正交编码与伪随机序列

1、正交编码与伪随机序列作者:日期:3.正交编码与伪随机序列在数字通信中，正交编码与伪随机序列都是十分重要的技术。正交编码不仅可以用作纠错编 码，还可用来实现码分多址通信。伪随机序列在误码率测量、时延测量、扩频通信、通信加 密及分离多径等方面有十分广泛的应用。3.1.正交编码一、几个概念1、互相关系数设长为n的编码中码元只取+ 1、-1 , X和y是其中两个码组x (X1,X2Xn), y(yi,y2.yn),其中 Xj(1, 1)则X、y间的互相关系数定义为1 n(x,y) XiVin i 1如果用0表示+1、1表示-1,则A D(X,y) ，其中A是相同码元的个数，D为不同码元的个数。A D2

2、、自相关系数自相关系数定义为n计算。x(j)- ' XiXi j ,其中下标的计算按模n i 13、正交编码若码组 X, y C，(C为所有编码码组的集合)满足(X, y)0 ,则称C为正交编码。即：正交编码的任意两个码组都是正交的。 例1 :已知编码的4个码组如下：S,( 1, 1, 1, 1);S2(1,1,1, 1)；S3(1, 1, 1,1)； S4(1, 1,1,1)试计算S1的自相关系数、S1 ,S2的互相关系数。4、超正交编码若两个码组的互相关系数0，则称这两个码组互相超正交。如果一种编码中任何两个码组间均超正交，则称这种编码为超正交编码。例2 :例1中取后三个码组，且去

3、掉第1位构成的编码为超正交编码。 (0,1,1), (1 , 1 ,0)( 1,0,1)5、双正交编码由正交编码及其反码便组成双正交编码。-1。例 3:正交编码(1,1, 1,1 ) (1, 1 ,0, 0) (1 ,0,0, 1) (1,0,1,0) 反码为(0,0,0 ,0) (0 ,0,1 , 1) (0,1 , 1, 0) (0 ,1,0, 1) 双正交码中任意两个码组间的互相关系数为0或二、哈达玛矩阵哈达玛矩阵的行、列都构成正交码组，在正交编码的构造中具有很重要的作用。 哈达玛矩阵的构成：2阶哈达玛矩阵1 1H2 1 14阶哈达玛矩阵J H2 H2H 4H2 H2哈达玛矩阵的所有行之

4、间互相正交，所有列之间互相正交。哈达玛矩阵经过行列交换后得到的矩阵仍然正交，沃尔什矩阵可以通过哈达玛矩阵按交变的次数排列顺序构成。例4:32伪随机序列伪随机序列的应用：通信系统的测试、保密通信、扰码等。 伪随机序列的产生：m序列、M序列、GOLD序列等。321. m序列一、m序列的产生1、最长线性反馈移位寄存器序列，它是由带线性反馈的移位寄存器产生的m序列是最长线性反馈移位寄存器序列的简称 周期最长的序列。举例说明：f图1A图1B图1A :图1初始状态：1 00 01 00 011001 1 0011100 1 1 011 1 1101 101 1101 011 0 1 10010010100

5、01101 01000110101100 0111 0010 10 00 01000 0 11000可以看到图B1 A的输出的周期为1 5，除去全0外，图1 A的输出是周期最长的的序列。 我们希望尽可能少的级数产生尽可能长的序列。一般说来，一个n级反馈移存器可能产生的最长周期为2n 1。反馈电路如何连接才能输出序列最长？是本节要讨论的问题。2、m序列的特征方程f(x) c0 c1x .nCnXniCiX03、m序列的递推方程移存器的结构用特征方程表示:ak4、m序列的母函数G(x) a0 a1x .nanXkakXk 05、几个有用的定理用来构造m序列nCi ak ii 1定理一、f (x)G

6、(x) h(x),其中h(x)为次数低于f(x)的次数的多项式。证明：G(x)kkakX0nCiaki 1k i iix xik iCiXak ixk 0ni / qx (a iXi 1.a11Xkk akX )0nni .icix (a ixi 1a 1xci xiG(x)i 1n(1Cixi)G(x)i 1cix1i / i(a iX1、a 1X )Co 1得到如下关系:f(x)G(x) h(x)，周期为P 2n 1。可以看到，h(x)的次数小于n。当电路给定后，h(x)只取决于初始状态。定理二、一 n级线性反馈移位寄存器的相继状态具有周期性证明：反馈寄存器状态取决于前一状态，因此只要产生

7、的状态与前面某一时刻相同，则 以后的状态肯定是循环的，因此具有周期性。移存器一共有n个，因此只有2n种组合,因此经过它的周期最大为2n 。而在线性结构中，全0状态的下一状态为0,因此在长周期的序列中,寄存器状态不应该出现全0，因此寄存器状态周期 P 2n定理三、若序列Aaj具有最长周期2n 1,则其特征多项式f (x)应为既约多项式。证明：用反证法。若fl(x) f2(x)则:G(x) fSh1(x)f1(X)h2(x)且有fi(x), f2(x)的次数n 1,n2满足nin2可以将上述序列看成 2个序列的和,因此他们的周期分别为5,92,根据定理二，p LCM ( p1，p2)(2n1 1)

8、(2n21) 2nn22n12n212n 3 2n 1不是最长序列。定理四、一个线性移位寄存器的特征多项式f (x)若为既约的，则由其产生的序列A ak的周期等于使f(x)能整除的(xp1)最小正整数P。证明：0型 G(x)akxkf (x)k 0x2p(a0.) .a0a1x.ap/1 xp(a0a1x .)(1 xpx2p.)(a0a,x .ap 必卩)p 1 ap1X )1 ( -一 (a0 ax 1 X经整理后，得到h(x)(1 xP)f(x)aoaixP 1ap 1X因此，f (x)是(1 xp)的因子，即周期为P的序列的f(x)整除能(1 xP)。反之若f (x)能整除(1xp)，

9、令其商为b0 biX . bp1Xp1则因为f (x)为既约的,因此序列的长度与初始状态无关，取初始状态为0 0 0. 1G(x)h(x) 1而帀b。dx . bp1Xp1xP(1P 2pxx2P.)(b0b,x .bpjXp1)周期为5、本原多项式若一个n次多项式满足如下条件(1)、f (x)是既约的、f (x)可整除1、f (x)除不尽xq1,q m则称f (x)为本原多项式。由本原多项式产生的序列一定是m序列。二、m序列的性质“1”比“0”多一个。1、均衡性 在m序列的一个周期中，“0” “ 1 ”的数目基本相等。2、游程分布 游程：序列中取值相同的那些相继的元素合称为一个“游程” 游程

10、长度：游程中元素的个数。m序列中，长度为1的游程占总游程数的一半；长度为2的游程占总游程的1/4,长度为k的游程占总游程数的2k。且长度为k的游程中，连0与连1的游程数各占一半。如上例：1 001,1001游程总数：k =41; k=31; k=22 ;k=14游程的分布与随机序列的分布一致。3、移位相加特性一个m序列M p与其经任意延迟移位产生的另一不同序列Mr模2相加，得到的仍是M p的某次延迟移位序列M s,艮卩M p Mr Ms。如果将m序列的所有移位码组构成一个编码，则该编码一定是线性循环码 环码的特性可以得到上述的性质。，由于线性循4、自相关函数 周期函数s（t）的自相关函数定义为

11、：1R()-10T0/2T s(t)s(t)dt,式中 T0 是 s(t)的周期。定义序列x（X1，X2，Xn）的自相关函数为1R(j)n 0 i(i 1) s(t)s(t j o)dt1 (i 1) 00XiXi j (i dt0 i 1nXi Xii 1DXi Xj 0的数目XiXj 1的数目m序列的自相关函数: 由m序列的性质，所以，当ji时,移位相加后还是m序列，因此0的个数比1的个数少11个。R(j)R(j)1/n j1,2.nTq /2连续的表示R( )1T01/p| iT。iTo | T0/p,i 0,12.见图10-4。5、功率谱密度对上述自相关函数进行傅立叶变换得到m序列的功

12、率谱密度Ps()2p 1 sin( T0/ p)To /2p nnTo当To,m/To，可以看到m序列的噪声功率谱密度为近似白噪声功率谱。6、伪噪声特性，则记为1,为-'记为0,如果我们对一个正态的白噪声进行采样，若取样值为 + ' 则构成一个随机序列，该随机序列有如下性质：(1) 序列中0、1个数出现概率相等(2) 序列中长度为1的游程占1 /2，长度为2的游程占1/4,且长度为k的游程中， 0游程与1游程个数相同。(3) 该序列的噪声功率谱为常数。可见，m序列的性质与随机噪声相似，因此称为伪随机序列。 真正的随机序列是不可重复的，伪随机序列可以任意地重复。三、其他伪随机序列

13、1、二次剩余序列2、M序列33伪随机序列的应用一、误码率测量在数据通信中，经常要测试通信系统的性能。误码率是通信系统的主要质量指标，通信系统的性能往往与信源的统计特性有关。通常认为信源的0、1是等概出现的。误码率的测量框图如下所示：（结合系统的仿真）环路测试：单向测试：二、时延测量时延测量在许多领域中都十分有用：如地底深度探测、无线测距等。时延测量的一般思路：周期脉冲测量法。产生窄周期脉冲，时延线的精度，发送功率。时延测量的m序列应用：用 m序列代替周期脉冲，用相关器代替时延比较器。测量方法 的精度取决于m序列的码片时间。三、噪声产生器测量通信系统的性能时，经常需要使用噪声产生器，由它给出具有

14、所要求的统计特性和 频率特性的噪声，并且可以随意控制其强度，以便得到不同的信噪比条件下的系统性能。四、通信加密五、数据序列的扰乱与解扰扰码的目的是使信源的 0、1分布等概。六、扩展频谱通信仙农定理告诉我们：可以用带宽换信噪比，即在低信噪比的情况下，可以通过增加带宽的应用来进行无误的传输。可以有3种方法实现带宽的扩展：1、直接序列调制扩频直接序列调制扩频的原理框图如下：它用比信息速率高得多的序列去调制信息序列，从而改变整个信号的带宽。在接收端通过调制序列的相关性达到解调的目的。实际上它等效于一种正交编码。2、跳频发射机的发射频率根据一定的规则随机地在一定范围内变化。3、Chi rp调频（线性调频

15、，连续调频 ）由于扩频通信采用宽频带的技术来传输信息，它具有抗窄带干扰、信号功率低隐蔽性强、抗衰落能力强的特点，因此在无线领域、军用领域得到了广泛的应用。七、分离多径技术3.4.直接序列扩频一、系统组成直扩系统的框图如下：n (t)(t)中频滤波器本地振荡器COS 0ts(t)m(t) P(t)cos( 0tq(t)(s(t) n(t)P(t)cos oty(t)Am(t)cos( 0 r)t'p(t)本地伪码发生器解调器各点的频谱关系如图示。二、处理增益和抗干扰性令伪码p（t）的速率为Rp, m（t）的速率为Rm。扩频系统的处理增益定义为：Gp SNRutSNRnSNRout、SNRn分别是扩频系统解扩器的输出信噪比和输入信噪比。（一）白噪声干扰因为白噪声的功率谱密度均匀分布在整个频率范围内，在接收机与本地振荡p（t ）cos rt相乘后,噪声的功率谱密度分布不变，而信号经过相关解扩后变成了窄带信号。通过中频滤波器后，信号的功率不变，而噪声的功率却显著减少（带宽变小 此时，解扩器的输入输出信噪比关系如下：）。GpSNRut S/n o