正余弦定理完美教(学)案

1、正余弦定理教案教学标题正余弦定理及其应用教学目标熟练掌握正弦定理、余弦定理的相关公式会用正余弦定理解三角形会做综合性题目教学重难点正弦定理、余弦定理的综合应用授课容：梳理知识1.正弦定理abc2R或变形：sin Ca: b:csin A :sin B :sin Csin AsinB2.余弦定理：2 ab2b22 a2 c2 c2bccosA2accosB 或cosAcosB222b c a2bc222a c b.2 cb22 a2bacosCcosC2ac222b a c2ab3. (1)两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边， 求其他的两边及一角2、已知两角和其中一边的对角，求其

2、他边角(2)两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.4.判定三角形形状时， 可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式5.解题中利用ABC中A B C换的运算，如：sin(A B) sinC,cos(A,以及由此推得的一些基本关系式进行三角变B) cosC, tan(A B) tanC,sinC,tan2cotC2.A B C A B sin cos ,cos222典型例题探究点一正弦定理的应用例 1 (1)在 4ABC 中，a=V3, b = V2, B= 45°,求角 A、C 和边 c；(2)在 ABC 中，a=8

3、, B=60°, C=75°,求边 b 和 c.解题导引已知三角形的两边和其中一边的对角，可利用正弦定理求其他的角和边，但要注意对解的情况进行判断，这类问题往往有一解、两解、无解三种情况.具体判断方法如下：在 ABC中.已知a、b和A,求B.若A为锐角，当a>b时，有一解；当a=bsinA时，有一解；当 bsin A<a<b时，有两解；当 a<bsin A时，无解.若 A为直角或钝角,当a>b时，有一解；当 awb时，无解.解 (1)由正弦定理 .a = . b /导,sin A=工3. sin A sin B2. a>b,A>B,

4、 .-.A= 60° 或 A= 120° .当 A= 60° 时，C= 180° 45° 60° =75°bsin C,6+ 2c=HnTB =2；当 A= 120° 时，C= 180° 45° 120° = 15bsin Cc=：-：sin B;=,6,2综上，A= 60°,C= 75或八=120° ,C= 15 ° ,c=(2)B= 60°由正弦定理,C= 75ac-V6+W c - 2),612 2.A= 45 .csin A sin B

5、sin C'a a - sin B a - sin C 得 b = ：t= 4y6, c = ：t = 4J3 + 4. sin A sin A，b=4g, c= 4艰+4.变式迁移11_。 一 一(1)在 ABC中，若(2)在 ABC中，若tan A=§, C= 150 , BC=1,则 AB = a=50, b=25V6, A=45°,贝U B = 探究点二余弦定理的应用例2 已知a、b、c分别是 ABC43角A B C的对边，且 a2+c2-b2=ac.求角B的大小；(2)若 c=3a,求 tan A 的值.解(1) ; a2+ c2 b2= ac, .cos

6、 B=a2+ c2- b22ac12.-cc 汽.0氏式,B=. 3(2)方法一 将 c=3a 代入 a2+c2b2=ac,彳导 b=ga.人b2 + c2a2 5J7由余弦定理，得cos A=.=Y.2 bc142“,21 .sin A= V1 cos A= J, 14，sin A ；3 .tan A=X=七.cos A 5方法二 将 c= 3a 代入 a2+c2- b2= ac, 得 b= 7a.由正弦定理，得 sin B= 17sin A汽 匹由(1)知，B= y, .sin A= K.又b=V7a>a,，B>A,.:2“5_7 cos A= . 1- sin A=0.14s

7、in A ；3.tan A=；二cos A方法三c= 3a, B= 2 , C=汽 35 ,由正弦定理，得 sin C= 3sin A2支(A+ B) = -7 A, 3 , 2支1. sin( A) = 3sin A3 sin -3cos A cos-3-sin A= 3sin A,.1 . 一. A+ 2sin A= 3sin A,5sin A= 3cos A,sin A ：3 tan A=t= T.cos A 5变式迁移22在 ABC 中，a、b、c 分别为 A、B、C 的对边，B=, b=13, a+c= 4,求 a.3探究点三正、余弦定理的综合应用例3 在 ABC中，a、b、c分别表

8、示三个角A、B、C的对边，如果(a2+b2)sin(AB)= (a2b2)sin(A+B),试判断该三角形的形状.解题导引利用正弦定理或余弦定理进行边角互化，转化为边边关系或角角关系.解 方法一(a2+ b2)sin(A-B)= (a2- b2)sin(A+ B)? a2sin(A-B)-sin(A+ B)=b2-sin(A+ B)-sin(A- B), 1- 2a2cos Asin B= 2b2cos Bsin A,由正弦定理，得sin2Acos Asin B = sin2Bcos Bsin A,sin Asin B(sin Acos A sin Bcos B)= 0, .sin 2A =

9、sin 2B,由 0<2A<2 兀，0<2B<2 为得 2A= 2B 或 2A= l 2B,即 ABC是等腰三角形或直角三角形.方法二同方法一可得 2a2cos Asin B = 2b2cos Bsin A,由正、余弦定理，即得2 b2+c2-a22 a2+c2b2a2b 乂= b2a 乂 ,a 2bc a 2aca2(b2+ c2- a2) = b2(a2+ c2 b2),即(a2 b2)(c2 a2 b2)= 0,a= b 或 c2= a2+ b2,，三角形为等腰三角形或直角三角形.变式迁移3AC cos B在 ABC中，Ac= 八 'AB cos C.证明

10、：B=C;.1,、 一兀，,一(2)若 cos A= 3,求 sin 4B+ 3 的值.课堂练习一、选择题（每小题5分，共25分）()6D. 31 .在 ABC 中，a=15, b=10, A=60°,则 cos B 等于2.2B. 32 .在 4ABC 中 AB = 3, AC=2, BC=710,则 A B A C 等于（）A. -|B. -2C.|D.f2332A c b3 .在ABC中，sin2, = （a, b, c分别为角 A, B, C的对边），则 ABC的形状为（）A.正三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形4 . （2011聊城*II拟）在4ABC中，

11、若A=60°, BC=4j3, AC=4、/2,则角B的大小为（）A. 30°B.45°C. 135°D, 45°或 135°5 . （2010 ）在 ABC中，角A, B, C所对的边长分别为 a, b, c,若C= 120 °,c= j2a,则（）A . a>bB. a<bC. a=bD. a与b的大小关系不能确定二、填空题（每小题4分，共12分）6 .在 ABC 中，B=60°, b2=ac,则 ABC 的形状为.7 .已知a, b, c分别是 ABC的三个角 A, B, C所对的边，若 a=1,

12、 b=近，A+C = 2B, 则 sin C=.8 .在锐角 ABC中，AD ± BC,垂足为 D,且 BD ： DC ： AD=2 ： 3： 6,则/ BAC的大小 为.三、解答题（共38分）,_ A_- LLr U、1 八、，L * LA 2 5_t9 .在4ABC中，角 A, B, C所对的边分别为 a, b, c,且满足cos- , AB?AC=3.25求 ABC的面积；（2）若b+c=6,求a的值.10 . (12 分)在 ABC 中，已知 B=45°, D 是 BC 边上的一点， AD=10, AC=14, DC = 6, 求AB的长.11 . （14 分）设

13、ABC 的角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c,且 3b2+3c23a2= 42bc. （1）求sin A的值；. _ _n：2sin A+ 4 sin B + C + 4(2)求1 cos 2A4土的值五课堂小结1 .解斜三角形可以看成是三角变换的延续和应用，用到三角变换的基本方法，同时它 是对正、余弦定理，三角形面积公式等的综合应用.2 .在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求 出其他的边和角时，有可能出现一解、两解或无解的情况，应结合图形并根据“三角形边 对大角”来判断解的情况，作出正确取舍.3 .在解三角形中的三角变换问题时，要注意两点：一是要用

14、到三角形的角和及正、余 弦定理，二是要用到三角变换、三角恒等变形的原则和方法.“化繁为简” “化异为同” 是解此类问题的突破口.家庭作业选择题（本大题共7个小题，每小题5分，共35分）1、在ABC中，下列式子与aa-相等的是sin Abcosb触DsinCbsin B2、在ABC中，已知c=10,/ A= 30o,则/ B等于A.105 o B. 60C. 15 oD.105o 或15o3、在 A ABC中,/ A=450, / B=600,a=2,贝U b=4、不解三角形,A.C.5、在B . 2展 C . 3娓确定下列判断中正确的是a 7,ba 6,bABC 中,A.直角三角形4.614,

15、 A9, Asin A30 ,有两解45 ,有两解B.D.sinB,则 ABC是30,b9,c25,A 150，有一解10, A 60 ,无解B.等腰三角形 C.等边三角形D.锐角三角形6、在 ABC中，一定成立的等式是A.asinA=bsinBB.acosA=bcosBC.asinB=bsinAD.acosB=bcosA187、在 ABC 中，若 a 15 , b 10, A 60 则 cosB 等于（）A、幽B、返C、叵D、/ 3333二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）1、在 ABC 中，a= 2J3 , b=2j2, B= 45° ,则 A等于.2、在 ABC 中，A

16、B=j3 A 45 , C 75,则 BC 的长度是3、在 ABC中，已知a x,b 2, B 60° ,如果 ABC两组解，则x的取值 围是 .2,22a b c 一 .4、已知 ABC的二边分别为a, b, c,且S ABC = a一-,那么角C=.45、已知 ABC中，A=60 °,最大边和最小边是方程 x2-9x+8=0的两个正实数根，那么 BC边长是.5.6、在 ABC 中，若 a b , A 2B则 cosB 27、在4ABC中，已知a = 7, b= 8, cosC= 13,则最大角的余弦值是 .三、解答题（10分）（要求具体的解题过程，否则按错误处理）1、在

17、 ABC中，已知b 3,c 3<3, B 30 ,解此三角形。2、在 ABC 中,a, b, c分别是三角A、B、C的对边，且tan B2a ctan Ca2+ b2= c2+ 反 ab,求 A.参考答案变式迁移1手(2)60或120°1一解析 (1) .在 4ABC 中，tan A = -, C=150 , 31 A 为锐角， - sin A =. .10-x/bc=i.根据正弦定理得 AB =(2)由 b>a,得 B>A,由BC sin C 匹sin A = 2 .a bsin A sin B'得 sin B =bsin A 25V6X V2_V3502

18、1.10<B<180°B= 60°或 B= 120°.变式迁移2解 由余弦定理得，b2= a2+ c2- 2accos B99 c2=a2+ c2 2accos3 兀=a2 + c2 + ac= (a + c)2 ac.又 = a+ c= 4, b=T3,ac= 3,a + c 4联立，解得 a= 1, c= 3,或 a = 3, c= 1.ac= 3a等于1或3.变式迁移3解题导引在正弦定理sin A sin B sin C=2R 中，2R是指什么？ a=2Rsin A, b=2RsinB, c=2Rsin C的作用是什么？(1)证明 在4ABC中，

19、由正弦定理及已知得sin B cos Bsin C cos C.于是 sin Bcos C cos Bsin C= 0, 即 sin(B- C) = 0.因为一BB C<TT,从而 B- C=0.所以B=C.(2)解 由A+ B+ C=兀和得人=兀一2B,1故 cos 2B = cos(兀一2B) = cos A=-.3又0<2B<兀,是 sin 2B=力 cos22B= 22.3从而 sin 4B= 2sin 2Bcos 2B = 42, 9cos 4B= cos22B - sin22B =.9所以 sin 4B+：3&一=sin 4Bcos 3+cos 4Bsin

20、 3472773课后练习区1. D 2,D 3.B 4.B 5.A6 .等边三角形解析b2= a2+ c2 2accos B,ac=a2+ c2 ac,''' (a _ c)2= 0,a= c,又 B= 60 ,.ABC为等边三角形.7 . 1解析 由 A + C=2B 及 A+B + C=180°知，B = 60°.由正弦定理知,sin A sin 60 °一 1即 sin A=-2.由 a<b 知，A<B, .-.A= 30°,C= 180 -A-B= 180 -30 - 60 =90°, sin C= sin 90 = 1.兀&4解析则tan设 / BAD = % / DAC = 3,a= 1, tan 3=工，32. /oAc x / 0、 tan a+ tan 3 . tan/ BAC= tan( a+ S)=1 tan dan 311一十一3 2 dd 7= 1.1、/ 11 -x -1 3 2 / BAC为锐角，/ BAC的大小为4A 259.解(1)因为 coS2=-5",所以 cos A= 2cos2A 1 = 3, sin A=4255.分)