函数值域的十五种求法

1、1 直接观察法对于一些比较简单的函数，通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域1一,、 一 、“， Y= ,例 1求 函 数袁 的 值 域。-0解：卫步川？宏显 然 函 数 的 值 域 是 ：2 配方法?配方 法 是求 二次函数值域最基本 的 方法 之一。例 2求 函 数 y =- 2x +5nXE-L2 的 值 域。解： 将 函 数 配 方 得：+4总司一L2由二次函数的性质可知：当 x = 1 时，¥*7，当 x = - 1 时，¥* " ,故 函 数 的 值 域 是： 4,83 .判别式法例3,求函数» =为+ J工小一工）的

2、值域。解：两边平方整理得：2- - 2（y +1）% + y J 口（ 1）.KER?. .A=4(y + ir - 8y之。解得：仇但此时的函数的定义域由 工(2-H)占口|,得口工片42由人皂0,仅保证关于x的方程："-2(y 4-L)K + y3 = 0在实数集r有实根，而不能确保其实根在区间0, 2上，即不能确保方程(1)有实根，由 更之。求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函1 21数的值域为2。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。!0<x<2?.y-x+ J式 2 - k)5。.了2ty-i十点代入方程(1)霍L _一直口兄肛=J J解得：也?即当

3、2 时，原函数的值域为： 电J两注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。4 .反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例4,求函数5艺+ 6值域。4 一x =解：由原函数式可得：5y-34 - 6y3y 乙底#一则其反函数为：5父- 3 ,其定义域为：5FT故所求函数的值域为：、»5 .函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。COSXy =例5,求函数gm戈-3的值域。解：由原函数式可得：ysmx- cosx = 3y|,可化为：F-s

4、 居= 广手=广 ；一 .？即！十 .演啊? .国藤勖士 却r 3-了事即 位十1?解得： 。一一 4故函数的值域为6 .函数单调性法例6,求函数了2苒.'+1。/罚（2£5：工1。）的值域。解：令力.产乙了广!。翳指二！？则力，力在2, 10上都是增函数所以¥ = Vi 4%在2, 10上是增函数YoJn = 2 3 十 log 3'=当x=2时，3当x=10时，二炉十脸凤以口33|故所求函数的值域为：LS 例7,求函数yu（x+i %1笈一的值域。2 y=,-解：原函数可化为：I Vx 4- 1 4 V31 - 1令？】餐疡n，为2 H病二r,显然以，力

5、在【1，+6上为无上界的增函数所以了=力，人在【1，+81上也为无上界的增函数y忘所以当x=i时，y =为+ 为有最小值值，原函数有最大值72显然y>0 ,故原函数的值域为 （口:7 .换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作？例8,求函数y 十十诲十”解：因1 -万41尸> C即&算D? <1故可令号讨鬻西B区即!阊0 < P-< 70-4 4,手，耶+2口 V 血中一马十IM”走 4故所求函数的值域为0十的s3 - X Y=in例9,求

6、函数 里+2第41的值域。1 2z 尸一乂f解：原函数可义形为：2 1 +鼠2s . ” -sin 2|i- 可令"tan广，则有1+1y = - isin x cos那=-Lm邻 24D ku TC1P = -T- -Vtmk =当 2月时，4的值域。Q邓十混皿"*+1I /Ka1 +然1-小2 cos B1+ Xkir 兀J当=时，=-4而此时tai邓有意义。1-故所求函数的值域为L 七宴名 R -丁 一例10.求函数忸(加x + D(co骋+ )1,L 12 2的值域。解：y- fsuix + l)(cosx + 1)如 xct)sx4 sinx + cosx+ 15

7、U1KCO5X = (t2 1) 7 = (t2 - 1) + 14- 1 = (t 4- 1) 3令CSX = t,则2?22X工iy宏昼一一-1一由t = £inK+cc=d2£i4汉+冗/？且L 12 2可得：23 S * _ 袅 3 4i.当t = J2 时2 ，当 2 时， 42故所求函数的值域为例11.求函数卜三式十4十J5-x的值域。解：由5-戈：之0,可得因长君故可令M妻8郎平弓。用丫 =奉cos|4 4+ -Js sin 8=血（B + 3+4 4兀，出或七5兀,|o<p<?.j-p + 7-T当用时，jr + M当阳川，卜而故所求函数的值域为

8、：4 - & + M8 .数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。要学习网，只做中学生最喜欢、最实用的学习论坛,地址”一屈-2y +扬+犷的值域。B PA1 I1L._ .8 02解：原函数可化简得：y=|x-2|+|x+8|上式可以看成数轴上点P (x)到定点A (2) , B(-8)间的距离之和。由上图可知，当点 P在线段 AB上时，y=|x-2|+|x+8|=|AB|=10当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，y=|x-2|+|x+8|>|AB|=10故所求函数的值域

9、为：口 口 48例13.求函数”屈二菽13+ 必二初 的值域。解：原函数可变形为：y = -了 二铲+瓜+ 2尸+ (0 +以上式可看成 x轴上的点P(x,0)到两定点A(3,2),B(-2,-1)的距离之和，由图可知当点P为线段与x轴的交点时，%=|AB|Hj(3 + 2y+(2+1尸.痂，故所求函数的值域为J打，4码夕 3,2)(2 -】)I例14.求函数卜三五F + -正用+5的值域。解：将函数变形为：卜=J幽3>十(。一2y一(k + 2)1 + (0- l)a上式可看成定点 A (3, 2)到点P (x, 0)的距离与定点 B(-2,1)到点P(x,0)的距离之差。即：y=|A

10、P|-|BP|由图可知：(1)当点P在x轴上且不是直线 AB与x轴的交点时，如点 P',则构成ABP',根据三角形两边之差小于第三边，有AP|-|BP|k|AB卜而寿1517 =廊即：-亚 <”扬(2)当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有|AP|-| BP|=|AB|=26综上所述，可知函数的值域为：(一历，廊注：由例13, 14可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使 A、B两点在x轴的两侧，而求两距离之 差时，则要使 A, B两点在x轴的同侧。如：例13的A, B两点坐标分别为：(3, 2) , (-2,-1),在x轴的同侧；例14的A, B两点坐标分别 为(3,

11、2) , (2,-1),在x轴的同侧。9 .不等式法利用基本不等式Ia + b>2a4 b + c>3VSc (a>b,ceR*),求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。V = (sin x + !P + (to S X +j- - 4例15.求函数CO专比的值域。解：原函数变形为：f - 23 t 1Ly - （sin 工 + cos 兀）十=+ sin 耳 cos x=1 4- ees 54 + x =3+ tan2 x + cot2 工 工 3 Vtan. x cot x + 1 =5当

12、且仅当 tanx=cotx即当r =+ 2一一彳(kEZ)|时，等号成立故原函数的值域为：0+8)例16.求函数y=2sinxsin2x的值域。解：y=4sinxsinxcosx =：，1了二 16 21ft1 K COS3 堂=8sin3 xsin2 x（2 4 2 面，）<8（sin2 k+ sin3 x + 2 - 2sin2 s）/3364"27sin1 k =-当且仅当血？笈=2 - 2£in，我，即当3时，等号成立。873 8-5丁g，9故原函数的值域为：L 了 710.映射法= , 9 1 U),一，一 人、口 ,4"人、口 E,原理：因为 亡

13、瞿斗d在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。1 -知y =例17.求函数2K 4 1的值域。 x |x <- -ife >卜解：.定义域为I 2 2J2y+32y+ 32故函数的值域为k11 .最值法对于闭区间a,b上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间a,b内的极值，并与边界值f(a).f(b)作比较，求出 函数的最值，可得到函数y的值域。要学习网，只做中学生最喜欢、最实用的学习论坛，地 址?2/一 工- 3)*3/ +大4 1) M0,且满足 x+y=l, 求函数z=xy+3x 的值域。点拨：根据已知条件求出自变量

14、x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。解：上述分式不等式与不等式 2工2“工一?«0同解，解之得1 wxW3/2 ,又x+y=1 ,将 y=1-x 代入 z=xy+3x 中，得了二一工' + 4工(-1 <x<3/2),且xC -1,3/2,函数z在区间-1,3/2上连续，故只需比较边界的大小。当 x=-1 时，z= 5;当 x=3/2 时，z=15/4 。，函数z的值域为 z I 5<z<15/4 。点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间，若存在最值，也可通过求出最值而获得函数的值域。12 .构造法13 .根据函数的结

15、构特征，赋予几何图形，数形结合。14 .例19.求函数V= /+ 45+5干/非一4丁斗芯的值域。15 .点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。16 .解：原函数变形为/（工+2?+1/（2-界尸+ 217 .作一个长为4、宽为3的矩形ABCD ,再切割成12个单位正方形。设 HK=x,则 EK=2-x,KF=2+x,1=&-£尸+吸 咫加国"18 .由三角形三边关系知，AK+KC 决C=5。当A、K、C三点共线时取等号。19 .，原函数的知域为 y|y >5。20 .点评：对于形如函数 产收+盘土尤）心、,力.均为正数），均可通过构

16、造几何图形，由几何的性质，直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。13 .比例法14 .对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的 值域。2215 .例20.已知x,yCR,且3x-4y-5=0,求函数二二算十厘的值域。16 .点拨：将条件方程 3x-4y-5=0 转化为比例式，设置参数，代入原函数。17 .解：由 3x-4y-5=0 变形得，（x3）/4=（y-1）/3=k（k 为参数）18 . . x=3+4k,y=1+3k,19 , .工三人+灯=（3+快）、。4 + 34=+灯+1。20 .当 k= 3/5 时，x=3/5,y= 4/5

17、时，/皿=】。21 .函数的值域为 z|z >1 .22 .点评：本题是多元函数关系，一般含有约束条件，将条件转化为比例式，通过设参数，可将原函数 转化为单函数的形式，这种解题方法体现诸多思想方法，具有一定的创新意识。23 .24 .利用多项式的除法国十月y5r45解： 142式4工 工4 2至4区区=tan 2,则Icos2 BP=-sifl2p+-SMLp+l17十I?泉 1.r= ecs B + san2当 4时,17% =而当目时，皿tan-此时2都存在，故函数的值域为注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用名坨3的有界性。总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般 优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。25 .例21.求函数y=(3x+2)/(x+1) 的值域。26 .点拨：将原分式函数，利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。27 .解：y=(3x+