配方法及其应用

1、初一（配方法及其应用班 学号:姓名:、配方法:将一个式子变为完全平方式， 称为配方，它是完全平方公式的逆用。 配方法是一种重要 的数学方法，它是恒等变形的重要手段，又是求最大最小值的常用方法， 在数学中有广泛的 应用。配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简，何时配方需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添 项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方，有时也将其称为“凑配法”配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式（a+ b）2 = a2 + 2ab + b2,将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：a2 + b2

2、= （a+ b）2 -2ab = （a b）2 + 2ab ；a2 + ab + b2= (a + b)2- ab = (a-b)2 + 3ab =a2 + b2+ c2 + ab + bc + ca= ;(a+ b)2+ (b + c)2 + (c+ a)2.下面举例说明配方法的应用：一、求字母的值【例1】已知a, b满足a2 + 2b2-2ab-2b + 1 = 0,求a+ 2b的值.分析：可将含x,y的方程化为两个非负数和为0的形式，从而求出两个未知数的值解：/ a2 + 2b2-2ab -2b +1 = 0 ,/a2+ b2-2ab + b2-2b +1 = 0 ,(a b)2+ (b

3、 - 1)2= 0.(a- b)2>0, (b - 1)2 X), a b = 0 , b 1 = 0, a = 1 , b = 1 ,a + 2b = 1 + 2 x 1 = 3,a + 2b的值是3.变式练习：1、 已知x2y2 x2 4xy 13 6x,则x,y的值分别为_.2、 已知 a2 + b2 + 4a 2b + 5 = 0,贝U 3a2+ 5b2 4 的值为_.2 2 23、 已知 xy z 2x 4y 6z 14 0,贝U x+y+z 的值为 _.2 24、已知 x2xy y 6x 6y 90，贝Uxy 的值为 _.5、若 a、b为有理数，且 2a2 2ab b2 4a

4、 40,则 a2b ab2的值为_.2 2 26、已知 a、b、c满足 a 2b 7 , b 2c 1 , c 6a 17,贝U a+ b+ c 的值为2 2 27、已知 a 2b 2c 2ab 2bc 6c 90，则 abc 的值为.2 28已知a b 1 ab a b，则3a 4b的值为.二、证明字母相等【例2】已知a、b、c是厶ABC的三边，且满足a2 b2 c2 ab bc ac 0,，判断这个三 角形的形状.分析：等式两边乘以 2,得2a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ac 0,2 2 2 2 2 2配方，得 a 2ab b b 2bc c c 2ca a 0,2 2 2即 a

5、 b b c c a 0.由非负数的性质得 a-b=0,b-c=0,c-a=0,a=b,b=c,c=a, 即 a=b=c.故厶ABC是等边三角形.变式练习：2 2 2 21 、已知 3ab c a b c ，求证： a b ca=b=c=d 。2、已知：a4 + b4 + c4 + d4= 4abcd，其中 a, b , c, d 是正数，求证:三、比较大小【例3】若代数式MA. 一定是负数分析：M-N= (10a2 b22 2 2=10a b 7a 8 a=9a212a4 3 3a变式练习：已知a、b满足等式xA. x y10a2 b2 7a 8, NB. 定是正数2 27a 8)1 (a

6、b 5ab2 5a12 230.故选B.2 .2ab20,yB. xya2 b2 5a 1,则 M-N 的值()C. 一定不是负数1)4 2bC. x yD.定不是正数a，贝U x, y的大小关系是()四、证明代数式非负【例4】用配方法证明：不论x为任何实数，代数式x2 4x 4.5的值恒大于0.分析：本题主要考查利用配方法说明代数式的值恒大于0,说明一个二次三项式恒大于0的方法是通过配方将二次三项式化成“ a2 +正数”的形式.证明：I x2 4x 4.5x2 4x 44.5 x 2 2 0.52 ,又 x 20, /.x 4x 4.5 0不论x为任何实数，代数式x2 4x 4.5的值恒大于

7、0.变式练习:21、求证：不论x、y为何值，多项式x xyy2 2x y 2的值永远大于或等于你的看法如何？2、小萍说，无论x取何实数，代数式x2 + y2 10x + 8y + 42的值总是正数.请谈谈你的理由五、求代数式的最值【例 5 】利用配方法求 y 2x2 4x 7 的最大值或最小值 .2分析：求最大值或最小值 必须将它们化成y ax b c的形式，然后再判断,当a > 0时，它有 最小值c;当a v 0时，它有最大值c.解： y 2x2 4x 72 x2 2x 1722 x 1 2922/2 x 10,.2x 199,它的最小值是-9.变式练习：1、证明：无论x取何实数值，代

8、数式x2 x 1的值总是负数，并求它的最大值.2、对关于x的二次三项式 x2 + 4x+ 9进行配方得 x2 + 4x + 9 = (x + m)2 + n.(1) 求 m ， n 的值；(2) 当 x 为何值时 x24x 9 有最小值？并求最小值3 、当 a，b 为何值时，多项式 a22ab2b26b18 有最小值？并求出这个最小值六、证明完全平方数【例 6】已知 9x218( n 1)x 9n2n 是完全平方式，求常数n 的值解： 9x218(n1)x9n2n=9x2 + 2( n 1)x + 9n2 + n=9x2 + 2(n 1)x+ (n 1)2 9(n 1)2+ 9n2+ n=3(

9、x + n 1)2 9(n 1)2+ 9n2+n.已知9x2 + 18( n 1)x+ 9n2+n是一个完全平方式，9 (n 1)2 + 9n2 + n = 0,化简，得 19n-9 = 0，解得 n = 9/19.变式练习：1 、一个自然数减去 45 后是一个完全平方数,这个自然数加上 44 后仍是一个完全平方数, 试求这个自然数 2 、四个连续自然数的乘积加上 1 ，一定是平方数吗？为什么？3 、求证：五个连续整数的平方和不可能是一个整数的平方5、( 1 )请观察：25=5 2 , 1225=35 2, 112225=3352, 1122225=33352与出表示一般规律的等式，并加以证明.(2 ) 26=5 2+1 2, 53=7 2+2 2, 26 X 53=1378 , 1378=37 2+3 2.任意挑选另外两个类似2653的数，使它们能表示成两个平方数的和，把这两个数相乘，乘积仍然是两个平方数的和吗？你能说出其中的道理吗？6、如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”.女口： 4=4 2-02, 12=4 2-22, 20=6 2-42,因此 4