三角形四心的向量表示（课堂PPT） (2)

1、1三角形三角形“四心四心”的向量表的向量表示示2一、一、 外心外心ABCABCABCABCABCABCABC三角形三边的中垂线交于一点，这一点为三角形外接圆的圆心，称三角形三边的中垂线交于一点，这一点为三角形外接圆的圆心，称外心外心。 证明外心定理证明外心定理证明证明: 设设AB、BC的中垂线交于点的中垂线交于点O， 则有则有OA=OB=OC， 故故O也在也在AC的中垂线上，的中垂线上， 因为因为O到三顶点的距离相等，到三顶点的距离相等， 故点故点O是是ABC外接圆的圆心外接圆的圆心 因而称为外心因而称为外心OO3点评：点评：本题将本题将平面向量平面向量模的定义与模的定义与三角形三角形外心外心

2、 的定义及性质等相关知识巧妙结合。的定义及性质等相关知识巧妙结合。OABCOABC到到的三顶点距离相等。的三顶点距离相等。故故 是是解析：解析：由向量模的定义知由向量模的定义知的外心的外心 ，选，选B。ABC O是是的外心的外心OABCOAOBOC OABC若若 为为内一点，内一点，则则 是是 的（的（ ） A内心内心 B外心外心 C垂心垂心 D重心重心222OAOBOCOAOBOC ()()()OAOBABOBOCBCOCOA CA 0B4 二、垂心二、垂心ABCABCABC三角形三边上的高交于一点，这一点叫三角形的三角形三边上的高交于一点，这一点叫三角形的垂心垂心。DEF证明证明: AD、

3、BE、CF为为ABC三条高，三条高， 过点过点A、B、C分别作对边的平行线分别作对边的平行线 相交成相交成ABC，AD为为BC 的中垂线；同理的中垂线；同理BE、CF也分别为也分别为 AC、AB的中垂线，的中垂线， 由外心定理，它们交于一点，由外心定理，它们交于一点， 命题得证命题得证证明垂心定理证明垂心定理ABC5例例1如图，如图，AD、BE、CF是是ABC的三条高，的三条高， 求证：求证：AD、BE、CF相交于一点。相交于一点。ABCDEFH,BHAC CHAB ()0()()()0.()0h a bh a bh b ah b ah b a .AHBC 又又点点D在在AH的延长线上，的延长

4、线上，AD、BE、CF相交于一点相交于一点 ,ABa ACb AHh 令,BHh a CHh b BCb a 则证：证：设设BE、CF交于一点交于一点H， 垂心垂心6ABCO,:,.OAa OBb OCcBCcb CAab ABba 则证：设证：设例例2已知已知O为为ABC所在平面内一点，且满足所在平面内一点，且满足:,.ABOC BCOA CAOB 求证：求证：222222| .OABCOBCAOCAB 化简：化简：222222:| .OABCOBCAOCAB 由题设222222()()()ac bba ccb a 同理：同理：,.BCOA CAOB ()0,AB OCbacb ca c 从

5、而从而:c ba cb a 得.ABOC 垂心垂心7ABC OAOCOCOBOBOA 1.O是是的垂心的垂心2.()|cos|cosABACABBACC 0,)是是ABC的边的边BC的高的高AD上的任意向量，过垂心上的任意向量，过垂心.128例例3 O是平面上一定点，是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，是平面上不共线的三个点， 动点动点 P 满足满足(),|cos|cosABACOPOAABBACC ()|cos|cos|cos|cosABACBC ABBC ACBCABBACCABBACC | |cos() | |cos| | 0|cos|cosBCABBBCACCBCBCAB

6、BACC ()|cos|cosABACBCABBACC ()|cos|cosABACABBACC ()|cos|cosABACOPOAABBACC 则则P的轨迹一定通过的轨迹一定通过ABC的的 _ 在在ABC的边的边BC的高的高AD上上.P的轨迹一定通过的轨迹一定通过ABC的的垂心垂心.所以，所以，时，时，解解:9OCOBOBOA解解: 例例4.（2005全国全国）点点O是是ABC所在平面上一点，所在平面上一点， 若若 ， 则点则点O是是ABC的（的（ ）（A）三个内角的角平分线的交点）三个内角的角平分线的交点（B）三条边的垂直平分线的交点）三条边的垂直平分线的交点（C）三条中线的交点）三条中

7、线的交点（D）三条高线的交点）三条高线的交点OAOCOCOBOBOA0)(OCOAOB0CAOBCAOB则则O在在CA边的高线上边的高线上,同理可得同理可得O在在CB边的高线上边的高线上.DOCBA 垂心垂心 5. (2005湖南湖南) P是是ABC所在平面上一点，若所在平面上一点，若 则则P是是ABC的（的（ ） A外心外心B内心内心C重心重心D垂心垂心,PA PBPB PCPC PA D10设中线BE,CF交于点G,连结EF, 则EF/BC,且EF:BC=FG:GC=EG:GB=1:2. 同理中线AD,BE交于G ,连结DE,则: DE/AB,且EG :G B=DG :G A=DE:AB=

8、1:2, 故G(,证明同一法:)G 重合.三、重心三、重心ABCABCABC三角形三边中线交于一点，这一点叫三角形的三角形三边中线交于一点，这一点叫三角形的重心重心。 证明重心定理证明重心定理 E F D G11ABC 0OCOBOA 3. O是是的重心的重心14.()3PGPAPBPC GABC为为的重心的重心.1.(),0,)ABAC 是是BC边上的中线边上的中线AD上的任意向量，过重心上的任意向量，过重心.ABC1,2ADABAC ABC2.在在中，给出中，给出等于已知等于已知AD是是中中BC边的中线边的中线;121()3PGPAPBPC 例例1 P是是ABC所在平面内任一点所在平面内任

9、一点.G是是ABC的重心的重心CGPCBGPBAGPAPG3()()PGAGBGCGPAPBPC 0GAGBGC 0,AGBGCG 证明证明: G是是ABC的重心的重心PCPBPAPG3)(31PCPBPAPG即即由此可得由此可得（反之亦然（证略）（反之亦然（证略）1()3OGOA OB OC 思考：思考： 若若O为为ABC外心，外心，G是是ABC的重心，则的重心，则_.OGO为为ABC的内心、垂心呢？的内心、垂心呢？13例例2证明：三角形证明：三角形重心重心与顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍与顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍 A B C E F D G11,.22AC b CB aA

10、DAC CD ba EBEC CBb a 则证：设证：设A, G, D共线，共线，B, G, E共线共线,.AGAD EGEB 可设可设即：即：AG = 2GD 同理可得：同理可得：AG = 2GD , CG = 2GF 11(),2211().22AGADbabaEGEBbaba 则,AE EGAG ADAG32313202121021111:().222bbaba即111()()0.,222aba b 不平行, 重心重心14例例2证明：三角形证明：三角形重心重心与顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍与顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍另证另证:连结EF,则EF为 ABC的中位线,EF/B

11、C,且EF:BC=1:2,由平行线分线段成比例得 FG:GC=1:2,同样可得 EG:GB=1:2, DG:GA=1:2. A B C E F D G 重心重心想想看？想想看？15四、内心四、内心ABCABCABCABCABC三角形三内角平分线交于一点，这一点为三角形内切圆的圆心，称三角形三内角平分线交于一点，这一点为三角形内切圆的圆心，称内心内心。证明内心定理证明内心定理证明证明 : : 设设A A、C C的平分线相交于的平分线相交于I,I, 过过I I作作IDBCIDBC，IEACIEAC， IFAB IFAB，则有，则有IE=IF=IDIE=IF=ID 因此因此I I也在也在C C的平分

12、线上，的平分线上， 即三角形三内角平分线即三角形三内角平分线 交于一点交于一点I II I E F D161.设设a,b,c是三角形的三条边长，是三角形的三条边长，O是三角形是三角形ABC内心内心的的 充要条件是充要条件是0OCcOBbOAa |0BC OACA OBAB OC ACBO Oa ab bc c172003天津理科高考题A AB BA AC CO OP P = = O OA A + +( (+ +) ), , 0 0, ,+ +) ). .| |A AB B| | | |A AC C| | 2. O是平面上一定点，是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，是平面上不共线的

13、三个点， 动点动点P P满足满足 则则P的轨迹一定通过的轨迹一定通过ABC的（的（ ） A外心外心 B内心内心 C重心重心 D垂心垂心B 内心内心(),|ABACRABAC 是是BAC的角平分线上的任意向量，过内心；的角平分线上的任意向量，过内心； 183.（20062006陕西）陕西）已知非零向量已知非零向量 与与 满足满足 则则ABCABC为（为（ ） A A三边均不相等的三角形三边均不相等的三角形 B B直角三角形直角三角形 C C等腰非等边三角形等腰非等边三角形 D D等边三角形等边三角形AB AC1()0,2| |ABACABACBCABACABAC 且解法一：解法一：根据四个选择项

14、的特点，本题可采用验证法来处理根据四个选择项的特点，本题可采用验证法来处理. 不妨先验证等边三角形，刚好适合题意，则可同时不妨先验证等边三角形，刚好适合题意，则可同时 排除其他三个选择项，故答案必选排除其他三个选择项，故答案必选 D.D19 解法二：解法二：由于由于 所在直线穿过所在直线穿过ABCABC的内心，的内心，则由则由 ( (等腰三角形的三线合一定理等腰三角形的三线合一定理) )；又；又 ，所以所以 , ,即即ABCABC为等边三角形，故答案选为等边三角形，故答案选D.D.3A|ABACABAC ()0|ABACBCABACABAC 知 |= |12| |ABACABAC 注注: 等边

15、三角形等边三角形(即即正三角形正三角形)的的“外心、垂心、外心、垂心、 重心、内心、中心重心、内心、中心 ” 五心合一！五心合一！20 法一抓住了该题选择项的特点而采用了法一抓住了该题选择项的特点而采用了验证法验证法,是处理本题的巧妙方法；法二要求学生能领会一些是处理本题的巧妙方法；法二要求学生能领会一些向向量表达式与三角形某个量表达式与三角形某个“心心”的关系，的关系，如如 所在直线一定通过所在直线一定通过ABCABC的内心的内心; ; 所在所在直线过直线过BCBC边的中点，从而一定通过边的中点，从而一定通过ABCABC的重心；的重心； 所在直线一定通过所在直线一定通过ABCABC的垂心等的

16、垂心等. .|ABACABAC ABAC | cos| cosABACABBACC 21【总结总结】(1).是用数量积给出的三角形面积公式是用数量积给出的三角形面积公式; (2).则是用向量坐标给出的三角形面积公式则是用向量坐标给出的三角形面积公式. 4. 在在ABC中中: (1)若若CAa，CBb，求证，求证ABC的面积的面积 (2)若若CA(a1，a2 )，CB(b1，b2 )， 求证：求证：ABC的面积的面积 2221babaS122121babaS解解:22(1).cos(1cos)sinS2222211221122aba babababab222212121 12 21 22 11

17、22 1(2).|Saabbabababababab222211221122由(1)知:a ba b225.222 例如 图 ,在ABC内 求 一 点 P,使 得 : |AP| +|BP| +|CP| 的 值 最 小 .ABC P222222222.|()()23()()3APBPCPb 设AP=m, AB=a, AC=b,则BP=m-a, CP=m-bmmambamaba b3解:b222a当 m =时 , 即 P 为A B C 的 重 心 时 ,3| A P | + | B P | + | C P | 的 值 最 小 .费 尔 马 点 ( 即 正 等 角 中 心 -当 | A P | +

18、| B P | +- - - P 对 三扩 展 :顶 点 A| C P, B ,| 的 值 最 小 时 , 点C 的 张 角 均 为 1 2P 是A B C0的) .23ABC230,OAOBOC 思考思考: 如图，设点如图，设点O在在内部，且有内部，且有则则 ABCAOC的面积与的面积与的面积的比为的面积的比为_ (2004年全国奥赛题年全国奥赛题) 3作作AC、BC边上的中点边上的中点E、D，2(1)(1) 2(2)2(2)232(2)0.| |,2,22 1122233 43COECODAOCCOECDEABCOBOCODOA OCOEOAOBOCODOEOD OEODOE SSSSSSS 与共线且2|ABC解解1:DEABC O24OCBA作作AC边上的中点边上的中点E，2,6332()2,3,|3.|ABCAOCOEOA OCOEOAOCOA OBBAOEBASBASOE 解解2:ABC230,OAOBOC 思考思考: 如图，设点如图，设点O在在内部，且有内部，且有则则 ABCAOC的面积与的面积与的