2、0-1规划作业

1、0-1规划问题一条装配线由一系列工作站组成，被装配或制造的产品在装配线上流动的过程 中，每站都要完成一道或几道工序， 假定一共有六道工序，这些工序按先后次序 在各工作站上完成，关于这些工序有如下的数据：工序所需时间（分）前驱工序13无25无322461, 3582634另外工艺流程特别要求，在任一给定的工作站上，不管完成哪些工序，可用的总 时间不能超过10分钟，如何将这些工序分配给各工作站，以使所需的工作站数 为最少？1）模型分析与变量的假设下面，我们先讨论工序与工作站的关系，并试图建立起该问题的0 1型整数规划模型。对任一工序而言，它要么属于工作站j，要么不属于工作站j，故决策变量 可定义为

2、：1若工序i在工作站j上运行0若工序i不在工作站j上运行这种定义，使我们能根据最优解中Xij的值来很快确定工序i与工作站j之间 的隶属关系。又因工序1, 2, 3所需的工作时间不超过10分钟，故工序1, 2, 3的工作 可以在一个工作站上完成，此时，工序4,5,6只能分别在各自的工作站上工作， 该可行解对应的工作站数为4个。也就是说，对最优解而言，该装配线上所需的 工作站个数不会多于4个。因此，我们再定义变量如下：1若在最优解中需要工作站j0若在最优解中不需要工作站j至此，我们得到所需的目标函数为：max z2）再考虑该模型的约束条件：（1）每道工序均隶属于一个工作站，个约束：xijWjW1w

3、2w3 w4且每一工序都必须完成，故有以下六3x1j 5x2 j 2x3j 6x4 j 8x5j 3x6 j 10 (j h 2, 3, 4)Xi1 Xi2Xi3Xi41 (i1, 2, 3, 4, 5, 6）（2）在任一工作站上完成隶属工序所用的时间不能超过10分钟，故有以下四个约束：（3）最后，我们再考虑各道工序所受的先后次序约束的条件。先考察工序 2 与工序 3 的关系，因工序 2 在工序 3 之前运行，故若工序 3 隶属于工作站 4，则工序 2无论属于那个工作站均可； 若工序 3 隶属于工作站 3， 则工序 2可属于工作站 1或2或3；此时，变量 x2j （j 1, 2, 3）应满足的

4、约束条 件为：x 21 x22x23 x33同理，若工序 3 隶属于工作站 满足的约束条件为：2或1，则变量 x2j (j 1, 2,3)应x 21 x22x 21 x31x32同理，根据其它工序的优先关系， 可仿此法给出其相应的约束条件， 由上图 知，六个工序之间有五个优先关系，故这类约束条件共有另外，在最优解中，若有一个工作站 隶属于该工作站的全部 xip（i 1, 2,3, 4, 条件：wp ( p 1, 2, 3,5, 6） 必须为 0，15 个。4）不用（即 wp =0），则 于是，有以下四个约束1, 2, 3, 4)x6 j6w j (i约束条件为：xi1xi2xi3xi41 (i

5、 1,2,3, 4,5,6)3x1j5x2j 2x3j6x4 j 8x5j3x6 j10 (j1, 2,x21x22x23x33；x21?x22x32?x21x31x21x22x23x53；x21?x22x52?x21x51；?x11x12x13x43； x11?x12x42?x11x41；?x31x32x33x43；x31?x32x42?x31x41；?x41x42x43x63；x41?x42x62?x41x61；?x1jx2jx3jx4jx5j x6 j6wj(i1, 2,3, 4)3, 4)z w1 w2 w 3 w4x3j x4 j x5 jx1j x2 j3）模型的建立与求解至此，我

6、们得到了该问题的 01 型整数规划模型， 它共包含 28 个变量， 29 个约束条件，这样的模型用枚举法求解，人工计算是很难胜任的，这时，只能求 助于计算机求解了。我们给出该问题的模型如下。该问题的目标函数为：max一条装配线含有一系列的工作站 ,在最终产品的加工过程中每个工作站执行 一种或几种特定的任务 .装配线周期是指所有工作站完成分配给它们各自的任务 所花费时间中的最大值 .平衡装配线的目标是为每个工作站分配加工任务 ,尽可能 使每个工作站执行相同数量的任务 ,其最终标准是装配线周期最短 .不适当的平衡 装配线将会产生瓶颈 有较少任务的工作站将被迫等待其前面分配了较多任务的工作站.问题会

7、因为众多任务间存在优先关系而变的更复杂，任务的分配必须服从这种优先关系.这个模型的目标是最小化装配线周期.有2类约束：1要保证每件任务只能也必须分配到一个工作站来加工 ；2要保证满足任务间的所有优先关系.装配线平衡模型 有11件任务(A K)分配到4个工作站(1 4)，任务的优先 次序如下图。* (K)每件任务所花费的时间如下表。任务ABCDEFGHIJK时间4511950151212121289如何将这些工序分配给各工作站，以使装配线周期最短，最短周期为多少?1)变量的假设设：/. I、1，表示第i个任务指派给第k个工作站完成x( i，k)0,反之T(i)为完成第i个任务所需时间。Cycle

8、Time为装配线周期。2) 问题分析(1) 目标函数装配线周期最短：mi n= CycleTime(2) 再考虑该模型的约束条件：每道工序均隶属于一个工作站，且每一工序都必须完成，故有以下几个约 束：1,(i1,211)x(i,1)x(i,2)x(i,3)x(i,4)前者对应的工作站i必须小于后各道工序所受的先后次序约束的条件： 对于每一个存在优先关系的作业对来说， 者对应的工作站j,即满足约束0,( i为j的前驱任务)4k * x( j, k) - k * x( i, k)k 1对于每一个工作站来说，其花费时间必须不大于装配线周期：4T(i) * x(k1i, k) CycleTime01

9、型整数规划模型，我们给出该问题的模型3) 模型的建立与求解 至此，我们得到了该问题的 如下。该问题的目标函数为：min= CycleTime约束条件为：x(i,1) x(i,2)4k * x( j, k) - k * x(k14x(i,3)x(i,4)i, k)1,(i 1,211)0，( i 为 j 的前驱任务)T(i) * x( i, k) CycleTimek1MODE:L! 装配线平衡模型 ;SETS:! 任务集合，有一个完成时间属性 T;TASK/ A B C D E F G H I J K/: T;!任务之间的优先关系集合(A必须完成才能开始 B,等等)；PRED( TASK, T

10、ASK)/ A,B B,C C,F C,G F,J G,JJ,K D,E E,H E,I H,J I,J /;! 工作站集合 ;STATION/1.4/;TXS( TASK, STATION): X;K 个工作站完成 ;! X是派生集合TXS的一个属性。如果 X ( I , K)= 1，则表示第I个任务 指派给第ENDSETSC D E F G H I J K 50 15 12 12 12 12 8 9;DATA:的完成时间估计如下! 任务 A BT = 45 11 9 ENDDATA! 当任务超过 15 个时，模型的求解将变得很慢 ;!每一个作业必须指派到一个工作站，即满足约束；FO(RTA

11、SK( I):SU(MSTATION( K): X( I, K) = 1);I 必须小于后! 对于每一个存在优先关系的作业对来说，前者对应的工作站者对应的工作站 J，即满足约束；FO(RPRED( I, J):SU(MSTATION( K): K * X( J, K) - K * X( I, K) >= 0);! 对于每一个工作站来说，其花费时间必须不大于装配线周期;FO(RSTATION( K):SU(MTXS( I, K): T( I) * X( I, K) <= CYCTIME);! 目标函数是最小化转配线周期 ;MIN = CYCTIME;!指定 X(I,J) 为 0/1

12、变量 ; FO(RTXS: BIN( X);END计算的部分结果为Global optimal solution found.50.00000388Objective value:Extended solver steps:Total solver iterations:VariableValueReduced CostCYCTIME50.000000.000000T( A)45.000000.000000T( B)11.000000.000000T( C)9.0000000.000000T( D)50.000000.000000T( E)15.000000.000000T( F)12.000

13、000.000000T( G)12.000000.000000T( H)12.000000.000000T( I)12.000000.000000T( J)8.0000000.000000T( K)9.0000000.000000X( A, 1)1.0000000.000000X( A, 2)0.00000045.00000X( A, 3)0.0000000.000000X( A, 4)0.0000000.000000X( B, 1)0.0000000.000000X( B, 2)0.00000011.00000X( B, 3)1.0000000.000000X( B, 4)0.0000000

14、.000000X( C, 1)0.0000000.000000X( C, 2)0.0000009.000000X( C, 3)0.0000000.000000X( C, 4)1.0000000.000000X( D, 1)0.0000000.000000X( D, 2)1.00000050.00000X( D, 3)0.0000000.000000X( D, 4)0.0000000.000000X( E, 1)0.0000000.000000X( E, 2)0.00000015.00000X( E, 3)1.0000000.000000X( E, 4)0.0000000.000000X( F,

15、 1)0.0000000.000000X( F, 2)0.00000012.00000X( F, 3)0.0000000.000000X( F, 4)1.0000000.000000X( G, 1)0.0000000.000000X( G, 2)0.00000012.00000X( G, 3)0.0000000.000000X( G, 4)1.0000000.000000X( H, 1)0.0000000.000000X( H, 2)0.00000012.00000X( H, 3)1.0000000.000000X( H, 4)0.0000000.000000X( I, 1)0.0000000

16、.000000X( I, 2)0.00000012.00000X( I, 3)1.0000000.000000X( I, 4)0.0000000.000000X( J, 1)0.0000000.000000X( J, 2)0.0000008.000000X( J, 3)0.0000000.000000X( J, 4)1.0000000.000000X( K, 1)0.0000000.000000X( K, 2)0.0000009.000000X( K, 3)0.0000000.000000X( K, 4)1.0000000.000000任务完成后时间为 15+11=26 分钟(K , 4)即K任务