新1第十一章曲线积分与曲面积分习题答案

1、第十一章 曲线积分与曲面积分ABBO12.2xdx0Rsint) (x)2 (y)2dt第一节 对弧长的曲线积分1 .选择题：(1)对弧长的曲线积分的计算公式Lf(x,y)ds f (t), (t)V(t)2(i)出中要求 (Q .(A)(B)(C)设光滑曲线L的弧长为，则 6ds(B).L(A)( B) 6(C)122.计算下列对弧长的曲线积分： (x y)ds,其中L为 LI)以O(0,0), A(1,0), B(1,1)为顶点的三角形的边界；II )上半圆周x2 y2R2 ；(x y)ds (x y)ds (x y)ds (x y)ds LOA1 10xdx 0(1 y)dy1国、,2

2、2 .5 2 2II )(x y)ds(RcostL _2_ _2R sin t cost0 2R(2) yds,其中L为y2 2x上点(2,2)与点(1, J2)之间的一段弧; L解：yds 2 _ y. 1 (x)2dy2_y , 1 y2dyLJ(1 y2)3/22 2 1(、一砺27)33*(3)(x2y2)ds,其中 为螺旋线 x a cost, y a sint, z bt ;r r2 (r )2dr4sin24cos2 d24 sin d 8(0 t 2 )21/2(x2 y2)ds0 a2(a2sin2t a2 cos21 b2) dt解：°2 a . a b dt

3、2 a a b0*(4) Jx2 y2ds,其中 L 为 x2y22y ；L解：L的极坐标方程为r 2sin ,2 ,则ds r2 (r )2d. x2 y2dsL22rd第二节对坐标的曲线积分1 .填空题(1)对坐标的曲线积分的计算公式LP(x,y)dx Q(x,y)dy= P (t), (t) (t) Q (t), (t) (t)dt中，下限对应于L的 始 点，上限 对应于L的终 点;(2)第二类曲线积分 iP(x,y)dx Q(x, y)dy化为第一类曲线积分是 LP(x, y)cos dx Q(x, y)cos ds，其中，为有向光滑曲线 L在点(x, y)处的 切向量 的方向角.2

4、.选择题：(1)对坐标的曲线积分与曲线的方向(B) (A)无关， (B)有关；(2) 若P(x, y) , Q(x, y)在有向光滑曲线L上连续，则 (A) (A) L P(x, y)dx Q(x, y)dy LP(x,y)dx Q(x, y)dy,(B) L P(x, y)dx Q(x, y)dy LP(x, y)dx Q(x, y)dy.3 .计算下列对坐标的曲线积分: (x2y2)dx,其中L为从点A(0,0)经上半圆周(x 1)2 y2 1L(y 0)到点B(1,1)的一段弧；解：L 的方程为 y2 1 (x 1)2 ,11(x y )dx x 1 (x 1) 2xdx 1L(2) x

5、dy ydx ,其中 L 为 yL2 .x上从点B(1,1)到点A( 1,1)的一段弧;解:xdyLydx1xg2xdx2.x dx1x2dx1(3) ：x2ydx y3xdy,其中 L为 y2x与x 1所围成区域的整个边界(按逆时针方向绕行)； 2,解：L1: x y , y :11, L2:x 1,y: 11,则_2,3,?lx ydx y xdy2,3,2,3,x ydx y xdy x ydx y xdyL1L2*(4)y2dx xydy zxdz,其中 为从点 O(0,0,0)到点 C(1,1,1),沿着I)直线段；II )有向折线OABC ,这里的O、A、B、C依次为点(0,0,0

6、)、 (1,0,0)、(1,1,0)、(1,1,1);x t解：I)的参数方程为y t , 0 t 1,则z t1.00原式二0(t2 t2 t2)dt 1x 1x tII ) OA:, 0 t 1; AB:y t , 0 t 1;y z 0z 0x 1BC:y 1.0 t 1.z t211原式=y dx xydy zxdz 00tdt °tdt 1OA AB BC1 (y5g2y y5)dy131641ydy 12ydy7第五节 对坐标的曲面积分1.选择题(1)对坐标的曲面积分与曲面的方向_ (B) (A)无关(B)有关(2)已知 R(x, y,z)dxdy 存在，则R(x,y,z

7、)dxdy+ R(x, y, z)dxdy (A)(A) 0(B) 2 R(x,y,z)dxdy2.计算下列对坐标的曲面积分：(1)(x2 y2)zdxdy,其中 为曲面z 1 x2 y2在第一卦限部分的上侧.解：由知,在xoy面的投影区域为:Dxy (x,y)|0 y -1 x2,0 x 1 (r, )|0 r 1,0原式二(x2 y2)(1 x2 y2)dxdyDxy(2)(x+1)dydz ydzdx dxdy,其中 为 x y z 1 在第一卦限的部分且取法线的方向与 解：由已知得，平面与 等腰直角三角形，故z轴的夹角为锐角.x,y轴的夹角也为锐角,在三坐标面上的投影为02d 0r2(

8、1 r2)rdr1 1一()2 4 62411 y原式二0dy 0 (2 y z)dz11 xdx (1 x z)dz0011 x 4dx dy °00, 3*3 .把 xdydz ydzdx (x z)dxdy化为对面积的曲面积分，其中 为平面2x 2y z 2第一卦限部分的上侧解：因取上侧，故法向量22cos一，cos一，cos33一，、21原式=( x yrn与z轴正向夹角为锐角，方向余弦为L从而311c1C-x -z)dS-(3x 2yz)dS333第六节Gauss公式*通量与散度1.利用高斯公式计算下列曲面积分：32 o(x yz)dydz 2x ydzdx zdxdy,其中 为平面x 0,y 0,z 0,x 1, y 1, z 1围成的立方体的表面外侧;解：由Gauss公式，得2 _ 211124原式=(3x 2x 1)dxdydz Qdz o dy o(x1)dx 一。*(3) xdydz ydzdx zdxdy,其中为上半球面 z ja2 x2 y2的上侧；2 22、解：设1为z 0(x +y a)的下侧， 与1围成的闭区域为，由Gauss公式，得36 xdydz ydzdx zdxdy 3dxdydz 2 a ,1而 0 xdydz ydzdx zdxdy 0 ,故原式=2 a31由 x2 y2