定积分的应用91644

1、定积分的应用定积分的应用2022-1-172问题情境问题情境（复习引入）（复习引入）1、求曲边梯形的思想方法是什么？、求曲边梯形的思想方法是什么？2、定积分的几何意义是什么？、定积分的几何意义是什么？3、微积分基本定理是什么？、微积分基本定理是什么？ 我行我行 我能我能 我要成功我要成功 我能成功我能成功2022-1-173 例例1、求曲线、求曲线 与直线与直线 x轴所围成的图形面积。轴所围成的图形面积。 32, 0 sin xxy,32, 0 xx 略解：根据定积分的略解：根据定积分的几何意义所求面积为几何意义所求面积为 2332320 oxxdxs|cossin例题研究例题研究 2022-

2、1-174（一）利用定积分求平面图形的面积一）利用定积分求平面图形的面积 我行我行 我能我能 我要成功我要成功 我能成功我能成功平面图形的面积平面图形的面积 badxxfa)(平面图形的面积平面图形的面积 badxxfxfa)()(12xyo)(xfy abxyo)(1xfy )(2xfy ab2022-1-175)(1xfy )(2xfy 平面图形的面积平面图形的面积2121( )( )( )( )bbaabaafx dxf x dxfxf x dxab平面图形的面积平面图形的面积 ( )baaf x dx)(xfy ab2022-1-176平面图形的面积平面图形的面积21( )( )baa

3、fxf x dx 特别注意图形面积与定积分不一定相等特别注意图形面积与定积分不一定相等, 2 ,sin xxy的图像与的图像与x轴围成的图形的面积为轴围成的图形的面积为4,而其定积分为而其定积分为0. 如函数如函数)(1xfy )(2xfy ab2022-1-177变式引申：变式引申： 1 1、求直线、求直线 与抛物线与抛物线 所围成的图形面积。所围成的图形面积。32 xy2xy 332| )33)323132231 xxxdxxxs（32 xy 略解：如图直线略解：如图直线与抛物线与抛物线2xy 的交点的交点坐标为（坐标为（1 1，1 1）和（和（3，9），则），则我行我行 我能我能 我要成

4、功我要成功 我能成功我能成功2022-1-178变式引申变式引申2、求由抛物线、求由抛物线342 xxy 及其在点及其在点m（0，3）和和n（3，0）处的两条切线所围成）处的两条切线所围成的图形的面积。的图形的面积。 xyoy=x2+4x-3略解：略解：42 xy/则在则在m m、n n点处的切线方程点处的切线方程分别为分别为、34 xy62 xy3220s4x 3x4x 3 dx() () （3/2，3）323292x6x4x3 dx4()() 2022-1-179变式引申变式引申3、在曲线在曲线)0(2xxy 上的某点上的某点a处作处作一切线使之与曲线以及一切线使之与曲线以及x轴所围成的面

5、积为轴所围成的面积为121.试求：切点试求：切点a的坐标以及切线方程的坐标以及切线方程. x yoy=x2abc略解：略解：设切点坐标为设切点坐标为),200 xx（xy2 /2002xxxy 则切线方程为则切线方程为切线与切线与x轴的交点坐标为轴的交点坐标为),(020 x),(020 x0 x0(, )2022-1-1710 则由题可知有则由题可知有1211223022002202000 xdxxxxxdxxsxxx)(10 x所以切点坐标与切线方程分别为所以切点坐标与切线方程分别为12),1 , 1 (axy0 x2200030 x1sx dxx22x11212(:)另解x yoy=x2

6、abc2022-1-1711 （1）画图）画图,并将图形分割为若干个并将图形分割为若干个曲边梯形；曲边梯形； （2）对每个曲边梯形确定其存在）对每个曲边梯形确定其存在的范围的范围,从而确定积分的上、下限；从而确定积分的上、下限； （3）确定被积函数；）确定被积函数； （4）求出各曲边梯形的面积和）求出各曲边梯形的面积和,即即各积分的绝对值的和。各积分的绝对值的和。 小结小结: :求平面图形面积的方法与步骤：求平面图形面积的方法与步骤：我行我行 我能我能 我要成功我要成功 我能成功我能成功2022-1-1712x型区域：型区域： 以及以及x(1)曲线曲线fyf0 xx( )() ）与直线与直线)

7、(,babxax 轴所围成的曲边梯形的面积：轴所围成的曲边梯形的面积：以及以及(2)曲线曲线fyf0 xx( )() ）与直线与直线)(,babxax x轴所围成的曲边梯形的面积：轴所围成的曲边梯形的面积： badxxfs)( y)(xfy abxy)(xfy abxb badxxfs)(我行我行 我能我能 我要成功我要成功 我能成功我能成功几种常见的曲边梯形面积的计算方法：几种常见的曲边梯形面积的计算方法：2022-1-1713(3)两条曲线两条曲线）其其中中，)()()()(xgxfxgyxfy 与直线与直线)(,babxax 围成的曲边梯形的面积围成的曲边梯形的面积:basf xg x

8、dx ( )( ) badxxgxfs| )()(|y)(xfy )(xgy axby)(xfy )(xgy abxb2022-1-1714y)(xfy )(xgy abx)(xfy )(xfy aabbyyxxy型区域：型区域： 我行我行 我能我能 我要成功我要成功 我能成功我能成功可由可由)(xfy 先求出先求出)(yhx 然后利用然后利用 badyyhs)(求出求出 可由可由)(xfy 先求出先求出)(yhx 然后用然后用 badyyhs)( 求出求出 badyyhyhs| )()(|21用用求求2022-1-1715变式引申变式引申4、求曲线、求曲线xy2log 与曲线与曲线)(log

9、xy 42以及以及x轴所围成的图形面积。轴所围成的图形面积。 略解：略解：如图如图由由xy2log 得得yyfx2 )(当当 时时y0 1g yf y( , )( )( )，则所求图形的面积为则所求图形的面积为11y00sg yf y dy42 2 dy( )( )() 【eeyy210224224log| )log （由由)(logxy 42yygx24 )(得得我行我行 我能我能 我要成功我要成功 我能成功我能成功2022-1-1716解解两曲线的交点两曲线的交点)1 , 1()0 , 0(1 12 20 0s =( x -x )dxs =( x -x )dx10333223 xx.31

10、边边曲梯形oabc曲梯形oabds= s-soxy2yx2yx2xy yxabcdo11200 xdxx dx201yxxxyx及2022-1-1717解解两曲线的交点两曲线的交点(8,4).24yxyx直线与直线与x轴交点为轴交点为(4,0)2yx4 xy88042(4)xdxxdxs1s24881204422(4)sssxdxxdxxdx488044(22)(4)xdxxdxxdx38282042 2140|(4 )|323xxx2022-1-1718解解两曲线的交点两曲线的交点).4 , 8(),2, 2( 422xyxyxy22 4 xy8281202222( 24)sssxdxxxd

11、x1s1s2s2yx3322822024 22 21166426|(4 )|18332333xxxx28022 2( 24)xdxxxdx22022-1-1719解解两曲线的交点两曲线的交点).9 , 3(),4 , 2(),0 , 0( 236xyxxy32012)6(xadxxx23320(6 )xaxx dx2xy xxy63 2022-1-1720于是所求面积于是所求面积21aaa dxxxxa)6(2023 dxxxx)6(3230 .12253 说明：说明：注意各积分区间上被积函数的形式注意各积分区间上被积函数的形式2xy xxy63 1a2a2022-1-1721（二）定积分在物

12、理中应用（二）定积分在物理中应用(1)求变速直线运动的路程求变速直线运动的路程例题研究例题研究 v/m/st/s10406030oabc2022-1-1722 例例4 4、a a、b b两站相距两站相距7.2km,7.2km,一辆电车从一辆电车从a a站站开往开往b b站站, ,电车开出电车开出ts ts后到达途中后到达途中c c点点, ,这一段的这一段的速度为速度为1.2t(m/s),1.2t(m/s),到到c c点的速度为点的速度为24m/s,24m/s,从从c c点点到到b b点前的点前的d d点以等速行驶点以等速行驶, ,从从d d点开始刹车点开始刹车, ,经经ts ts后后, ,速度

13、为速度为(24-1.2t)m/s,(24-1.2t)m/s,在在b b点恰好停车点恰好停车, ,试求试求（1 1）a a、c c间的距离间的距离; ;（2 2）b b、d d间的距离间的距离; ;（3 3）电车从电车从a a站到站到b b站所需的时间。站所需的时间。 2022-1-1723略解略解: (1)设a到c的时间为t1则1.2t=24, t1=20(s),则ac 20020022406021)(|.mttdt(2)设d到b的时间为t2则24-1.2t2=0, t2=20(s),则db 2002002240602124)(|.mtdtt）（3）cd=7200-2 240=6720(m),

14、则从c到d的时间为280(s),则所求时间为20+280+20=320（s） 说明：作变速直线运动的物体所经过的路程说明：作变速直线运动的物体所经过的路程s,等于其速度函数等于其速度函数v=v(t)(v(t)0)在时间区间在时间区间a,b上的上的定积分定积分,即即 badttvs)( 2022-1-1724(2)变力沿直线所做的功变力沿直线所做的功 例例4：如果：如果1n能拉长弹簧能拉长弹簧1cm,为了将弹簧为了将弹簧拉长拉长6cm,需做功（需做功（ ）a. 0.18j b. 0.26j c. 0.12j d. 0.28j所以做功就是求定积分所以做功就是求定积分0 060100 xdx0 18

15、.kxf 则由题可得则由题可得k100。 略解：略解：设a 说明：物体在变力说明：物体在变力f(x)的作用下做直线运动，并的作用下做直线运动，并且物体沿着与且物体沿着与f(x)相同的方向从相同的方向从x=a点移动到点移动到x= b点，点，则变力则变力f(x) 所做的功为所做的功为: badxxfw)( 2022-1-1725例例2:求由曲线求由曲线142 xxy,所围成的图形绕所围成的图形绕x轴旋转所得旋转体的体积。轴旋转所得旋转体的体积。 例题研究例题研究 (三三)利用定积分求曲边旋转体的体积利用定积分求曲边旋转体的体积 2410 dxxvxyox=1xy42 分析：分析：（1）分割）分割; (2)以直代曲；以直代曲；（3）求和；）求和； (4)逼近。逼近。2022-1-1726变式引申变式引申:某电厂冷却塔外形如图所示某电厂冷却塔外形如图所示,双曲线的一部分绕双曲线的一部分绕其中轴其中轴(双曲线的虚轴双曲线的虚轴)旋转所成的曲面，