盐城市第三次调研数学试题及答案

1、盐城市2008/2009学年度高三第三次调研考试数学学科试题本试卷分第i卷（填空题）和第ii卷（解答题）两部分.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题 无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1 .答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考证号、姓名，并 将条形码粘贴在指定位置上.2 .选择题答案使用 2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚.3 .请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.4 .保持卡面清洁，不

2、折叠，不破损.5 .作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.参考公式：样本数据x1, x2, L , xn的标准差锥体体积公式其中x为样本平均数柱体体积公式V Sh其中S为底面面积，h为高其中S为底面面积、h为高球的表面积、体积公式八243S 4tR , V - tR3其中R为球的半径第I卷（填空题）、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上3 ai3 一1 .如果复数3 （a R）的模为一，则a 6 .2i22.已知集合 Ax|x2 x 6 0 ,B x| x 1 0 ,则 CrA B 1.3

3、.2 13 .抛物线y 2x的焦点坐标为 0,- _8 4 .如图所示，一个水平放置的"靶子”共由10个同心圆构成，其半径分别为1 cm、2 cm、3 cm、10 cm,最内的小圆称为 10环区，然后从内向外的圆环依次为 9环区、8环区、1环区，现随机地向“靶子”上撒一粒豆子，则豆子落在8环区的概率为 ._20_一105 .某几何体的底部为圆柱，顶部为圆锥，其主视图如图所示，若AB 2,BC 3, DSC 900,则该几何体的体积为6 .如图所示的程序框图，如果输入三个实数a,b,c,要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中,应该填入的内容是b c .7.将函数 y sin(

4、2 x )(0）的图象向左平移 一个单位后，所得的函数恰好是偶函数，则6的值为8.已知函数f(x)(3 a)x 3,x 7*，数列 an满足anf (n), n N，且数列 an是递增数列，则实数a的取值范围是(2, 3)9.图(1)、(2)、(3)、(4)分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第n个图形包含f(n)个“福娃迎迎”，第9题第11题f(n) =2n2 2n 1(答案 用数字 或n的 解析式 表小)递增的等比数列an满足a2 a3bn的前n项和Sn =n(n2a4 28 ,且a3 2是22, a4的等差中项，若 bn3)l

5、og2 an10 .已知1 ,则数列11 .在边长为1的菱形ABCD中， ABC4.5 uuur uuu1200 , E、F分别是BC CD的中点，DE交AF于点H ,则AH AB =12.若关于x 的方程 x2 (a2 b2 6b) x2. 2a b 2a 4b 1 0的两个实数根 x1, x2满足x1 0 x2 1,则a2b24a 4的取值范围是13.若椭圆2y ,. 一/ 1(a b 0)上任一点到其上顶点的最大距离恰好等于该椭圆的中心到其准线的距离, b则该椭圆的离心率的取值范围是14 .已知定义在R上的函数 F(x)满足_ _2F(2kx x )x 0,1,不等式组2F(x kx)F

6、(xy) F(x) F(y),当x 0时，F(x) 0.若对任意的F(kF(k4)-口均成立，则实数 k的取值范围是3)(3,2) 一第II卷(解答题)解答：(I) P (0.15 0.2) 20.74分如图所示,(I)若(n)设APQ12AQP ,且 cos ,求 sin(2）的值.解：（I）因为角 A为钝角，且sin AA 4cos A 5在APQ中，由PQ2得AP2 AQ22AP AQcosA,解得AQ(n)由又 sin(2_ 25 AQcos2或AQ1213sin A所以sin(23 125 1313-410 AQ 510(舍)，即AQ的长为2得sin5 sin (566513cos(

7、sin(.4cos A 一5)cos cos(11分)sin14分16 .（本小题满分 14分）某高中地处县城，学校规定家到学校的路程在10里以内的学生可以走读，因交通便利，所以走读生人数很多.该校学生会先后5次对走读生的午休情况作了统计，得到如 下资料：若把家到学校的距离分为五个区间：0, 2）,2, 4）,4, 6）,6, 8）,8, 10,则调查数据表明午休的走读生分布在各个区间内的频率相对稳定，得到 了如右图所示的频率分布直方图；走读生是否午休与下午开始上课的时间有着密切的关系.下表是根据5次调查数据得到的下午开始上课时 间与平均每天午休的走读生人数的统计表下午开始上课时间1 : 30

8、1 : 401 : 502: 002: 10平均每天午休人数250350500650750若随机地调查一位午休的走读生，其家到学校的路程（单位：里）在2,6）的概率是多少?(I)(n)如果把下午开始上课时间1: 30作为横坐标0,然后上课时间每推迟 10分钟，横坐标x增加1,并以平均每天午休人数作为纵坐标y,试根据表中的5列数据求平均每天午休人数与上课时间x之间（田）的线性回归方程$ bx 预测当下午上课时间推迟到a；2: 20时，家距学校的路程在 6里路以上的走读生中约有多少人午休?二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或7M算步骤，请把答案写在答题纸的指定

9、区域内.15.（本小题满分 14分）3角 A为钝角，且sin A ，点P,Q分别在角A的两边上.5AP 5, PQ 3/，求AQ的长；(n)根据题意，可得如下表格:X01234y250350500650750则 X 2, y 500n所以b(Xix)(yiy)i 1 n 2 (Xi X) i 1(2) ( 250) ( 1) ( 150) 1 150 2 250(2)2( 1)2 12 22130y bX,得a 240,故所求线性回归方程为y 130X 24010分(m)下午上课时间推迟到2： 20 时，x 5, y 890890 (0.05 0.025) 2 133.5,此时，家距学校的路程

10、在6里路以上的走读生中约有133人(134人)14分17.(本小题满分14分)如图甲，在直角梯形 PBCD中，PB的中点.现沿AD把平面PAD折起，使得PA 的中点.(I)求证：PA平面ABCD；(n)求证：平面 PAE 平面PDE ；(田)在PA上找一点G ,使得FG平面PDE.PB/CD , CD BC, BC PB 2CD, A是AB (如图乙所示)， E、F分别为BC、AB边H作GH II PD交PA于G ,连结FG解答：(I )证：因为 PAX AD,PA± AB, AB AD A ,所以PA 平面 ABCD 4 分(n)证：因为 BC PB 2CD,A 是 pb 的中点，

11、所以 ABC提矩形，又E为BC边的 中点，所以AE± EDo又由PA 平面 ABCD,得 PA ED ,且 PA AE A, 所以ED 平面PAE，而ED 平面 PDE ,故平面 PAE 平面 PDE9分(田)过点F作FH / ED交AD于H , I由 FH II ED, ED 平面 PED ,得 FH II 平面 PED ； 由 GH II PD , PD 平面 PED ,得 GH /平面 PED ,又FH GH H ,所以平面FHG /平面PED 12分再分别取 AD、PA的中点M、N ,连结BM、MN ,易知H是AM的中点，G是AN的中点，从而当1 .一 点G满足AG AP时，

12、有FG平面PDE。 14分418 .(本小题满分 16分) 22已知圆C:(x 2) y 4,相互垂直的两条直线 l1、l2都过点A(a,0). (I)若l1、l2都和圆C相切，求直线l1、的方程；(n)当a 2时，若圆心为 M(1,m)的圆和圆C外切且与直线l1、l2都相切，求圆 M的方程;(田)当a1时，求l1、l2被圆C所截得弦长之和的最大值 .1 .斛答：(I)显然，l1、l2的斜率都是存在的，设 l1 : y k(x a),则l2:y (x a) k 1分/口 |2k akl2 a八则由题意，得'2, 一,2 3分、k2 1,k2 1解得|k 1且|a 2 2行，即k 1且a

13、 2 2版5分 1i l2: y(n)、l2的方程分别为l1 : y x 2/ 2与l2 : y x 2V22或l1 : y x 2722与x 2J22 6分设圆M. (1(1解得r2)2)2 m2 m2r2(2",r)2:圆M的方程为(x 1)2 (y -.7)2 411分(田)当为四边形1时，设圆C的圆心为C, 11、AECF是矩形，所以CE2 CF 2l2被圆C所截得弦的中点分别为 E,F ,弦长分别为d1,d2,因AC21,即2d 2八4dl1 ,化简得2d1 d22814分从而d1d2V2 M2 d； 2网即11、12被圆C所截得弦长之和的最大值为2J1419 .(本小题满

14、分 16分)16分设函数f(x)(D (n) (田)求证：当存在xx sin x - ,g(x) xcosx sinx.xx (0,时，g(x) 0；(0,使得f(x) a成立，求a的取值范围;若g(bx) bxcosbx bsin x(b 1)对x (0,恒成立，求b的取值范围.的半径为r ,易知圆心 M(1,m)到点A(2,0)的距离为立，解答：(I)解答：(I)因为当x 0, 时，g'(x) cosx xsin x cosx xsin x 0,所以g(x)在0, 上单调递减,又g(0) 0,所以当x 0,时，g(x) 0 4分一、 x sin x , sin x 、 xcosx

15、sin x(n)因为 f(x) 1 ,所以 f (x) 2，xxx由(i)知，当 x 0,时，xcosx sinx 0,所以 f'(x) 0 6分所以f(x)在0,上单调递减，则当 x 0, 时，f(x)min f( ) 1 8分由题意知，f (x) a在0,上有解，所以a f(x)min,从而a 1 10分(田)由 g(bx) bxcosbx bsin x (b 1)得 sin bx bsinx (b 1)对 x 0, 恒成立，当b1,0,1时，不等式显然成立 11分当b 1时，因为bx 0, b ,所以取x0 Q,则有sin bx0 0 bsin x0,从而此时不等式不b恒成立 1

16、2分sin x当0 b 1时，由(n)可知h(x) 在0, 上单调递减，而 0 bx x ,x.sin x sin bx- ,. sinbx bsinx 成立 14分x bx当1 b 0时，当x 0,时，0 bx x ,则sin x sin( bx) sin bx .,., sinbx bsinx 不成立,bx综上所述，当bbx1或 0 b 1 时，有 g(bx) bx cosbx bsin x(b1)对 x (0, 16分恒成立。20 .（本小题满分16分）数列1 ( 1)nan 满足 aa,a2 b 0,bn ,an 2(1bn)an bn 1,n1,2,3求数列 an的通项公式;(n)1

17、, a2, a27, a49为某等差数列的第1项，第k项，第k+7 项，且 a2m（田）b;求证:数列a2n 1中能抽取出一个子数列成等比数列Cn的充要条件是a为有理数.解答:(I)当n 2k 1,k N* 时，an 2 a2k, kN* 时，an2an , an b 2(k 1) k (a 1)2 分一 ann 1 a2n1b 22(n)a 1时,a494914a2727U(k7又 a2m a2m 12k 1,(k N*)2k,(k N*)a? b,a271)m2 ,所以b14, a49a2(k25,则该等差数列的公差为1)d b (k 1)112m 1m2,即 b 2m 1由知，b为整数或

18、分母为7的既约分数；由知,数b为整数或分母为7分2的既约分数，从而 b必为整由知，b0,结合得,11 , b 14 (k71) 0,所以(k1）只能取7,3,又由得,-2 , m (mm 1f (m) 3 23 0m22则 f'(m)3 (ln 2) 2m21 2m3 ln 22m1 (1 2m),因为1 22m 21 2m所以当m4时,从而 f'（m） 0, 则由f（4） 24 又 f （3） 12 3所以m 2或m 综上所述，当b2m 1(1故f (m)在 4 16 41 22 24,2m 11 (m2)（田）必要性9 0,3,3,且ma2n 1为 a2n 1 n(a 1)

19、(n当n Ia 1,所以22m) mp 2m 0 时,2m 2）上单调递增。f (2) 62m ,又 31n 21,f (m) 0 在2 4 0,3时满足条件4, f上无解31110,10分11分中存在一个子数列Cn成等比数列，设 a2n 1, a2m 1,a2p 1为其中的连续三项。因/ 2n a 1 p a 1 m a 1 ,则np212分m np2一一一0 ,即（n p） 4np，则 n p ,矛盾;当n2m 0 时,2a 10 Q ,则a Q ,所以必要性成立13分充分性a为有理数,因为n p 2ma2nl n a 1,所以可取足够大的正整数n0 a0 ,因为n°1也为有理数

20、，故可设 n0 a 1（其中p, r为互质正整数）。现构造等比数列cnCin。cn(n0 a1)(r1)n1)n14分因为1(1 r)(1r)2(1r)所以(1r1(1r)(1r)2(1(1 r)n1(1 r)r)n2(1 r)n 1 1r1,从而cn(1则cnrr)Pp1(1pM(1r)(1r)2(1nr)2,a2n 1r)2(n0(11)r的子数列，所以充分性也成立综合知，原命题成立。r)n 2pM(n。PM)为正整数,a 1 ,故cn必为a2n 1中的项，即等比数列 cn是16分数学附加题21 .选做题在A、B C、D四小题中只能选做 2题，每小题10分，计20分.请把答案写在答题纸的指

21、定区域内A.（选修41:几何证明选讲）如图，四边形 ABC呐接于圆O,弧AB 2求证：AB BE CD .证：连结AC ,因为EA切圆。于A ,所以/ 因为弧AB 弧AD,所以/ ACD= / ACD 5分弧AD ,过A点的切线交EAB= / ACRACB, AB= AD,于是/又四边形 ABCD内接于圆 O,所以/ AB巳/ D,所以 ABE CDA.工臼AB BE于是 ,CD DA_ 2AB BE CD B.(选修42:矩阵与变换)即 AB DA BE CD10分CB的延长线于 E点.EABa ,A的一个特征值 2 ,其对应的特征向量是 b211 .(I)求矩阵（n）若向量解：（i） A，

22、计算A5的值.(n)解得矩阵A的特征多项式为 f（）12, 2322 56 0,C .2八，2时，得1；当23时，得 21112m nm 1 n 2,得 m nA5A5(3 i5 2251C.(选修35_52)3( A4353397,得41)A5m 3, n23( 1544:坐标系与参数方程）10分已知某圆的极坐标方程为p 2 4j2 P cos（ 0 ） +6=0.（I）将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程;（H）若点P（x, y）在该圆上，求xy的最大值和最小值.解答：（I） x2y2 4x 4y 6c x 22 cos；y 22sin（为参数）(II)因为x y4 2sin,所以其最大值为6,最小值为210分D.（选修4 5:不等式选讲） 设a,b,c均为正实数.(I)若 a（n）求证:解答：（I）b c 1 ,112a 2b解：因为求a22cb21b cc2的最小值;1a,b,c均为正实数，由柯西不等式得2.2a b22222c2 (121212)(a b c)21-，一时等号成立，3的最小值为(n)111- a,b,c均为正头数，一 2a2b12、. abb时等号成立;2b2cc时等号成立;2 2c 2a12 caa时等号成立;人心一小1三个不等式相加得，2ac a1