不等式高级水平必备(共44页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上不等式高级水平必备目录Ch1. 伯努利不等式Ch2. 均值不等式Ch3. 幂均不等式Ch4. 柯西不等式Ch5. 切比雪夫不等式Ch6. 排序不等式Ch7. 琴生不等式Ch8. 波波维奇亚不等式Ch9. 加权不等式Ch10. 赫尔德不等式Ch11. 闵可夫斯基不等式Ch12. 牛顿不等式Ch13. 麦克劳林不等式Ch14. 定义多项式Ch15. 舒尔不等式Ch16. 定义序列Ch17. 缪尔海德不等式Ch18. 卡拉玛塔不等式Ch19. 单调函数不等式Ch20. 个对称变量法Ch21. 个对称变量法Ch22. 法Ch23. 法Ch24. 法Ch25. 拉格朗日乘数法C

2、h26. 三角不等式Ch27. 习题与习题解析Ch1. 伯努利不等式1.1若实数（）各项符号相同，且，则： 式为伯努利不等式.当时，式变为： Ch2. 均值不等式2.1若为正实数，记： ，为平方平均数，简称平方均值； ，为算术平均数，简称算术均值； ，为几何平均数，简称几何均值； ，为调和平均数，简称调和均值.则： 时，等号成立. （注：当且仅当.）式称为均值不等式.Ch3.幂均不等式3.1设为正实数序列，实数，则记： 式的称为幂平均函数.3.2若为正实数序列，且实数，则： 当时，式对任何都成立，即关于是单调递增函数.式称为幂平均不等式，简称幂均不等式.3.3设为非负实数序列，且，若为正实数序

3、列，且实数，则： 式称为加权幂平均函数.3.4若为正实数序列，且实数，对则： 即： 当时，式对任何都成立，即关于是单调递增函数.式称为加权幂平均不等式，简称加权幂均不等式.Ch4. 柯西不等式4.1若和均为实数，则： 时，等号成立.（注：当且仅当.）式为柯西不等式.4.2柯西不等式还可以表示为： 简称：“平方均值两乘积，大于积均值平方”我们将简称为积均值，记：.则：，即： 4.3推论1：若为实数，则： 时，等号成立.式是柯西不等式的推论，称权方和不等式.4.4推论2：若和均为实数，则： 时，等号成立.4.5推论3：若为正实数，则： Ch5. 切比雪夫不等式5.1若；，且均为实数.则： 或时，等

4、号成立.式为切比雪夫不等式.由于有，条件，即序列同调，所以使用时，常采用 (注：不失一般性)5.2切比雪夫不等式常常表示为： 简称：“切比雪夫同调数，均值积小积均值”.即：对切比雪夫不等式采用同单调性的两个序列表示时，两个序列数的均值之积不大于两个序列数各积之均值. 则：即： Ch6. 排序不等式6.1若；为实数，对于的任何轮换，都有下列不等式： 式称排序不等式（也称重排不等式）.其中，称正序和，称反序和，称乱序和. 故式可记为：正序和乱序和反序和 6.2推论：若为实数，设为的一个排序，则： Ch7. 琴生不等式7.1定义凸函数：对一切，若函数是向下凸函数，则： 式是向下凸函数的定义式.注：表

5、示区间和函数在区间都是实数.7.2若对任意，存在二次导数，则在区间为向下凸函数；时，若，则在区间为严格向下凸函数.7.3若在区间为向下凸函数，则函数在在区间对任何也是向下凸函数.7.4若是一个在区间的向下凸函数，设，为实数，且，则对任何，有： 式就是加权的琴生不等式.简称：“对于向下凸函数，均值的函数值不大于函数的均值”.Ch8. 波波维奇亚不等式8.1若是一个在区间的向下凸函数，则对一切，有： 式就是波波维奇亚不等式.8.2波波维奇亚不等式可以写成： 简称：“对于向下凸函数的三点情况，三点均值的函数与函数的均值之平均值，不小于两点均值的函数值之平均值”.8.3若是一个在区间的向下凸函数，则：

6、 其中：，（对所有的）式是普遍的波波维奇亚不等式.当，时，代入式得：即： 式正是式.Ch9. 加权不等式9.1若，（），且，则： 式就是加权的均值不等式，简称加权不等式.式形式直接理解为：几何均值不大于算术均值.Ch10. 赫尔德不等式10.1若实数，实数且，则： 时，等号成立.式称为杨氏不等式.10.2若和为正实数，且，则： 式称为赫尔德不等式. 时，等号成立.10.3赫尔德不等式还可以写成： 即：，即： 简称：“幂均值的几何均值不小于积均值”.（注：赫尔德与切比雪夫的不同点：赫尔德要求是，切比雪夫要求是同调；赫尔德的积均值小，切比雪夫的积均值大.）10.4若、和为三个正实数序列，且，则：

7、式称为加权赫尔德不等式. 时，等号成立.10.5若(;)，为正实数且，则： 式称为普遍的赫尔德不等式.10.6推论：若，则： 简称：“立方和的乘积不小于乘积和的立方”.Ch11.闵可夫斯基不等式11.1若；为正实数，且，则： 时，等号成立.式称为第一闵可夫斯基不等式.11.2若；为正实数，且，则： 时，等号成立.式称为第二闵可夫斯基不等式.11.3若；为三个正实数序列，且，则： 时，等号成立.式称为第三闵可夫斯基不等式.Ch12.牛顿不等式12.1若为任意实数，考虑多项式： 的系数作为的函数可表达为：；（）；（）.对每个，我们定义 则式类似于二项式定理，系数为：.12.2若为正实数，则对每个有

8、： 时，等号成立.式称为牛顿不等式.Ch13.麦克劳林不等式13.1若为正实数，按定义，则： 时，等号成立.称麦克劳林不等式.Ch14.定义多项式14.1若为正实数序列，并设为任意实数.记：；为所有可能的积之和，遍及的所有轮换.14.2举例说明 ：表示共有个参数的所有积之和，共有项.第个参数的指数是，第和第个参数的指数是.故：. ：表示共有个参数的所有积之和，共有项.第个和第个参数的指数是.故：. ：表示共有个参数的所有积之和，共有项.第个参数的指数是，第个参数的指数是.故：. ：表示共有个参数的所有积之和，共有项.第个参数的指数是，第个参数的指数是，第个参数的指数是.故：.即： ：表示共有个

9、参数的所有积之和，共有项.第个参数的指数是，第个参数的指数是，第个参数的指数是.故：. ：表示共有个参数的所有积之和，共有项.第个参数的指数是，第个和第个参数的指数是.故：. ：表示共有个参数的所有积之和，共有项.第个参数的指数是，第个参数的指数是，第个参数的指数是.故：.由于表达式比较多，所以我们规定：（）.Ch15.舒尔不等式15.1若，且，则： 式称为舒尔不等式.15.2 解析式；将上式代入式得：即：即：即： 式与式等价，称为舒尔不等式.15.3若实数，设，则： 或及轮换，等号成立.按照式写法，即：，则： 式是我们最常见的舒尔不等式形式.15.4推论：设实数，实数且或，则： 式中，就得到

10、式.15.5推论：设实数，则： 15.6推论：若，则对于一切，有： Ch16. 定义序列16.1设存在两个序列和，当满足下列条件： 且 对一切，式都成立.则：就是的优化值，记作：.注：这里的序列只有定性的比较，没有定量的比较.Ch17.缪尔海德不等式17.1若为非负实数序列，设和为正实数序列，且，则： 或时，等号成立.式就缪尔海德不等式.17.2解析式若实数，实数，且满足，；设，则：满足序列条件，则：即式为： 用通俗的方法表达即： 式就缪尔海德不等式的常用形式.17.3例题：设为非负变量序列，考虑和.由16.1中的序列优化得：由缪尔海德不等式式得： 将代入得：即： 由柯西不等式：即：即： 式式

11、等价，这就证明了式是成立的，而缪尔海德不等式直接得到式是成立的.式可以用来表示，这正是缪尔海德不等式的式.Ch18.卡拉玛塔不等式18.1设在实数区间的函数为向下凸函数，且当（）两个序列和满足，则： 式称为卡拉玛塔不等式.18.2若函数为严格向下凸函数，即不等取等号，且，则： 若函数为严格向上凸函数，则卡拉玛塔不等式反向.Ch19.单调函数不等式19.1若实数函数在区间对一切为单调增函数，则当时，有；若在区间对一切为严格单调增函数，当时，有.19.2若实数函数在区间对一切为单调减函数，则当时，有；若在区间对一切为严格单调减函数，当时，有.19.3若实数函数在区间为可导函数，当对一切，则在区间为

12、单调递增函数；当对一切，则在区间为单调递减函数.19.4设两个函数和满足下列条件： 函数和在区间是连续的，且； 函数和在区间可导； 导数对一切成立，则对一切有： 式就是单调函数不等式.Ch20.个对称变量法20.1设，对于具有变量对称形式的不等式，采用下列变量代换：；，则.代换后的不等式，很容易看出其满足的不等式关系，这样证明不等式的方法称为法.20.2常用的代换如下： 20.3常用的法的不等式若，则： Ch21.个对称变量法21.1在的不等式中，采用下列变量代换：；.上述变换强烈含有“平均”的意味：对应“算术平均值”；对应“积均值”；对应“几何平均值”.21.2当时，则： 式称为傻瓜不等式.

13、即：“算术平均值”“积均值”“几何平均值”.21.3若，则 式称为正值定理.21.4若，任给，则当且仅当，且时，则：，等式成立.这称为定理.Ch22.法22.1 法即设；.则函数变换为.这与Ch20.个对称变量法类似.22.2若函数是单调的，则当时，达到极值.22.3若函数是凸函数，则当时，达到极值.22.4若函数是的线性函数，则当时，达到极值.22.5若函数是的二次三项式，则当时，达到极值.Ch23.法23.1 法即23.2本法的全部思想是将给出的不等式改写成以下形式： 其中，分别都是的函数. 若，则； 若或，且，则； 若或，且，则； 若，且，则； 若或或，且，则.23.3 常用的形式 Ch

14、24.法24.1 法即本法对多于个变量的对称不等式非常有用.24.2 设为任意实数序列， 选择使，； 用其平均数代替和，经过多次代换后各项（）都趋于相同的极限.24.3 设实数空间的函数是一个对称的连续函数，满足 其中，序列是由序列经过预定义变换而得到的.预定义变换可根据当前的题目灵活采用，如，等等.24.4 例题说明例题：设实数，证明：.解析：采用法.设： 则： 其中，.由得：由式得：证毕.Ch25.拉格朗日乘数法25.1 设函数在实数空间的连续可导，且，其中（），即有个约束条件，则的极值出现在区间的边界或偏导数（函数为）全部为零的点上.这就是拉格朗日乘数法.Ch26.三角不等式26.1 设

15、，且，则就是同一个三角形的内角.26.2 若为同一个三角形的内角，则有下列不等式： ； ； ； ； ； ； （锐角三角形）； ； ； ； ； ； ； ； ； .Ch27.习题27.1 设，求证：.27.2 设，且，求证：.27.3 设，且，求证：.27.4 设，且，求证：.27.5 设，求证：.27.6 设，求证：.27.7设，求证：.27.8 设，且，若，求的最小值.27.9 设，且，求证：.27.10 设，求证：.27.11设，且,求证：.27.12设，且，求证：.27.13设，且，求证：.27.14设，求证：.27.15设，求证：.27.16设，且，求证：.27.17设，求证：.27.1

16、8设，且，求证：.27.19设，且，求证：.27.20设，且，求证：.27.21设，求证：.27.22设，且，求证：.27.23设不等式：对一切实数都成立，求的最小值.27.24设，且，求证：.Ch27.习题解析27.1 设，求证：.解析：设：，则：因为，所以 （）由伯努利不等式：当且时， 或时，式等号成立.由均值不等式： 时，式等号成立.由式得： 时， 式等号成立.设：，则由式得： 则：；.上面各式相乘得：.证毕.27.2 设，且，求证：.解析：因为，所以设，则由伯努利不等式： 将代入式，并代入得：.证毕.27.3 设，且，求证：.解析：因为，且，所以由均值不等式： 即： 时，式等号成立.由

17、柯西不等式：即：即： 时，式等号成立.将式代入式得： 时， 式等号成立. 证毕.27.4 设，且，求证：.解析：因为，且，所以由均值不等式： 时，式等号成立.由均值不等式：，即： 时，式等号成立.，设，则因为，所以由切比雪夫不等式：即： 时，式等号成立.将代入式得： 时， 式等号成立. 证毕.27.5 设，求证：.解析：记，则： 待证式为： 由柯西不等式：即： 由式，只需证明 设多项式： 则： 代入式得： 根据定义：得：，即：；，即：则： 由麦克劳林不等式：，即：代入式得：，式得证. 时，等号成立. 证毕.27.6 设，求证：.解析：不等式左边=不等式右边=则不等式其实就是： 由于是对称不等式

18、，假设，则 且，即： 则有排序不等式：其中，为正序和；为乱序和. 时，等号成立. 证毕.27.7设，证：.解析：当时，不等式成立；当时，不等式成立；当时，构建函数.则函数的导数；二次导数，故在时函数为向下凸函数.由琴生不等式： 将， ， 带入式得：，即：综上，当、和时， 都成立,即时，成立. 证毕.27.8 设，且，若，求的最小值.解析：记，（）.则 假设，则 由于，所以与无关，则与同单调性.即： 由切比雪夫不等式：若与同单调性，则有： 设：，（），则满足与同单调性.代入式得：即： 由均值不等式：，即：故： 构建函数： 则导函数：，故为向下凸函数.由琴生不等式：取加权（）时，上式变为： 即：即

19、： 将和式代入式得：故：的最小值是.27.9 设，且，求证：.解析：在圆锥曲线里，椭圆方程为：时，常常采用的参数方程是：，因为将它带入方程时满足，这个三角函数的基本关系. 对于三角形的内角，同样有关系和. 而本题初始条件.设.，因为，所以 则当为三角形的内角时， 满足条件.带入不等式左边得： 构建函数，则在区间函数为向下凸函数，故由琴生不等式得：函数值的均值不小于均值的函数值. 当加权时，式变为：即： 即：即： 将式带入式得：. 证毕.27.10 设，求证：.解析：因为，由柯西不等式式则：. 即：. 证毕.27.11设，且,求证：.解析：对赫尔德不等式： 当 ，时，式为： 即： 设：，；，；，

20、；，.代入式得： 式就是赫尔德不等式. 将式代入上式得：开方出来即： 将代入式得：.时等号成立. 证毕.27.12设，且，求证：.解析：采用法.设：，则：在20.2常用的代换如下： ； 则：；于是，待证式变为：即：，即：，即： 在20.3常用的法的不等式 ，即：故：式成立，即待证式成立. 证毕.27.13设，且，求证：.解析：由舒尔不等式： 即：即：即：即：两边都加得： 式就是舒尔不等式.设，代入式得：将代入上式得：即： 式就是我们要证明的不等式. 证毕.27.14设，求证：.解析：待证式化为：即： 解析1：缪尔海德不等式： 或时，等号成立.由于，满足缪尔海德不等式的条件，即：，故满足序列.则

21、：，即：式成立. 证毕.解析2：采用法.设：，.在20.2常用的代换如下： ， 即式等价于：即：，即：即： 式是与式等价的.在20.3常用的法的不等式： 是成立的，故式成立. 证毕.解析3：采用琴生不等式.构建函数 则为向下凸函数.采用琴生不等式式： 则：；上面三式相加得： 将带入得：即：. 证毕.27.15设，求证：.解析：待证式： 即：即：，即： 由排序不等式得：所以：式得证. 证毕.27.16设，且，求证：.解析：待证式： 将式齐次化： 化简式： 将式代入式：即待证式为： 由舒尔不等式：即：即： 由缪尔海德不等式： 取：即：即： 由+2×两式相加得： 式是由舒尔不等式和缪尔海德

22、不等式相加得到的结果，而式就是待证式，这证明，式即式是成立的. 证毕.27.17设，求证：.解析：因为，所以设（）待证式变为：因为待证式两边都是正数，所以取对数后为： ，假设，且 设，则： 而且(，) 由，根据Ch16. 定义序列，则：就是的优化值，于是序列 构建函数： 函数的导函数为：，其二次导函数为： 由式，函数是向下凸函数，对于两个序列和由卡拉玛塔不等式得： 将带入得：而这正是待证式式. 证毕.27.18设，且，求证： .解析：先介绍一个不等式：若，则 证明如下： 式得分子为：带入式得：，则：式成立.由式得：； 而： 故由：时等号成立. 证毕.27.19设，且，求证：. 解析：采用法 设

23、：设：，则：， 采用导数法求的极值点.由式的导数为零得：即：即：即： 则极值点为：，其中， 采用盛金公式求式得.盛金公式：；，判别式：；.式得实数解为：.代入式得到这些极值点的函数值：；在边界点的函数值为：；故： 由于即： 其中：由得到：；由得到：；由得到：；由琴生不等式得到： 构建函数显然为向下凸函数，故函数的均值不小于均值的函数值.即：即： 再由得到：，代入式得：即：，式得证. 故由式：.时等号成立. 证毕.27.20设，且，求证：.解析：采用法.，假设，则：，故：，设： 设：，则： 则：，即：故： 将，代入式得：即： 下面只需证明即可.将代入式： 由于：，所以：即：代入式得：，即：由式得：即：. 证毕.27.21设，求证：.解析：不等式即：设： 则对于对称类不等式，当时，若是上式的因子，则可用法.即若，则可采用法. 采用长除法分解因式故： 由式表明，本题可以采用法 采用法，就是将不等式改写成： 其中分别都