函数极限和连续

1、第一章 函数、极限和连续§ 1.1 函数主要内容函数的概念1 .函数的定义：y=f(x), x CD定义域：D(f), 值域：Z(f).x D1x D2f(x)y ，、2 .分段函数：g( X )3 .隐函数：F(x,y)= 04 .反函数：y=f(x) - x=()(y)=f -1 (y) y=f -1 (x)定理：如果函数：y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y是严格单调增加(或减少)的；则它必定存在反函数：y=f-1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X 且也是严格单调增加(或减少)的。函数的几何特性1 .函数的单调性:y=f(x),x lD,x1、xzGD当

2、 xvxz 时,若 f(x 1) < f(x 2),则称f(x)在D内单调增加()；若 f(x 1) >f(x 2),则称f(x)在D内单调减少()；若 f(x 1) <f(x 2),则称f(x)在D内严格单调增加()；若 f(x 1) >f(x 2),则称f(x)在D内严格单调减少()。2 .函数的奇偶性：D(f)关于原点对称偶函数：f(-x)=f(x)奇函数：f(-x)=-f(x)3 .函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x), x e(-°°, +00)周期：T最小的正数4 .函数的有界性：|f(x)|<M , x G (a,b)基

3、本初等函数1 .常数函数：y=c , (c为常数)2 .募函数：y=x n , (n为实数)3 .指数函数：y= ax , (a >0、a，1)4 .对数函数：y=log a x ,(a >0、a，1)5 .三角函数：y=sin x , y=con xy=tan x , y=cot xy=sec x , y=csc x6 .反三角函数： y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x复合函数和初等函数1 .复合函数：y=f(u) , u= (1)(x)y=f d (x) , x e X2 .初等函数：由基本初等函数经过有限次的四则运算(加

4、、减、乘、除)和复合所构成的，并且能用一个数学式子 表示的函数。二、例题分析，x解得:例1.求下列函数的定义域:f(x)1解：对于,2有:1 x对于Jx 2有：x2>of(x)的定义域：x2,1,11,f(x)ln 2 x解：由ln 2 x得In 2ln 2 x>0<2f(x)的定义域:,11,2例2.设f(x)的定义域为(-1,1)则f(x+1)的定义域为A.(-2,0),B.(-1,1),C.(0,2), D.0,2解：-1 < x+1 < 1: -2<x<0即f(x+1)的定义域为：xG (-2,0)应选A.例3.下列f(x)与g(x)是相同函数

5、的为A. f(x) x, g(x) x xB. f(x) Vx2 g(x) |x2，、c. f(x) Inx g(x) 2ln xd. f(x) lnVx g(x) ilnV|x|解 A. D(f) , D(g) QB. D(f) , D(g)f(x)应选Bg(x) xC.D(f) ,00,D(g) 0,d.D(f)0,D(g) ,0 0例4.求y 2 loga(x 3), (a , a 1)的反函数及其定义域。解:y 2 10g(x 3)(a ,a 1)x3,y;在(-3,+8)内，函数是严格单调的(x)1,03,f(x)则其反函数(x)解 y 1 x2, x 1,0, y 0,11,0 内

6、 f(X)是严格单调增加的x 1y2又 X 1,0 取 x,1y2即 y f 1（x） V1 x2x 0,1, y 1,0 ,应填 R例数f1(x)和f2(x)是定义在同一区间D(f)上的两个则f1(x) f2(x)为一函数解,殳 F（x） f1（x） f2（x）F（ x） f1（ x） f2（ x）= f1（x） f2（x） F（x）f1（x） f2（x）(应填“偶”)例7.判断 f （x） ln（xx )的奇偶性。解：,f( x) ln x 11 ( x)2ln( xx2)(x、1 x2)(x 1 x2)x h x222x 1 x ln 1x 71 x2x v1 x2ln(x 11 x2)

7、 1f(x)为奇函数ln(x H x2)f (x)例8.设 f(x) cos则f(x)的周期为 解法设f(x)的周期为T,f(x T) cos (x T) cos(x T)=f(x) cos xcos x Tcos x而 cos u 2cosu解法二f ( x)coscos( x 2 )cos(x )f(x 2(应填 ) f(x) Jlnsink 1)那简单函数复合而成的?解令 u lnsin仪 1)则 f (u) vuv sin(x 1)则 uln vw x 1 则 v sin wf(x)是由 f(u) Vu u Inv v sinww x 1复合而成的。例10.已知f(x)g(x) ex,

8、则 fg(x)等于3 x33x x3e3a. e , b. e , c. e , d. x 解:f(x)x3, g(x) exfg(x) f(ex) (ex)3 e3x 或 fg(x) g(x)3 (ex)3 e3x例ii.已知 f(x) ln(x 1), f (x) x(x)的表达式解 f (x) ln1 (x) x解得(x) ex(x) ex 11.2 极 限极限的概念1.数列的极限主要内容limnyn称数列yn 以常数 A 为极限 ;或称数列yn收敛于 A.定理 : 若yn 的极限存在yn必定有界 .2. 函数的极限：当 x时，f (x) 的极限：lim x lim xf (x) f (

9、x)lim f (x) Ax当 xx0 时，f (x)的极限：lim f (x) Ax x0lim f (x)左极限： x x0右极限：xlim f (x)X0函数极限存的充要条件:lim f (x)x x。lim f(x)x0lim f (x) Ax0无穷大量和无穷小量无穷大量:lim f (x)称在该变化过程中 f(x)为无穷大量。X再某个变化过程是指：x0,x0, xx02.无穷小量:lim f (x)称在该变化过程中f (x)为无穷小量。3.无穷大量与无穷小量的关系:lim f (x) 0limf(x),(f(x) 0)4.无穷小量的比较：lim0, lim若lim0，则称0是比a较高

10、阶的无穷小量;若lim c（C为常数），则称0与a同阶的无穷小量;若若定理:lim 一lim一若:则:lim两面夹定理设:且:则:2.，则称0与a是等价的无穷小量，记作：0a；，则称0是比&较低阶的无穷小量。2)lim数列极限存在的判定准则:ynxnZn（n=1、2、3）limnlimnynXnlim zn n函数极限存在的判定准则:设：对于点X0的某个邻域内的一切点（点X0除外）有：g(x) f(x) h(x)inrn0 g(x)lim h(x) Ax xoJim0 f (x) 极限的运算规则若：limu(x) A,lim v(x) Blimu(x) v(x)lim u(x)lim

11、v(x)则 limu(x) v(x) limu(x) limv(x) Alim u(x) lim v(x).u(x) limv(x)(lim v(x) 0)推论: lim ui(x)U2(X)Un(x)lim u1(x) lim u2(x)lim un(x)Jim c u(x) clim u(x)Jim u(x)nlim u(x)n两个重要极限1 lxm0sin x(im0sin (x)(x)lim (12 xlim0(1x)x例题分析求数列的极限。解：y n例2 .计算lim ynlimnnimlimn3n(1 n)n3nlimn2(1n)n 3n1lim 2 n1lim 2 n(1(3 n

12、)1lim2 n误解:limn=0例3.A.limX解：A.3nlimnlimn1n2 3n2n2 3n3n2 3n3n1n2 3nlimn2n2 3nlimn下列极限存在的是C. XimlimXB. XimlimXlimXx2 1B.limXx(x2 X1)3nlim六nx2 1x(x 1)x2x(x 1)2XX(X2 XD.lim ex,Xlim X xXlimXlimXx(x 1)x2x(x2 X1)1)不存在limXlimX10C. Xlim12X应选CD. Xlim例4.当XlimXlimXlimX不存在1时，f(X)与丁是等价无穷小量,lim 2Xf (x)则Xf (X)- X解：

13、:Xlim 2xf (x) lim 2xlim 2 2X(应填2)limn例5.计算2nn!(n=1,2,3,)解:2nn! 1 2 30 2 2 二2 3 n2 2 41 n nc 2 2 20 一一一 1 2 3lim 0 0(n=2,3,)2 2 4n 1 n nlim 4 0 n n由两面夹定理可得：lim lim n n! n22220123nlim 0 n n!例6.计算下列极限lim x(1)x3 3x 242 cx x 3解:limxx3 3x 242 ox x 3limxx3 3x 2 d x_42 o 1x x 3 7x0limx 1解:lxm1limx 1lim解法一:0

14、1共羯法lim - x 0 1limxlimlimx 1x2 12.x lim 一x 0'2x2x1 1limx 0x2 1解法二：变量替换法几t设：71t22txm0limt22tlim xx1解法一：共羯法lim x x21limxlimxlimx31xx3x1xxim(vx2 1 x) 7limx2x2x3x3x x2x解法二：变量替换法1 x设： t当xlim x x2 1 x x叫:飞；2 1lim文lim “1 t2 U t21t 0t2，0 t2 1 t2 1limx 0limx 0limt 0limt 0sin 3x x2sin 3x x2lim0 x 0sin3x11

15、 t2 1sin 3x x23x3解法sin 3x 3xlimx 0(6)t解：设：sin limx 03xlim3xx 0lximo呵3 xarcsin2xarcsin2xarcsin2x结论：arcsinx-limx 0解1 cosx_ 2 _._2 cos x sinisintisin t2cos x1 12sin2xcos2x1 cos2x 2sin x21 cosx 2sin2 f(x0).x x sin 2 2cosx2 x2sin 一J”22 f 11lim 丁 lim x o x2x o 22解法二:21 cos xsinlimx 0sin xx解法三：应用罗必塔法则1 cos

16、x1 cosx 1 coslim lim2x 0 x 1 cosx (0) x 0 x 1 cosx21limx 0 1 cosx, 1 cosx . sin x 1lim2 lim x 0x20 x 0 2x2limx(8)limx解法一：limxxx a a ax alim 1x2alim 1x2ax a2a2a a2alimx2a2a2alim 1x2ax ax a 2ax a2alim 1x2ax a解法二小 x a x t a时,!imtim2a2atim2at2a2atim2a2a elimx解法三：limxlimxlimx.x alim 1 a axx2a e例7.当x0时，若a

17、x2 与 tan x1为等价无穷小量,则必有a解 ax2 tan?limxtan考lxm0tanaxx242axlxm0x2sinaxcos结论tan2 x lim 4 x 0 axx x (xlxm0（应填12 cos2414)14a0)arctan x x (x 0)x 4lim 1 ke2nl kv x ，则 k xM1Jxx kxim 1 ek eAe21（应填2）lim例9.已知x 3x2 2x kx 3的值。解眄lim 0x 0 ex 1（0） 30 x2 2x k limM32x322 xlim由x 32x2 xlimx 32x 3 x 3 x 1 limlim x 14x 33

18、时，原式成立。例io.证明：当xx0时，e1与x是等价无穷小量。ex 1成立，即可。x设 t e 1 xIn 1 tIn 1 t1lim In 1 L In e 1x 0ex1 x x 0结论：ex 1 x x 0In 1 x x x 0§ 1.3连续一、主要内容函数的连续性1.函数在x0处连续:f (x)在 x0的邻域内有定义,10 lxm0 ylimf (x。x 0x) f(x0) 020lim f (x)x x0f(x0)左连续:lim f (x)x x0f(x0)右连续:lim f (x)x xgf(x0)3.函数在 x0 处连续的充要条件:2.函数在x0处连续的必要条件:定

19、理:f (x)在 x0处连续f (x)在 x0处极限存在lim f (x)f (xo)x xolim f (x)x xolim f (x)x xof(xo)4 .函数在a,b上连续:f (x)在a,b上每点都连续。在端点a和b连续是指:limx af(x) f(a)左端点右连续;xinbf(x) f(b)右端点左连续。a+ Ob-5 .函数的间断点:若 f (x) 在xo处不连续，则xo为 f (x) 的间断点。间断点有三种情况:1。)x( f在xo处无定义;lim f (x)2o xxo不存在;3o)x(f在xo处有一网0 f (x)"lim但x xof(x) f(xo)两类间断点

20、的判断:1。第一类间断点：lim f (x) lim f (x)特点： x x0和 x x0都存在。lim f (x)可去间断点： x x0存在，但lim f (x) f (x0)x0) x ( f 在 x0 处无定义。2o第二类间断点:f (x)'"至少有一个为8,lim f (x) lim特点：x x0和 x x0lim f (x)或 x x0振荡不存在。lim无穷间断点： x x0f (x)至少有一个为00函数在x0 处连续的性质1. 连续函数的四则运算：lim f (x)设 x x0f (x0 )xlimx0g(x) g(x0)1olim f (x)x x0g(x)f

21、 (x0) g(x0)2olim f (x)x x0g(x)f (x0) g(x0)3olim g(x)x x02.复合函数的连续性:y f(u), ulimf(x)x x0 g(x)f(Xo)g(x。)(x), y f (x)lim (x)(x0),lim f(u) f (xo)x xou(xo)则：lim f (x) flim (x) f (xo) x xox xo3. 反函数的连续性：1y f (x), x f (x),Vof (xo)lim f (x) x xof(xo)limy yof 1(y)f 1(y。)函数在a,b上连续的性质i.最大值与最小值定理:f (x)在a,b上连续f(

22、x)在a,b上一定存在最大值与最小值+M-M2.有界定理:f(xf(x)f (x)在a,b上连续f(x)在a,b上定有界。由函数连续的充要条件定理可知3.介值定理:f (x)在a,b上连续在(a, b)内至少存在一点，使得：f(x推论：f (x)在a,b上连卖，且f (a)与f (b)异号在(a,b)内至少存仆点叫：f (4.初等函数的连续性： 初等函数在其定域区间内都是连续的三、例题分析f(x)例1. 分段函数在x 0处是否连续？”f (0) (1lim f (x)x 0lim f (x)x 0lim f (x) x 01 2x x 02xe x 02x)x0 1lim (1 2x) 1x 0lim (e2x) 1x 0lim f (x) f (0)x 0f(x)在x处连续sinx x 0f (x) k x 0xsin+ 1x0例2.设函数，试