成人高考专升本高等数学二复习教程完整版.doc

1、第一讲函数、一、理论要求1 .函数概念与性质2 .极限3 .连续二、题型与解法A.极限的求法高等数学二复习教程连续与极限函数的基本性质(单调、有界、奇偶、周期)几类常见函数(复合、分段、反、隐、初等函数)极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限函数连续(左、右连续)与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质(最值、有界、介值)(1)用定义求(2)代入法(对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子)(3)变量替换法(4)两个重要极限法(5)用夹逼定理和单调有界定理求(6)等价无穷小量替换法(7)洛必达法则与Taylor级数法(8)其他(微积分性质，数列与

2、级数的性质)arctan x x arctan x x 1 ,比 日匕应、1 . lim hmz(等价小量与洛必达)X 0 ln(1 2x3) x 02x36sin 6x xf (x)6 f (x)2 .已知 lim 3 0, 求 lim2x 0x 3x 0x2解:xim0sin 6x xf (x)3xximo6cos6x f (x)3x2xyxim036sin6x6x2y' xy''216cos6x 3y' xy'''xim03 . lim(216 3y''(0)66 f(x)xim0y'2x2x2x1尸4 .已

3、知a、解：令t尸01nty''(0)limEx 0 2（重要极限）b为正常数，求lim0（x(-x 3lnt3ln(ax x7272236（洛必达）t (ab)3VVlim - (a ln a bx 0ax bx3/2bx)ln 2ln b)3 ln（ ab）2（变量替换）17-73 r5. lim (cos x)x 021斛：令 t (cosx) , ln t - ln(cos x)ln(1 x2)lim ln tlimtan x t e 1/2 (变量替换)x 0x 0 2x 2x20 f出 6.设 f'(x)连续，f(0) 0, f'(0) 0,求 lim

4、xx 0x2 0 f(t)dt0-，、在x=0连续，求a（洛必达与微积分性质）7.已知 f（x） ln（cOsx）x2,x a, x 0解：令 a lim ln(cosx) /x2x 01/2（连续性的概念）三、补充习题(作业)x一 e 1 x3(洛必达)1. limx 0.1 x cos . x-) x(洛必达或Taylor).,12. lim ctgx(x 0 sin xe t dt2xe(洛必达与微积分性质)xx3. lim -x 0 1第二讲导数、微分及其应用一、理论要求1 .导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导(基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导) 会求

5、平面曲线的切线与法线方程2 .微分中值定理理解Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor定理会用定理证明相关问题3 .应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图会计算曲率(半径)二、题型与解法A.导数微分的计算基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导1. y y(x)由 2yxty2arctan t什十dy :决7E,求 5dx2. yy(x)由 ln(x2y)x3y sin x决定，求 dy |x 0 1 dx解：两边微分得 x=0时y' ycosx y ,将x=0代入等式得y=1B.曲线切法线问题3 . yy(x)由2xyx y 决定，则 dy

6、|x 0 (ln 2 1)dx4 .求对数螺线e在(,)(e /2, / 2)处切线的直角坐标方程。解：x e cos ,(x,y)|/2 (0,e /2),y|1y e sin/2y e x5 .f(x)为周期为5的连续函数，它在 x=1可导，在x=0的某邻域内满足f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求 f(x)在(6, f(6)处的切线方程。解：需求f(6), f'(6Mf (1), f'(1),等式取x->0的极限有：f=0lim f (1 sinx) 3 f (1 sinx) x 0sinxsin/。t) ft 0t3 f(1 t) f(1)

7、tC.导数应用问题4f'(1) 8 f'(1) 2 y 2(x 6)6 .已知 yf (x)对一切 x 满足 xf ”(x) 2xf'(x)2 1 ex,若 f'(x0) 0(x00),求(x0,y0)点的性质。解：令x x0代入，f''(x0) -e°,x0 。，故为极小值点。ex0 x00, x0 03x7 . y r ,求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。(x 1)2y' y''解：定义域x (,1) (1,)驻点x 0及x 3拐点x 0; x 1:铅垂；y x 2:斜8.求函数(x1)e /2 ar

8、ctanx的单调性与极值、渐进线。y'2x x /2 arctanx1 x2渐：y(x2)与 y xD.哥级数展开问题2 sin x22sin(x t) (x t)t)61)n (x t)2(2n 1)一 、2 ,1 ,、sin(x t) dt - (x t)31 (x 37t)x0 sin(x t)17一 x371)n(2n 1)! 4n 1(1)n 1 (x t) (4n 1)(2n 1)!4n 1x(4n 1)(2n1)!d dxxo sin(x2t)2dt2(2n 1)(1)12 sinx或:ddx-2 /sinu ( du)d x 2sinu du dx 02 sin x10

9、.求 f (x)x2 ln(1x)在x0处的n阶导数f (n)(0)E.不等式的证明2解：x ln(1 x)f (n)(0) ( 1)n11.x1 2(x1 n!n 21)o(xn 2)1)nn1 x n n二 o(x )n 2(0,1)求证(1 x)ln 2(1 x) x；In 2ln(1 x) x证：1)令 g(x) (1 x)ln2(1 x)x2,g(0) 0g'(x),g''(x),g'''(x)2ln(1 x)(1 x)20,g'(0) g''(0) 0x (0,1)时g”(x)单调下降，g''(

10、x) 0,g'(x)单调下降 g'(x) 0, g(x)单调下降，g(x) 0；得证。F.中值定理问题2)令 h(x)ln(1 x) x1一，x(0,1),h'(x) 0,单调下降,得证。12.设函数 “*)在11具有三阶连续导数，且f ( 1) 0, f (1) 1,f'(0) 0,求证：在(-1, 1)上存在一点，使f"'( ) 3证：f (x)1 2 1 3f (0) f'(0)x - f''(0)x2 - f'''( )x3 2!3!其中(0, x),x 1,10 f( 1)x=-1代入有

11、1 1 f(0) 6f (1)1f(1)f(0)两式相减：f'''( 1)f'''( 2)1 .1,2 f'''( ) -f'''(1)f'''( 2) 3,2 r、.2 ,.213. e a b e ,求证：ln b ln a4T (b a) e、工,f (b) f (a)证：Lagrange:- f ()b a222 ln b ln a 2ln令 f (x) ln x,b a令（t） ?, ,（t）卡 0（ ）（e2）8 Vtte.2 . 24 八 、一 一，一，In b

12、 In a （b a）（关键：构造函数）e三、补充习题（作业）1 x31 .f(x) In2,求y(0)-,1 x2x e sin 2t2 .曲线t 在(0,1)处切线为y 2x 1 0y e cos2t3 . y xln(e 1)(x0)的渐进线方程为y x 1xe4 .证明 x>0 时(x2 1) In x (x 1)222证：令 g(x) (x 1)lnx (x 1) , g'(x), g''(x), g'''(x)2(x2 1)3xg(1) g'0, g''(1) 2 0x (0,1),g''

13、' 0,g'' 2x (1,),g''' 0,g'' 2g'' 0(0,1),g, 0(1, ),g, 0第三讲不定积分与定积分一、理论要求1 .不定积分掌握不定积分的概念、性质（线性、与微分的关系）会求不定积分（基本公式、线性、凑微分、换元技巧、分部）2 .定积分理解定积分的概念与性质理解变上限定积分是其上限的函数及其导数求法会求定积分、广义积分会用定积分求几何问题（长、面、体）会用定积分求物理问题（功、引力、压力）及函数平均值二、题型与解法A.积分计算dx.x(4 x)dx224 (x 2)2arcsinx2

14、C22x22x22x2x .2 . e (tanx 1) dx e sec xdx 2 e tan xdx e tanx C3 .设 f (In x)n1-x),求 f (x)dx解:f(x)dxxln(1 e )xedxB.积分性质C.积分的应用三、补充习题(作业)1.2.lnsin x2sin xdx4. 1e x ln(1ex)(1xex-e-)dxx (1 e )ln(11 eex) Cx 56x 13arctanx ,2 dxx-arctanx hbim 1b(1 1x)dx x4 iln25. f(x)连续,(x)在x 0的连续性。解：f (0)(x)f (xt)dt ,且im0f

15、 x)A,求(x)并讨论 '(x)(0)xf(x)6. tf (xdx 00, y xtx0 f(y)dy2 t2)dtd2dx(x)(0)f(x2x0 f (y)dyA lim2 x 022t2)d(t2'(0) A/2(0)x2)d x22dx0 f(y)d(y)xf(x2)7.设 f (x)在0,1连续,在(0,1)上 f (x)0,且 xf'(x) f(x)3a 2x ,2又 f (x)与 x=1,y=0积最小。解:。号)3a23a f(x) -2x所围面积S=2。求f(x),且a=方寸S绕x轴旋转体f(x)3a 2x2cx(4 1)xV' (8.曲线y

16、 Jx 1 ,过原点作曲线的切线,绕x轴旋转的表面积。解：切线y x / 2绕x轴旋转的表面积为曲线y Mx 1绕x轴旋转的表面积为总表面积为-(11.5 1)cotxln sin2x cotx xdx10 f(x)dxy2dx)'求曲线、切线与x轴所围图形202 yds,52 yds - (5 5 1)arcsin x , 3. - dx%x第四讲向量代数、多元函数微分与空间解析几何、理论要求1 .向量代数理解向量的概念(单位向量、方向余弦、模)了解两个向量平行、垂直的条件 向量计算的几何意义与坐标表示2 .多元函数微分理解二元函数的几何意义、连续、极限概念，闭域性质理解偏导数、全微

17、分概念能熟练求偏导数、全微分熟练掌握复合函数与隐函数求导法3 .多元微分应用理解多元函数极值的求法，会用Lagrange乘数法求极值4 .空间解析几何掌握曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的求法二、题型与解法A.求偏导、全微分1. f(x)有二阶连续偏导,会求平面、直线方程与点线距离、点面距离x .、"一"' 2x ,z f(e siny)满足 z g Zyye z,求f(x)解：f'' f 0f(u) c1eu c2eB.空间几何问题12 . z - f(xy)xy (xy),求3 . y y(x), z z(x)由 z xf (x y),F(

18、x,y,z) 0 决定，求 dz/dx4 .求jx jy jz ja上任意点的切平面与三个坐标轴的截距之和。解：xl x y/、% z/ z0 a d a一.2_2_ 25 .曲面 x 2y 3z21在点(1, 2,2)处的法线方程。C.极值问题6.设z222z(x,y)是由 x 6xy 10y 2yz z 18 0确te的函数,求z z(x, y)的极值点与极值。三、补充习题(作业) 21. z f (xy,-) g(y),求一- y x x yxyz2. z f(xy, g(2),求一 yxx3. z u ,u In、；x2 y2, arctany,求dz x第五讲多元函数的积分一、理论要

19、求1.重积分熟悉二、三重积分的计算方法（直角、极、柱、球）b dxf(x, y)dxdy add1y2(x)yi(x)f(x，y)dyr2()f (r, )rdr r1()f (x, y, z)dxdydzVby2(x)z2(x,y)dx dy f (x, y, z)dzay1(x)z1(x,y)z2 2(z)r2(z,)dz d f (r, ,z)rdrz1 1(z)r1(z,)2( )r2( , )2d d f(r, , )r sin dr1( )r1(,)会用重积分解决简单几何物理问题（体积、曲面面积、重心、转动惯量）z f (x,y) A D 1 z'x z'ydxdy

20、2.曲线积分理解两类曲线积分的概念、性质、关系，掌握两类曲线积分的计算方法L f (x,y)diL： y y(x) f(x, y(x)1 y,xdxaL: x x?f(x(t),y(t). x；y'2dty y(t)L : r r( ) f (r cos ,r sin ), r r' d熟悉Green公式，会用平面曲线积分与路径无关的条件3.曲面积分理解两类曲面积分的概念（质量、通量） 、关系熟悉Gauss与Stokes公式，会计算两类曲面积分f(x, y,z)dS f(x,y,z(x, y) . 1S:z z(x, y)DxyGauss: o E dSEdV(通量，散度)SV

21、Stokes: 口lF dr s( F) dS(旋度)z'2 z'y dxdy二、题型与解法A.重积分计算1. I(x2 y2)dV,为平面曲线y 2z绕z轴旋转一周与z=8 x 0的围域。822822z 2dz d r rdr00010243斛：I 0 dz x2 y2 2z(xy )dxdy22 x y、，99 .2. I722 dxdy，D 为 y a Max (a 0)与D ,4a2x2 y2x围域。(I2a2(w2)2 ,c c3. f (x,y)x y,1x 2,0y x0,其他22_求 d f (x, y)dxdy, D : x y 2x (49/20)B.曲线、

22、曲面积分xx4. I (e sin y b(x y)dx (e cosy ax)dyLL从A(2a,0)沿y J2ax x2至O(0,0)解：令L1从。沿y 0至A2 a23I :(b a)dxdy 0 ( bx)dx ( 2)a b aL L1 L1 D225. I 。1吗ydx,L为以(1,0)为中心,R( 1)为半径的圆周正向。L 4x y解：取包含(0,0)的正向L1:2x r cos y r sin:：0L L1LL L1L16.对空间x>0内任意光滑有向闭曲面S,2xxf (x)dydz xyf (x)dzdx e zdxdyS0 ,且f (x)在x>0有连续一阶导数，

23、lim f (x) 1,求 f(x)。x 0解：0- F dSsFdV (f (x) xf'(x) xf(x) e2x)dV一1 八 1 2xy (- 1)y -ex xxe / xy (e 1)x第六讲常微分方程一、理论要求1 .一阶方程2 .高阶方程熟练掌握可分离变量、齐次、一阶线性、伯努利方程求法会求y(n)f(x), y'' f (x, y')(y'p(x), y'' f(y,y')(y'p(y)3二阶线性常系数y'' py' q 02 p q 0f(x)二、题型与解法A.微分方程求解i2y

24、 i12y1Pn (x)e xCi e(CiyiixC2e2Xc2x)e x（齐次）X、e (c1 cos x c2 sin x)y2 Qn (x)e10r 2y2Qn (x)xex (非齐次)1and 2y2Qn (x)x2 e xf (x) e x(pi (x)cos x Pj (x)sin x)iy2 e x(qn(x)cos x rn (x)sin xi y2 xex(qn(x)cos x rn (x)sin x(n max(i, j) 次)1. 求(3x2 2xy y2)dx (x2 2xy)dy 0（非齐(223(xy x y x c) ux、，, 一一2.利用代换y 化简y co

25、sx 2y'sinx 3y cosx e并求通解。cosxxx cos2xe 、(u 4u e , y c 2c2 sin x )cosx5cosx 13.设y y（x）是上凸连续曲线，（x, y）处曲率为,且过（0,1）处1 y'2切线方程为y=x+1 ,求y y（x）及其极值。解：y'' y'2 1 0y ln | cos(一 x) | 14二 ln 2, y max211 - In 22三、补充习题（作业）1.已知函数y y（x）在任意点处的增量y x ，、 y rv o( x)，y，求y（1）。（ e4）2x2 x 2x I 2 x、2.求 y&

26、#39;' 4y e 的通解。(y c1ec2e-xe )422123.求(y x y )dx xdy 0(x 0), y(1) 0 的通解。(y -(x 1) 211八4.求 y'' 2y' e 0, y(0)y'(0) 1 的特解。(y (3 2x)e4 4第七讲无穷级数一、理论要求1.收敛性判别2.哥级数3.Fourier 级数级数敛散性质与必要条件常数项级数、几何级数、p级数敛散条件正项级数的比较、比值、根式判别法交错级数判别法哥级数收敛半径、收敛区间与收敛域的求法哥级数在收敛区间的基本性质（和函数连续、逐项微积分）Taylor 与 Maclau

27、lin 展开了解Fourier级数概念与 Dirichlet收敛定理会求l ,1 的Fourier级数与0,1正余弦级数第八讲线性代数一、理论要求1 .行列式2 .矩阵3.向量4.线性方程组5.二次型会用按行（列）展开计算行列式几种矩阵（单位、数量、对角、三角、对称、反对称、逆、伴随） 矩阵加减、数乘、乘法、转置，方阵的哥、方阵乘积的行列式 矩阵可逆的充要条件，会用伴随矩阵求逆矩阵初等变换、初等矩阵、矩阵等价用初等变换求矩阵的秩与逆理解并会计算矩阵的特征值与特征向量理解相似矩阵的概念、性质及矩阵对角化的冲要条件掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法掌握实对称矩阵的特征值与特征向量的性质理解n维向量、

28、向量的线性组合与线性表示掌握线性相关、线性无关的判别理解并向量组的极大线性无关组和向量组的秩了解基变换与坐标变换公式、过渡矩阵、施密特方法了解规范正交基、正交矩阵的概念与性质理解齐次线性方程组有非零解与非齐次线性方程组有解条件理解齐次、非齐次线性方程组的基础解系及通解掌握用初等行变换求解线性方程组的方法二次型及其矩阵表示，合同矩阵与合同变换二次型的标准形、规范形及惯性定理掌握用正交变换、配方法化二次型为标准形的方法了解二次型的对应矩阵的正定性及其判别法第九讲概率统计初步一、理论要求1.随机事件与概率2.随机变量与分布了解样本空间（基本事件空间）的概念，理解随机事件的关系与运算会计算古典型概率与

29、几何型概率掌握概率的加减、乘、全概率与贝叶斯公式理解随机变量与分布的概念3 .二维随机变量4 .数字特征5 .大数定理6 .数理统计概念7 .参数估计8 .假设检验第十讲总结1.极限求解理解分布函数、离散型随机变量、连续型变量的概率密度掌握0-1、二项、超几何、泊松、均匀、正态、指数分布，会求分布函 数理解二维离散、连续型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布理解随机变量的独立性及不相关概念掌握二维均匀分布、了解二维正态分布的概率密度会求两个随机变量简单函数的分布理解期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数的概念掌握常用分布函数的数字特征，会求随机变量的数学期望了解切比雪夫不等式，了解切比雪夫

30、、伯努利、辛钦大数定理 了解隶莫弗-Laplace定理与列维-林德伯格定理理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩了解 2分布、t分布、F分布的概念和性质，了解分位数的概念了解正态分布的常用抽样分布掌握矩估计与极大似然估计法了解无偏性、有效性与一致性的概念，会验证估计量的无偏性会求单个正态总体的均值和方差的置信区间掌握假设检验的基本步骤了解单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验变量替换（1作对数替换），洛必达法则，其他（重要极限，微积分性 质，级数，等价小量替换)1a 2a(n 1)a a1. lim(x ) (x ).(x -()-) x (几何级n n n nn2数)2

31、1/ x / 22. limo( arccosx)e(对数替换)xtan3. lim(2 x) 2x 1x 13 x、k4. lim (-) 2x 6 xn _nn 1(x a ) na (x a)5. lim2x a (x a)2.导数与微分3.一元函数积分4.多元函数微分1 cos2x 2 ,xx6. f(x) 4,x 0x costdt 0(xx0)，求 lim f (x)x 0复合函数、隐函数、参数方程求导1.(l)x(b)a(-)b' b2.- xx 3.y4.已知5. yarctan x sin(xet cost决定函数 te sint2x2y In y2u1 .e ,u

32、-In 3x1.求函数I(x) o2.3.4.5.6.1.2.v,v3t t2y) 0，求 dy/dxy y(x),求 dy验证 4xy2 (2x2y 1)y' 0x3 sin bx，求 y'x1dt在区间0,1上的最小值。（0）t 12 Jx2|x 1|23/2, (1 x ) dx,x(1 x)dx_dt_t -t2 11 4x,1 4x2-dx2x xy、z f (一,e )，求yZ'x,Z'yz z(x, y)由 F (x-,y -) 0给出，求证：xz'x yz'y z y xxy23.求 u(x, y)x2xy 在 O(0,0),A(

33、1,1),B(4,2)的梯度。4. u sin xln( x6 .证明 z xn f (4)满足 xz'x 2yz'y nz x7 .求 f (x, y) 4x 4y x2 y2 在 D:x2 y2 18 内的最值。5.多元函数积分1. 求证：div (a b) brota arotb222. Id(4 x y)dxdy, D: xy 2y3. ID(x y)dxdy, D:x2 y2 2y2x 24.改变积分次序dx f (x,y)dy10x 25. I() dxdy, D : x 2, y 2x, xy 1 围域。D y6.常微分方程1 .求、1 y2 ln xdx dy

34、、；1 y2dx 0 通解。 3x2 .求 y 2y' 5y 2e 通解。3 .求 y'' 2y' 5y 6e2x通解。，2一,24 .求(x y y)dx (xy x)dy 0通解。 1,5 .求 y 4y (x cos2x), y'(0)y(0) 0特解。26 .求 y'' y 4xex,y(0) 0,y'(0) 1 特解。高等数学考研题型分析填空题：极限（指数变换，罗必达）、求导（隐函数，切法线）、不定积分、二重积分、 变上限定积分选择题：等价小量概念，导数应用，函数性质，函数图形，多元极限计算题：中值定理或不等式，定积分几

35、何应用，偏导数及几何应用，常微分方程及应用高考赠送以下资料考试知识点技巧大全考试中途应饮葡萄糖水 大脑是记忆的场所，脑中有数亿个神经细胞在不停地进行着繁重的活动 ，大脑细胞活 动需要大量能量。科学研究证实，虽然大脑的重量只占人体重量的 2%-3%,但大脑消耗 的能量却占食物所产生的总能量的 20%,它的能量来源靠葡萄糖氧化过程产生。据医学文献记载，一个健康的青少年学生30分钟用脑，血糖浓度在120毫克/100毫升, 大脑反应快，记忆力强；90分钟用脑，血糖浓度降至80毫克/100毫升，大脑功能尚 正常；连续120分钟用脑，血糖浓度降至60毫克/100毫升，大脑反应迟钝，思维能 力较差。我们中考

36、、高考每一科考试时间都在 2小时或2小时以上且用脑强度大，这样可引 起低血糖并造成大脑疲劳，从而影响大脑的正常发挥，对考试成绩产生重大影响。因此建议考生，在用脑60分钟时，开始补饮25%浓度的葡萄糖水100毫升左右，为 一个高效果的考试加油。二、考场记忆“短路”怎么办呢？对于考生来说，掌握有效的应试技巧比再做题突击更为有效。1 .草稿纸也要逐题顺序写草稿要整洁， 草稿纸使用要便于检查。不要在一大张纸上乱 写乱画，东写一些，西写一些。打草稿也要像解题一样，一题一题顺着序号往下写。最好在草稿纸题号前注上符号，以确定检查侧重点。为了便于做完试卷后的复查， 草稿纸一般可以折成4-8块的小方格，标注题号以便核查，保留清晰的分析和计算 过程。2 .答题要按 先易后难 顺序不要考虑考试难度与结果，可以先用5分钟熟悉试卷，合