE.又 CF=GF+CG,CF=OE+AE;如图3,当点P在线段OA延长线上时. OEF 30 , EFG 90，.一 OGF 60 ,同理可得：OGF是等边三角形，FG=OF=OE,同理可得：AOE COG ，CG=AE.又 CF=GF-CG,CF=OE-AE.国1图二广B工备用图33产【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了矩形的性质、全等三角形的性质和判定以及等边三角 形的性质和判定，解决问题的关键是构建全等三角形和证明三角形全等，利用矩形的

41、对角 线互相平分得全等的边相等的条件，根据线段的和差关系使问题得以解决.12.(问题发现)(1)如图(1)四边形 ABCD中，若AB=AD, CB=CD,则线段BD, AC的位置关系(拓展探究)(2)如图(2)在RtABC中，点F为斜边BC的中点，分别以 AB, AC为底边，在RtA ABC外部作等腰三角形 ABD和等腰三角形 ACE连接FD, FE,分另交AB, AC于点 M, N.试猜想四边形 FMAN的形状，并说明理由；(解决问题)(3)如图(3)在正方形 ABCD中，AB=2*2,以点A为旋转中心将正方形 ABCD旋转 60°,得到正方形 AB'CD',请直接

42、写出 BD平方的值.A图图【答案】(1) AC垂直平分BD； (2)四边形FMAN是矩形，理由见解析；(3) 16+区落或 16 - 8Vm【解析】【分析】(1)依据点A在线段BD的垂直平分线上，点 C在线段BD的垂直平分线上，即可得出 AC 垂直平分BD;(2)根据RtA ABC中，点F为斜边BC的中点，可得 AF=CF=BF再根据等月三角形 ABD 和等腰三角形 ACE,即可得至ij AD=DB, AE=CE进而得出Z AMF=Z MAN= Z ANF=90 ,即可 判定四边形AMFN是矩形；(3)分两种情况： 以点A为旋转中心将正方形 ABCD逆时针旋转60°,以点A为旋 转中

43、心将正方形ABCD顺时针旋转60。，分别依据旋转的性质以及勾股定理，即可得到结 论.【详解】(1) AB=AD, CB=CD, 点A在线段BD的垂直平分线上，点 C在线段BD的垂直平分线上， AC垂直平分BD,故答案为：AC垂直平分BD;(2)四边形FMAN是矩形.理由：如图2,连接AF,圜2). RtABC中，点F为斜边BC的中点,.AF=CF=BF,又二等腰三角形ABD和等腰三角形ACE, .AD=DB, AE=CE 由(1)可得，DF, AB, EF± AC,又 / BAC=90°,/ AMF=Z MAN=Z ANF=90 ； 四边形AMFN是矩形；(3) BD

44、9;的平方为16+队门或16-8'?.分两种情况：以点A为旋转中心将正方形 ABCD逆时针旋转60°, 如图所示：过 D作D'E± AB,交BA的延长线于E,BC由旋转可得， / DAU=60 °,/ EAD=30 ,°,.AB=2V2=AD', II.D'E=t7AD'=V7, AE=V6,.BE=2., +、,BDE 中，BD'2=D'E2+BE2= (x'2)2+ (2?+痂)2=16+8/l以点A为旋转中心将正方形 ABCD顺时针旋转60°, 如图所示：过B作BF, AD&

45、#39;于F,c旋转可得，/DAD=60： / BAD'=30 ,°.AB=2x/2=AD',II.BF=AB=?, AF=",.D'F=2,2-铲，BDF 中，BD'2=BF2+D'F2= '?) 2+ (2?86 2=16-8综上所述，BD'平方的长度为16+8户或16-83.【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的判定，旋转的性质，线段垂直 平分线的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，依 据勾股定理进行计算求解.解题时注意：有三个角是直角的四边形是矩形.13.如

46、图，点E是正方形 ABCD的边AB上一点，连结 CE过顶点C作CF, CE,交AD延 长线于F.求证：BE=DF.Pj4 三O【答案】证明见解析. 【解析】分析：根据正方形的性质，证出 BC=CD ZB=Z CDF, /BCD=90,再由垂直的性质得到/ BCE=Z DCF,然后根据 “ ASA明 BCE BCE即可得到 BE=DF详解：证明：CF±CE,/ ECF=90, °又 / BCG=90, / BCE+Z ECD =Z DCF+Z ECD / BCE玄 DCF, 在 BCE与4DCF中， / BCE玄 DCF, BC=CD / CDF之 EBC.,.BCEABCE

47、 (ASA) , .BE=DF.点睛：本题考查的是正方形的性质，熟知正方形的性质及全等三角形的判定与性质是解答 此题的关键.14.如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线BD上一动点(P与B、D不重合)， /APE=90,°且点E在BC边上，AE交BD于点F.(1)求证： PAB PCB;PE=PC;(2)在点P的运动过程中， 条的值是否改变？若不变，求出它的值；若改变，请说明理 由；(3)设DP=x,当x为何值时，AE/ PC,并判断此时四边形 PAFC的形状.S £ C【答案】(1)见解析；AP AE 士 ；(3) x=2-1;四边形PAFC是菱形.【解析】试题分析：(

48、1)根据四边形 ABCD是正方形，得出 AB=BC /ABP=/ CBP ,再根据PB=PB 即可证出 PAB PCB, 根据 / PAB+/ PEB=180°, / PEC+Z PEB=180°,得出 / PECh PCB 从而证出 PE=PC (2)根据 PA=PC PE=PC 得出 PA=PE 再根据 /APE=90,得出 / PAE4 PEA=45 ,即可求 AP出;(3)先求出/CPE4 PEA=45 ,从而得出 /PCE，再求出/ BPC即可得出/ BPC=/ PCE从 而证出 BP=BC=1 x=2 1,再根据 AE/ PC,得出 /AFP=Z BPC=67.

49、5,由PAg4PCB 得出Z BPA=/ BPC=67.5, PA=PC从而证出 AF=AP=PC得出答案.11试题解析：(1)二.四边形 ABCD是正方形，AB=BC, / ABP=/ CBP= / ABC=45 . PB=PB,APABAPCB (SAS .由PAg4PCB可知，Z PAB=Z PCB, / ABE=/ APE=90°, . . / PAB+Z PEB=180°,又 / PEC吆 PEB=180 ,/ PECh PAB=Z PCB, . PE=PCAP(2)在点P的运动过程中，月”的值不改变.由 PA® PCB可知，PA=PC,.PE=PCPA=PE又 / APE=90 ,AP L/2 s PAE是等腰直角三角形，/ PAEPEA=45 , ：.=".鼻(3) AE/ PC,Z CPE=/ PEA=45 , 在 APEC 中，Z PCE=Z PEC= (180 45