第二章 导数与微分课后答案

1、第二章 导数与微分内容概要名称主要内容导数的定义函数的求导法则(1) 导数的四则运算法则i.ii.iii.(2) 复合函数的求导法则(链式法则)隐函数的导数(1) 求隐函数的导数时,只需将确定隐函数的方程两边同时对自变量求导,凡遇到含有因变量的项时,把当作中间变量看待,再按照复合函数求导法则求之,然后从所得等式中解出(2) 对数求导法:对幂指函数,可以先在函数两边取对数,然后在等式两边同时对自变量求导,最后解出所求导数反函数的导数反函数的导数等于直接函数导数的倒数,即,其中为的反函数高阶导数(1) 直接法:利用基本求导公式及导数的运算法则,对函数逐次地连续求导(2) 间接法:利用已知的高阶导数

2、公式,通过导数的四则运算,变量代换等方法,间接求出指定的高阶导数(3) 莱布尼茨公式 课后习题全解习题2-1 1. 用定义求函数在处的导数.知识点：函数在某点处导数的定义思路：按照三个步骤：(1)求增量；（2）算比值；（3）求极限解： 2. 已知物体的运动规律,求该物体在时的速度.知识点：导数的定义思路： 根据导数的定义，按照三个步骤求导解: 3. 设存在，试利用导数的定义求下列极限：知识点：导数的定义思路：利用导数的定义式求极限(1)解：(2)解： (3)解： 4.设在处连续，且，求.知识点:导数和连续的定义思路: 关键求出,再利用导数的定义解: 在处连续又 5.给定抛物线,求过点的切线方程

3、与法线方程.知识点：导数的几何意义思路：利用导数的几何意义得切线的斜率解: 切线的斜率切线的方程为,即 法线方程为,即 6.求曲线在点处的切线方程和法线方程.知识点：导数的几何意义思路：利用导数的几何意义得切线的斜率解: 切线的斜率切线的方程为,即 法线方程为,即 7.函数在点处是否可导?为什么?知识点：函数在某点可导的充要条件思路：利用导数的定义求左右导数，然后利用函数在某点可导的充要条件判别解： 在处不可导. 8.用导数的定义求在处的导数.知识点：函数在某点可导的充要条件思路：利用导数的定义求左右导数，然后利用函数在某点可导的充要条件解: 9.设,求.知识点：分段函数的导数思路：分段函数在

4、每一段内可以直接求导，但是在分段点处要利用导数的定义求导解：当时，当时，当时， 10.试讨论函数在处的连续性与可导性.知识点：函数在某点连续与可导的定义思路：利用函数在某点连续与可导的定义判断解: 在处连续. 在处可导. 11.设在处连续, ,求.知识点：函数在某点处导数的定义思路：利用导数的定义求导数解:在处连续 12.设不恒为零的奇函数在处可导,试说明为函数的何种间断点.知识点：导数以及间断点的定义思路：利用导数的定义求极限解:为奇函数 又在处可导 即在处有极限.为函数的可去间断点. 13.当物体的温度高于周围介质的温度时,物体就不断冷却,若物体的温度与时间的函数关系为,应怎样确定该物体在

5、时刻的冷却速度?知识点: 导数的定义思路: 导数反映的是函数的变化率,在时刻的冷却速度即为函数对时间的导数解:时刻该物体的温度为,则时刻物体的温度为,物体在时刻的冷却速度. 14.设函数在其定义域上可导,若是偶函数,证明是奇函数;若是奇函数,则是偶函数(即求导改变奇偶性).知识点：导数的定义思路：利用导数的定义求导数解:若为偶函数时, 为奇函数. 若为奇函数时, 为偶函数.习题2-2 1. 计算下列函数的导数：知识点：基本初等函数的导数和导数的四则运算法则思路：利用基本初等函数的导数和导数的四则运算法则求导数(1);解: (2);解: (3);解: (4);解: (5);解: (6);解: (

6、7);解:(8);解:(9);解: (10);解： (11);解:(12).解: 2.计算下列函数在指定点处的导数:知识点：基本初等函数的导数和导数的四则运算法则思路：利用基本初等函数的导数和导数的四则运算法则求导数(1),求;解: (2),求.解: 3.求曲线上横坐标为的点处的切线方程与法线方程.知识点：导数的几何意义，基本初等函数的导数和导数的四则运算法则 思路：利用基本初等函数的导数和导数的四则运算法则求导数得切线的斜率解: 在的点处切线的斜率又当时, 在的点处切线方程为，法线方程为 4.写出曲线与轴交点处的切线方程.知识点：导数的几何意义，基本初等函数的导数和导数的四则运算法则 思路：

7、利用基本初等函数的导数和导数的四则运算法则求导数得切线的斜率解:当时，即 解得或 曲线与轴的交点为, 点处的切线的斜率为 切线方程为，即 点处的切线的斜率为 切线方程为，即 5.求下列函数的导数:知识点：基本初等函数的导数以及复合函数的求导法则思路：利用链式法则求复合函数的导数(1);解:(2);解:(3);解:(4);解:(5);解:(6);解:(7);解:(8);解:(9).解: 6.求下列函数的导数:知识点：导数的四则运算法则和复合函数的求导法则思路：利用导数的四则运算法则和复合函数的求导法则求导数(1);解: (2);解:(3);解:(4);解:(5);解:(6);解:(7);解:(8

8、);解:(9)解:(10);解: (11);解:(12).解: 7.设为可导函数,求:知识点：复合函数的导数思路：利用链式法则求复合函数的导数(1);解:(2);解:(3).解: 8.设,且可导,求.知识点：抽象函数的导数思路：利用换元法求函数表达式，然后求导数解:令,则 9.设为可导函数，且，求.知识点：复合函数的导数思路：表示对的导数，表示对的导数，注意求导的变量解: 由有 令,则 10.已知，求.知识点：抽象函数的导数思路：利用换元法求函数表达式，然后求导数解:令,则 11.已知,且,证明.知识点：复合函数的导数思路：利用链式法则求导数解:由，得 12.设在内可导,且,证明:知识点: 复

9、合函数的导数思路: 利用链式法则求导解:由,有 13.求下列函数的导数:知识点：复合函数的导数思路：利用链式法则求导数(1);解:(2);解:(3);解:(4);解:(5);解:(6).解:习题2-3 1.求下列函数的二阶导数:知识点：高阶导数思路：利用基本求导公式及导数的运算法则,对函数逐次求导(1);解: (2);解: (3);解:(4);解:(5);解:(6);解: (7);解: (8);解:(9).解: 2.设,求.知识点：高阶导数思路：利用基本求导公式及导数的运算法则,对函数逐次求导解: 3.已知物体的运动规律为(是常数),求物体运动的加速度,并验证:.知识点：高阶导数思路：利用基本

10、求导公式及导数的运算法则,对函数逐次求导解: 4.验证函数(是常数)满足关系式: 知识点：高阶导数思路：利用基本求导公式及导数的运算法则,对函数逐次求导解: 5.设连续,且,求.知识点: 导数的定义思路: 因为不一定存在,不能直接求二阶导数,要利用导数的定义求解: 又连续,但不一定存在 6.若存在,求下列函数的二阶导数.知识点: 高阶导数,复合函数的求导法则思路: 利用链式法则求导(1)解: (2).解: 7.已知在处有二阶导数,试确定参数的值.知识点：可导与连续的定义，以及可导与连续的关系思路：由已知条件得方程组，联立方程组求解解:在处有二阶导数 在处连续，且在处连续从而有，即 又 在处可导

11、 而 ，且 又 在处二阶可导 而 ，即8.求下列函数所指定阶的导数:知识点：高阶导数思路: 利用已知的高阶导数公式和莱布尼茨公式求高阶导数 (1)求;解: (2),求;解: (3) ,求;解: (4),求.解: 9.作变量代换,简化方程.知识点: 高阶导数思路: 利用链式法则求导 解: 又 代入方程得 即 习题2-41.求下列方程所确定的隐函数的导数:知识点: 隐函数的导数思路: 方程两边同时对自变量求导,凡遇到含有因变量的项时,把当作中间变量看待,再按照复合函数求导法则求之,然后从所得等式中解出 (1);解:方程两边同时对求导,得 解得 (28) ;解:方程两边同时对求导,得 解得 (3)

12、;解:方程两边同时对求导,得 解得 (4);解:方程两边同时对求导,得 解得 (5).解:方程两边同时对求导,得 即 解得2.求下列方程所确定的隐函数的导数:知识点: 隐函数的导数,高阶导数思路: 方程两边同时对自变量求导,凡遇到含有因变量的项时,把当作中间变量看待,再按照复合函数求导法则求之,然后从所得等式中解出,再对一阶导数利用导数四则运算法则和复合函数求导法则求导 (1) 解:方程两边同时对求导,得 解得 (2);解: 方程两边同时对求导,得 解得 (3).解: 方程两边同时对求导,得 解得 3.用对数求导法则求下列函数的导数:知识点: 对数求导法思路: 在函数两边取对数,然后在等式两边

13、同时对自变量求导,最后解出所求导数 (1);解:等式两边同时取对数,得 等式两边同时对求导,得 (2) 解: 等式两边同时取对数,得等式两边同时对求导,得 (3) 解:等式两边同时取对数,得等式两边同时对求导,得 4.设函数由方程确定,求,并求曲线上其横坐标处点的切线方程与法线方程.知识点:隐函数导数和导数的几何意义思路: 方程两边同时对自变量求导,凡遇到含有因变量的项时,把当作中间变量看待,再按照复合函数求导法则求之,然后从所得等式中解出解: 方程两边同时对求导,得 解得 当时, 在处切线的斜率 处的切线方程为,即 法线方程为,即 5.求曲线在对应点处的切线方程和法线方程.知识点: 参数方程

14、表示的函数的导数思路: 利用参数方程表示的函数的求导公式求导解: 当时, 在对应点处的切线方程为, 即 法线方程为, 即6.求下列参数方程所确定的函数的导数:知识点: 参数方程表示的函数的导数思路: 利用参数方程表示的函数的求导公式求导 (1) ;解: (2) ;解: (3) .解: 7.求下列参数方程所确定的函数的导数:知识点: 参数方程表示的函数的导数思路: 利用参数方程表示的函数的求导公式求一阶导数,再将看作中间变量利用复合函数求导法则求二阶导数, (1) ;解: (2) ;解: (3) .解: 8.落在平静水面上的石头,产生同心波纹,若最外一圈波半径的增大率总是6,问在2末扰动水面面积

15、的增大率为多少? 知识点: 导数的定义 思路: 导数反映的函数的变化率,列出函数求导解:设最外一圈波半径为,则水面面积扰动水面面积的增大率 (*)在时,. 代入(*)式得 9.一长为5米得梯子斜靠在墙上.如果梯子下端以0.5米/秒的速率滑离墙壁,试求梯子与墙的夹角为时,该夹角的增加率.知识点: 导数的定义思路: 导数反映的函数的变化率,列出函数求导解:设梯子下端离墙面的距离为,则设梯子与墙的夹角为,则 当时,即 当时,夹角的增加率为 10.在中午十二点整甲船以6公里/小时的速率向东行驶,乙船在甲船之北16公里处,以8公里/小时的速率向南行驶,问下午一点整两船相距的速率为多少?知识点: 导数的定

16、义思路: 导数反映的函数的变化率,列出函数求导解:在十二点后小时甲船行驶的路程(km),乙船行驶的路程为(km)当时,甲乙两船的距离当时,甲乙两船相距的速率km/h习题2-5 1.已知，在点处计算当分别为1，0.1，0.01时的及之值.知识点：函数增量以及函数微分的定义思路：利用函数增量以及函数微风的定义计算即可解： 当时， (2) 当时， (3) 当时， 2.将适当的函数填入下列括号内，使等式成立：知识点：微分形式的不变性思路：利用求函数微分(1) 解： (2) 解： (3) 解： (4) 解： (5) 解： (6) 解： 3.求下列函数的微分：知识点：基本初等函数的导数，导数的四则运算法则

17、，复合函数的导数，以及微分的定义思路：利用求函数微分 (1) 解： （2）解： (3) 解: (4) 解: (5)解: (6)解: (7)解: (8)解: 4.求方程所确定的函数的微分.知识点: 微分的四则运算法则和微分形式的不变性思路: 方程两边同时求微分,再解出解:方程两边同时求微分, 即 化简得 5.求由方程所确定的函数的微分. 知识点: 微分的四则运算法则和微分形式的不变性 思路: 方程两边同时求微分,再解出解:方程两边同时求微分,得 即 化简得 6.当较小时,证明下列近似公式:知识点: 微分的应用思路: 当较小时, (1)解:当较小时, 即(2)解: 即(3)解: 即 7.计算下列格

18、式的近似值:知识点: 微分的应用思路: 当较小时, (1) 解: 令则取得(2) 解:令,则取,得(3) 解:令,则取,得 8.为了计算出球的体积(精确到1%), 问度量球的直径所允许的最大相对误差是多少?知识点: 微分的定义思路: 当很小时, 解:球的体积 由题目已知条件可知 9.扩音器插头为圆柱形,截面半径为0.15cm,长度为4cm,为了提高它的导电性能,要在该圆柱的侧面镀上一层厚为0.001cm的纯铜,问每个插头约需多少克纯铜?知识点: 微分的定义思路: 当很小时, 解:圆柱底面积 镀层的体积 10.某厂生产一扇形板,半径 ,要求中心角为,产品检测时,一般用测量弦长的方法来间接测量中心

19、角.如果测量弦长时的误差,问由此而引起的中心角测量误差是多少?知识点: 微分的定义思路: 当很小时, 解: ,又(弧度)总习题二 1.设存在，求知识点：导数的定义思路：利用导数的定义式求极限解： 2设，求.知识点: 导数的四则运算法则思路: 含有的项为零,所以只需要求出导数不含的解: 3.设对任何满足,且(常数),求.知识点: 导数的定义思路: 关键凑出导数定义的极限形式解:由得 而 令,则,当时, 即 4.设函数对任何实数有且,证明:函数可导,且.知识点: 导数的定义思路: 关键凑出导数定义的极限形式解:由 5.求解下列问题: (1)求的反函数的导数;知识点: 反函数的导数思路: 反函数的导

20、数等于原函数导数的倒数解: (2)设是的反函数,且,求.知识点:反函数的导数思路: 关键是理解反函数和原函数之间的关系,反函数中的自变量的值是原函数的函数值解:由得 6.在抛物线上取横坐标为及的两点,作过两点的割线,问抛物线上哪一点的切线平行于这条割线?知识点:导数的几何意义思路: 切线的斜率为曲线在该点的导数,列方程求解解:当时,; 当时，过点(1,1)和点(3,9)的直线的斜率为设点处的切线平行于这条割线，则，即 ，即 7.求与直线垂直的曲线的切线方程.知识点:导数的几何意义思路: 切线的斜率为曲线在该点的导数,列方程求解解: 直线的斜率为设点处的切线与直线垂直,则或当时,;当时,点为(-

21、1,1)或(3,5) 切线方程为即或，即 8.讨论函数在点处的可导性.知识点: 导数的定义思路: 利用定义求左右导数,看左右导数是否相等解: 在处可导. 9.设函数,为了使函数在处连续且可导,应取什么值知识点:连续与可导的定义思路: 利用连续与可导的定义的方程组求解解：要使在处连续，则要使在处可导，则而, 10.试确定，使在处可导.知识点: 连续与可导的定义思路: 可导一定连续,由连续性和可导得方程组求解解：若在处可导，则在处连续 要使在处可导，则而 由得 11.设函数在-1,1上定义,且满足,证明存在,且.知识点: 导数的定义思路: 利用定义求左右导数,看左右导数是否相等解：由,得 当时而由

22、夹逼准则知当时而由夹逼准则知又 12.设,求.知识点: 导数的定义思路: 求分段函数在分段点的导数, 利用定义求左右导数,看左右导数是否相等解: 13.求下列函数的导数:知识点: 导数的四则运算法则及复合函数的求导法则思路: 利用导数的四则运算法则和链式法则求导数 (1);解： (2);解： (3);解： (4);解： (5);解： (6);解： (7);解： (8);解： (9).解: 14.设,求知识点: 导数的四则运算法则及复合函数的求导法则思路: 先利用对数的性质化简函数, 再利用导数的四则运算法则和链式法则求导数解：15.设为可导函数,求:知识点: 导数的四则运算法则及复合函数的求导

23、法则思路: 利用导数的四则运算法则和链式法则求导数 (1);解： (2).解： 16.设时，可导函数满足：，求.知识点: 函数的定义思路: 由已知条件可将自变量换为,得方程组求解解：由得得 17.已知,求.知识点: 复合函数的导数思路: 利用链式法则求导解:18.求下列函数的二阶导数:知识点: 高阶导数思路: 利用基本求导公式及导数的运算法则,对函数逐次求导 (1);解： (2).解： 19.试从导出:知识点:高阶导数思路: 要分清求导的变量,求导过程中表示对自变量的导数(1);解：(2).解： 20.已知函数具有任意阶导数，且，则当n为大于2的正整数时，的n阶导数是( A )知识点: 高阶导

24、数思路: 利用归纳推理法(A);(B);(C);解： 归纳可得21.求下列函数所指定阶的导数：知识点: 高阶导数思路: 通过函数变形, 利用已知的高阶导数公式间接求出指定的高阶导数,对乘积函数利用莱布尼茨公式求阶导数 (1),求；解： (2)设，求；解： (3)，求.解： 22.设,求.知识点: 高阶导数思路: 转化为乘积函数,利用莱布尼茨公式求阶导数解： 等式两边同时求n阶导数,并由莱布尼茨公式,可得当时,有 ,又 由(*)式递推,可得 23.求曲线在点处的切线方程和法线方程.知识点: 导数的几何意义思路: 利用隐函数的求导方法求出导数,得切线斜率解：方程两边同时对求导,得解得 点处切线的斜

25、率为切线方程为，即 法线方程为，即 24.设方程确定为的函数,求.知识点:隐函数导数思路: 将方程两边同时对自变量求导,凡遇到含有因变量的项时,把当作中间变量看待,再按照复合函数求导法则求之,然后从所得等式中解出解：方程两边同时对求导,得 解得 将代入方程,得 25.用对数求导法则求下列函数的导数:知识点: 隐函数求导思路: 方程两边同时取对数,利用对数性质化简函数,再利用隐函数的求导方法求导数 (1);解:两边同时取对数,得 两边同时对求导,得 (2).解: 两边同时对求导,得 26.设函数由方程所确定，求.知识点:隐函数求导法思路: 先利用隐函数求导法求一阶导数,再对一阶导数求导,在求到过

26、程中将看作中间变量,利用复合函数求导法求之解:方程两边同时对求导,得解得 将代入方程得 27.求下列方程所确定的隐函数的导数:知识点:隐函数求导法思路: 先利用隐函数求导法求一阶导数,再对一阶导数求导,在求到过程中将看作中间变量,利用复合函数求导法求之 (1)；解:等式两边同时对求导,得 解得 将代入得 (2).解: 方程两边同时对求导,得 解得 将代入得 28.设由方程所确定,二阶可导且,求.知识点: 隐函数的导数思路: 利用对数求导法求一阶导数,再求二阶导数解：等式两边同时取对数,得 等式两边同时对求导,得 29.求下列参数方程所确定的函数的二阶导数:知识点: 参数方程表示的函数的导数思路

27、: 求二阶导数时将看作中间变量,利用复合函数求导法则求之 (1);解: (2).解: 30.设由方程组确定了是的函数，则( )知识点: 参数方程表示的函数及隐函数的导数思路: 求二阶导数时将看作中间变量,利用复合函数求导法则求之(A); (B) (C) (D)解:在方程的两边同时对求导,得解得 由得 31.设函数由方程所确定，求.知识点: 隐函数的导数思路: 利用对数求导法,在等式两边同时取对数,再求隐函数的导数解: 方程两边同时取对数,得.即等式两边同时对求导,得 32.设函数的极坐标式为,求.知识点:参数方程表示的函数的导数思路: 利用函数的极坐标形式转化为参数方程解:由得 33.设一质点的运动方程为,求质点在时的运动速度及加速度的大小(为大于零的常数).知识点: 参数方程表示的函数的导数思路: 由导数的意义知,而解: 34.求下列函数的微分:知识