多元函数微分法及其应用2

1、 第八章第八章 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用引引 言言 上册中讨论的函数是一元函数问题上册中讨论的函数是一元函数问题. .但在许多但在许多实际问题中往往涉及到多方面的因素，反应在实际问题中往往涉及到多方面的因素，反应在数学上就是多元函数以及多元函数的微分和积数学上就是多元函数以及多元函数的微分和积分问题分问题. . 多元函数微积分的基本概念、理论和多元函数微积分的基本概念、理论和方法是一元函数微积分中相应概念、理论和方方法是一元函数微积分中相应概念、理论和方法的推广与发展，它们既有许多相似之处，又法的推广与发展，它们既有许多相似之处，又有很多本质上的不同有很多本质上的不同. .

2、 学习时注意比较和区分学习时注意比较和区分. .为主，讨论多元函数的微分法及其应用为主，讨论多元函数的微分法及其应用. .本章将在一元微分学的基础上，以二元函数本章将在一元微分学的基础上，以二元函数一、准备知识一、准备知识二、多元函数的概念二、多元函数的概念三、多元函数的极限三、多元函数的极限四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性第一节第一节 多元函数的基本概念多元函数的基本概念1. 1. 平面点集平面点集 n 维空间维空间二元有序数组（二元有序数组（x,y）或点的全体，即）或点的全体，即 2rr r( , ),x y x yr表示坐标平面表示坐标平面. .坐标平面上具有某种性质坐标平面上具

3、有某种性质p的点的集合的点的集合, ,称为称为平面点集平面点集, ,记作记作 ( , ) ( , )ex yx yp 具具有有的的性性质质 222),(ryxyxc 例例 圆圆 内所有点的集合：内所有点的集合：222xyr roppc 或或一、准备知识一、准备知识定义了线性运算和距离的集合定义了线性运算和距离的集合 称为二维空间称为二维空间. .2rn 元有序数组元有序数组12(,)nx xx12(,)nx xxn 维空间中的每一个元素维空间中的每一个元素kx数数称为该点的第称为该点的第k个个的全体称为的全体称为n维空间维空间,记作记作r ,n即即rr rrn 12(,)r,1,2,nkx x

4、xxkn称为空间中的一个称为空间中的一个点点, 坐标坐标 .(0,0,0)0.称为零元，记为称为零元，记为定义了线性运算和距离的集合定义了线性运算和距离的集合 称为二维空间称为二维空间.2r推广：推广：2. 2. 邻域邻域 0(,) ,u pp 在平面上在平面上, , 22000(, )( , )()()u px yxxyy( (圆邻域圆邻域) )在空间中在空间中, , ,2220000()( , , )()()()u px y zxxyyzz ( (球邻域球邻域) )0pp 000(,)p xy 中点中点 的的 邻域邻域为为rn 00(, )u xx xx0 x x0p o0() u pp

5、00pp1.1.若不需要强调邻域半径若不需要强调邻域半径 , ,也可写成也可写成0().u p2.2.点点p p0 0 的的去心邻域去心邻域记为记为说明说明：0p 在讨论实际问题中也常使用方邻域在讨论实际问题中也常使用方邻域, ,因为方邻因为方邻域与圆邻域可以互相包含域与圆邻域可以互相包含. .平面上的平面上的方邻域方邻域为为 0u(,)( , ) px y 0,xx 0yy 。0p3. 3. 区域区域(1) 内点、外点、边界点内点、外点、边界点设有点集设有点集 e 及一点及一点 p : 若存在点若存在点 p 的某邻域的某邻域 u(p) e , 若存在点若存在点 p 的某邻域的某邻域 u(p)

6、 e = ,e则称则称 p 为为 e 的的内点内点；则称则称 p 为为 e 的的外点外点； 若对点若对点p 的任一邻域的任一邻域 u(p) 既含既含e中的内点中的内点显然显然, e的内点必属于的内点必属于e , e 的外点必不属于的外点必不属于e , e 的边界点可能属于的边界点可能属于e, 也可能不属于也可能不属于e . e也含也含 e 的外点的外点 , 则称则称 p 为为 e 的的边界点边界点 .(2) 聚点聚点若对任意给定的若对任意给定的 , 点点p 的去心邻域的去心邻域( ,)u p e内总有内总有e 中的点中的点 , 则称则称 p 是是 e 的的聚点聚点.聚点可以属于聚点可以属于e

7、, 也可以不属于也可以不属于e (因为聚点可以为因为聚点可以为e 的边界点的边界点 ) 所有聚点所成的点集成为所有聚点所成的点集成为e 的的导集导集 . 若集若集d中任意两点都可用一完全属于中任意两点都可用一完全属于d的折线的折线d(3) 开区域及闭区域开区域及闭区域 若点集若点集e的点都是的点都是内点内点，则称，则称e为为开集开集； 若点集若点集e e, 则称则称e为为闭集闭集； 开区域连同它的边界一起称为开区域连同它的边界一起称为闭区域闭区域.连通的开集称为连通的开集称为开区域开区域,简称简称区域区域; e的边界点的全体称为的边界点的全体称为e的的边界边界, 记作记作 e ;相连相连 ,则

8、称则称d是是连通连通的的 ;例如，例如，在平面上在平面上开区域开区域闭区域闭区域xyo21xyoxyoxyo21 ( , )0 x yxy 22( , ) 14x yxy ( , )0 x yxy 22( , ) 14x yxy 整个平面是最大的开域整个平面是最大的开域 , 点集点集 ( , )1x yx 也是最大的闭域；也是最大的闭域；是开集，但非区域是开集，但非区域 .11oxy 对区域对区域d , 若存在正数若存在正数k , 使一切点使一切点p d则称则称d为为有界域有界域 ,否则称为否则称为无界域无界域 .与某定点与某定点a 的距离的距离 ap k ,二、多元函数的概念二、多元函数的概

9、念 引例引例: : 圆柱体的体积圆柱体的体积 定量理想气体的压强定量理想气体的压强2,vr h (,rtprv 为为常常数数） ( ,)0,0r hrh 0(,)0,v tvtthr设非空点集设非空点集r ,nd ( ),uf p pd或或点集点集d 称为函数的称为函数的定义域定义域； 数集数集 (),u uf ppd称为函数的称为函数的值域值域 .特别地，当特别地，当n = 2时时, 有二元函数有二元函数2( , ),( , )rzf x yx yd当当n = 3时时,有三元函数有三元函数3( , , ), ( , , )ruf x y zx y zd映射映射:rfd 称为定义在称为定义在d

10、上的上的n元函数元函数，记作记作12(,)nuf x xx 定义定义点函数点函数xzy例如例如, 二元函数二元函数221zxy定义域为定义域为圆域圆域 22( , )1dx yxy图形为中心在原点的上半球面图形为中心在原点的上半球面.1xyzo,sin(),zxy 又又如如2( , )rx y xyod说明说明: : 二元函数二元函数 z = f (x, y), (x, y) d的图形一般为空间曲面的图形一般为空间曲面 .三元函数三元函数 222arcsin()uxyz定义域为定义域为单位闭球单位闭球 222( , , )1x y zxyz图形为图形为4r空间中的超曲面空间中的超曲面.d三、多

11、元函数的极限三、多元函数的极限设设n元函数元函数( ),r ,nf ppd0(,),pdu p ( )-,f p a 则称则称a为函数为函数p0 是是d的聚点，的聚点，若存在常数若存在常数a ,对一对一切切记作记作0( ),f ppp当当时时的的极极限限都有都有对任意正数对任意正数 ，总存在正数，总存在正数 ,定义定义(也称为也称为 n 重极限重极限)0lim( )=ppf pap0lim( )=xxf xa0p00( , )(,)lim( , )=x yxyf x ya),(),(000yxpyxp其中其中当当n =2时时, , 记记22000()()ppxxyy 二元函数的极限可写作：二元

12、函数的极限可写作：0lim( , )f x ya 0lim( )=ppf pa00lim( , )xxyyf x ya(二二重极限重极限)例例1 1 设设2222221( , )()sin(0)f x yxyxyxy 求证求证：00lim( , )0.xyf x y 证证: :22221()sin0 xyxy 故故00lim( , )0 xyf x y 0, ( , )0f x y 220 xy 当当时时, ,22xy2 22xy , 总有总有 要证要证 若当点若当点( ,p x y）以以不同方式趋于不同方式趋于000(,)p xy时时，函数趋于函数趋于不同值不同值或有的极限不存在，则可以断或

13、有的极限不存在，则可以断一元函数：一元函数：axfxfaxfxxxxxx )(lim)(lim)(lim0001.1.多元函数极限多元函数极限0lim()=ppf pa().f pa无无限限接接近近于于常常数数因此，有因此，有判定多元函数极限不存在的方法判定多元函数极限不存在的方法：定函数极限定函数极限不存在不存在 . .注：注：0pp是是指指 以以任任何何方方式式趋趋近近于于 ，解解 设设p(x , y)沿直线沿直线 y = k x 趋于点趋于点 (0, 0) ,22( , )xyf x yxy 222200lim( , )limxxy kxkxf x yxk x 在点在点 (0, 0) 的

14、极限的极限.( , )f x y故故21kk k 值不同极限不同值不同极限不同 !在在 (0,0) 点极限不存在点极限不存在 .讨论函数讨论函数例例2则有则有2. 二重极限二重极限00lim( , )xxyyf x y00lim lim( , )yy xxf x y及及不同不同. 例如例如,22( , ),xyf x yxy 显然显然00lim lim( , )xxyyf x y与累次极限：与累次极限：00limlim( , )0,xyf x y 00limlim( , )0yxf x y 但由但由例例2 知它在知它在(0,0)点二重极限不存在点二重极限不存在 .四、四、 多元函数的连续性多元

15、函数的连续性 定义 设设n元函数元函数( )f p定义在定义在d上上,00lim( )()ppf pf p 0( )f pp在在点点如果函数在如果函数在d上上各点处各点处都连续都连续, 则称此函数则称此函数0,pd 聚聚点点如果存在如果存在否则称为否则称为不连续不连续,此时此时0p称为称为间断点间断点 .则称则称n元函数元函数在在d上连续上连续.连续连续, 例如例如, 函数函数222222,0( , )0,0 x yxyxyf x yxy 在点在点(0 , 0) 极限不存在极限不存在, 又如又如, 函数函数221( , )1f x yxy 上间断上间断.221xy 故故 ( 0, 0 )为其间

16、断点为其间断点. .在圆周在圆周结论: 一切多元初等函数在定义区域内连续一切多元初等函数在定义区域内连续.222arcsin(3)( , )xyf x yxy 2231xy2224xy例例3 求函数求函数的连续域的连续域.20 xy2xy 2oyx2解解只须求出该初等函数的定义区域只须求出该初等函数的定义区域.定理：定理：若若 f (p) 在有界闭域在有界闭域 d上连续上连续, 则则0,k,m m ( ),;f pk pd使使( )f p在在d上可取得最大值上可取得最大值m及最小值及最小值m ;对任意对任意,qd( ).f q 使使 有界闭域有界闭域上多元连续函数有与一元函数类似上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质的如下性质:2.最值定理最值定理1.有界性定理有界性定理3.介值定理介值定理二、多元函数极限的概念二、多元函数极限的概念三、多元函数连续的概念三、多元函数连续的概念有界闭区域上连续函数的性质（三个）有界闭区域上连续函数的性质（三个）（注意趋近方式的任意性）（注意趋近方式的任意性）一、多元函数的概念一、多元函数的概念小结小结0lim( )=ppf pa( ),uf p pd00lim( )()ppf pf p rn 二元函数图形一般为空间曲面二元函数图形