机械最优化设计及其应用实例

1、机械最优化设计与其应用徐华伟（三峡大学机械与材料学院 2009106130 ）摘要 ： 机械优化设计是将数学规划理论、计算机技术、 最优化原理与方法和机械 设计相结合的一项新的科学技术。它是一门综合性的学科，具有丰厚的理论和应 用价值， 是解决复杂设计问题的一种有效工具。 它是以最优化理论和方法为基础， 以计算机为运算工具从众多的设计方案中寻找出最优的机械设计参数的一种现代 设计方法。因此，优化设计可以形象的表示为： 专业理论+数学规划 +计算机技术。 优化设计其内容包括：最优化问题基础知识、一维探索、无约束最优化问题的求 解方法、约束最优化问题的求解方法、多目标函数的优化设计方法、遗传算法简

2、 介、最优化方法在压力加工、机构设计、拟合公式中的应用等。其在工程设计中 的应用如：具有独立悬挂汽车的双桥转向机构的最优化设计、内燃机连杆结构的 最优化设计、凸轮机构的最优化设计、汽车变速器的最优化设计、弹簧的最优化 设计、制动器的最优化设计、离合器盖结构形状的最优化设计等等。关键词 ： 设计 机械 最优化 目标函数 变量 约束常规的设计方法进行工程设计，特别是当影响设计的因素很多时，只能得到有 限候选方案中的最好方案， 而不可能得到众多可能方案中的 “最优设计方案” 。优 秀的工程设计人员总是准备好几种候选设计方案， 再从中择其“最优” ，如此这样 才会让所设计的项目达到更精。然而，由于设计

3、时间和经费的制约，所设计的候 选方案的数目会受到很大限制。 “最优化设计” 是在现代计算机广泛应用的基础上 发展起来的一项新技术。是根据最优化原理和方法综合各方面的因素，以人机配合方式或“自动探索”方式在计算机上进行的半自动或自动设计以选出在现有工程条件下的最佳设计方案的一种现代设计方法。其设计原则是最优设计，设计手 段是电子计算机与计算程序，设计方法是采用最优化数学方法。实践证明，最优 化设计是保证产品具有优良的性能，减轻自重或体积，降低工程造价的一种有效 设计方法。同时也可使设计者从大量繁琐和重复的计算工作中解脱出来使之有更 多的精力从事创造性的设计并大大提高设计效率。在数学规划方法的基础

4、上发展 起来的最优化设计是 60 年代初电子计算机引入结构设计领域后逐步形成的一种 有效的设计方法。 利用这种方法， 不仅使设计周期大大缩短， 计算精度显著提高， 而且可以解决传统设计方法所不能解决的比较复杂的最优化设计问题。现代设计都是面向市场，实现功能与产品优势的设计、创新设计、绿色设计、 优化设计、可靠性设计等现代设计方法备受国内外机械设计领域的关注，而机械 的优化设计与机构设计、机械传动设计和机械强度设计共同组成了机械设计的内 涵。机械优化设计是建立在近代应用数学、物理学、应用化学、应用力学和材料 学和计算机程序设计之上的，是解决复杂设计问题的一种有效工具，机械优化设 计是把机械设计与

5、优化理论与方法密切结合起来去处理机械设计问题，工程实用 价值大，机械优化设计的研究和应用工作更为活跃，应用领域更加的广泛，涉与 到航空航天、工程机械、通用机械与机床、水利、桥梁、船舶、汽车、铁路运输 行业、通讯行业、轻工纺织、能源工业、军事工业、建筑机械、石油与石化行业、 食品机械等诸多方面，主要处理那些具有复杂结构系统的设计，如飞机机身、飞 机结构整体、火箭发动机壳体、航空发动机轮盘、潜艇结构、潜艇外部液压舱、 机器人等，或大规模的工程建设，如建筑、桥梁、石油钻井井架、大型水轮机结 构等，或产量大的汽车车架、悬挂、车身、箱形梁结构、起重机、装载机、平面或空间桁架结构、各类减速器、制动器、圆锥

6、、圆柱齿轮、连杆机构、凸轮机构 各类弹簧 / 轴承等。一般说来对于工程设计问题所涉与的因素愈多，问题愈复杂， 最优化设计结果所取得的效益就愈大。最优化设计反映出人们对于设计规律这一 客观世界认识的深化。设计上的“最优值”是指在一定条件各种设计因素影响下 所能得到的最佳设计值。 最优值是一个相对的概念， 它不同于数学上的极值 但在 很多情况下可以用最大值或最小值来表示。“最优化”是每一个设计者所追求的目标。任何一项设计都需要根据设计要求 合理选择设计方案来确定各种参数，以达到最佳的的设计目标，如质量、材料、 结构、性能、成本等各个方面的优化。对于设计人员来说，他们总愿意用最优化 的设计方案，使所

7、设计的产品或工程设施具有最好的使用性能和最低的材料消耗 与制造成本，以便获得最佳的经济效益和社会效益。机械设计是机械工程的重要 组成部分，是决定机械性能最主要的因素。一项机械产品的设计，通常要经过调查分析、方案拟定、技术设计、零件工作 图绘制等环节。 传统设计方法通常在调查分析的基础上， 参照同类产品通过估算、 经验类比或实验来确定初始设计方案。然后，根据初始设计方案的设计参数进行 强、刚度、稳定性等性能分析计算，检查各性能是否满足设计指标要求。如果不 完全满足性能指标的要求，设计人员将凭经验或直观判断对参数进行修改。这样 反复进行分析计算性能检验参数修改， 直到性能完全满足设计指标的要 求为

8、止。整个传统设计过程就是人工试凑和定性分析比较的过程，主要的工作是 性能的重复分析，至于每次参数的修改，仅仅凭借经验或直观判断，并不是根据 某种理论精确计算出来的。机械优化设计基本思路是在保证基本机械性能的基础上，借助计算机，应用一些精度较高的力学、数学规划方法进行分析计算，让某项机械设计在规定的各种 设计限制条件下，优选设计参数，使某项或几项设计指标（外观、形状、结构、重量、成本、承载能力、动力特性等）获得最优值。机械优化设计的过程：分析设计变量，提出目标函数，确定约束条件，建立优化设计的数学模型；选择适当 的优化方法，编写优化程序；准备必须的初始数据并上机计算，对计算机求得的 结果进行必要

9、的分析。随着现代数学规划理论的不断发展和工作站计算能力的不断挖掘，机械优化设 计方法和手段都有非常大的突破且优化设计思路不断的开阔，仿生学理论、基因 遗传学理论和人工智能优化等现代设计理论的引入，都大大促进优化设计方法的 更新和完善。优化设计工作中，针对具体设计问题是否选择了合适的优化方法， 相应的计算程序是否有效，数学模型构造是否合理，能否充分反映实际问题且尽 量简化，这些都直接关系到优化设计进程和机械设计结果。最优化设计工作包括两部分内容： 一是将设计问题的物理模型转变为数学模型， 简历数学模型时要选取设计变量，列出目标函数，给出约束条件。二是采用适当 的最优化方法， 求解数学模型， 在约

10、束条件下求解目标函数的极值或最优值问题。一、最优化设计分析1 、机械优化设计的过程设计变量选择，在充分了解设计要求的基础上，根据各设计参数对目标函数的 影响程度分析其主次，尽量减少设计变量的数目，以简化优化设计问题注意各设 计变量应相互独立，避免耦合情况的发生。目标函数与约束的确定，目前尚无一 套完整的评价方法来检验哪些约束是必须，哪些约束是可忽略的，通常是凭经验 取舍，不可避免会带来模型和现实系统的不相吻合。数学模型确立，数学模型越 精确，设计变量越多，维数越大，建模越复杂，优化进程越慢；但数学模型忽略 过多元素，则难以确切凸现结构的特殊之处。所以，要结合工程实际和优化设计 经验，把握与研究

11、目标相关程度大的因素， 尽可能的建立确切、 简洁的数学模型。 数学模型的尺度变换， 因各设计变量、 各目标函数、 各约束函数表达意义的不同， 将可能使得各自在量级上相差很大，从而导致在给定的搜索方向上各自的灵敏度 差距也很大。为消除这种差别，可以对其进行目标函数尺度变换，使它成为无量 纲或规格化的设计变量，设计变量尺度变换和约束函数的规格化，以提高优化进 程，提高结果进度，加快收敛速度。优化程序中易忽略的问题，注意检验变量是 否在函数定义域内，防止无效变量生成而导致优化计算失败；注意函数表达式中 分母出现非常小或等于 0 情况的处理， 避免数值溢出； 用函数值的数值差分计算 梯度，尽量避免函数

12、与导数值之间的不一致性，优化软件的应用。2、最优化设计中目标函数的数学分析 目标函数泰勒表达式的展开，往往将原目标函数在所讨论的点附近展开成泰勒 多项式，用来解答原函数。目标函数的方向导数和梯度，考察函数与自变量的关 系，即函数相对于自变量的变化率， 包括沿某一指定方向的变化率和最大变化率， 所以就要用到方向导数和梯度。无约束目标函数的极值条件，无约束优化问题一 般归结为求目标函数的极大值极小值问题，一般先求出若干极值点，再通过比较 来确定全局最优点。目标函数凸集与凸函数、凹函数，由函数极值条件所确定极 小点X*，是指函数f(X)在点X*附近的一切X均满足不等式f(X) > f( X*)

13、，由函数 极值条件所确定的极小值只是反映函数在X*附近的局部性质。优化设计问题中目标函数的局部极小点并不一定就是全局极小点，只有在函数具备某种性质时，二 者才能等同。目标函数的约束极值优化问题，约束最优点不仅与目标函数本身的性质有关，而且还与约束函数的性质有关。在存在约束的条件下，为了要满足约 束条件的限制，其最优点不一定是目标函数的自然极值点。最优化设计的数值计 算方法迭代法与其收敛性，在机械优化设计的实际问题中，采用解析法求解 很困难，在实际应用中，则广泛采用数值方法来直接求解。数值方法中常用的是 迭代法，这种方法具有简单的迭代格式，适用于计算机反复运算，通常得到的最 优解是一个可满足精度

14、要求的近似解。3、常用的一维搜索最优化方法 搜索区间的确定，先确定探索区间即最优步长所在的单峰区间，区间内目标函 数应只有一个极小值；再在此区间内求最优步长使目标函数达到最小常用外推法 和进退法。切线法，即牛顿法，用切线代替弧逐渐逼近函数根值的一种方法。法 与黄金分割法，二者都属于应用系列消除原理的直接探索方法。系列消除原理是 在探索区间内，选取计算点计算函数值并进行比较，消除部分区间，以缩短探索 区间。法又称分数法，其特点是在每次确定区间内计算点的位置时，采用数组成 的分数作为区间的缩短系数。黄金分割法它每次缩短的比例是相同的为0.618. 二次插值法与三次插值法，二次插值法又称为近似抛物线

15、法，三次插值法又称为微 分法，都属于利用多项式逼近的近似法即曲线拟合方法。平分法即是取具有极小 点的单峰函数的探索区间的坐标中点最为计算点， 计算目标函数在该点处的导数， 并利用函数在极小值点处的导数为零而在其左侧为负、右侧为正的原理，来判断 极小点所在的那一半探索区间，消掉另一半区间，逐次迭代，求得极小点的近似 解。格点法又称为全面搜索法，将已确定的搜索区间均分为几个区间，计算目标 函数在等分点处的函数值，作出比较，求得目标函数的近似极小值。4 、无约束多维问题的最优化方法坐标轮换法通过每次仅对多元函数的一个变量沿其坐标轴进行一维搜索，并依 次轮换进行一维探索的坐标轴，直到找到目标函数在全域

16、上的最小点为止。最速 下降法就是采用使目标函数值下降得最快的负梯度方向作为探索方向，来求目标 函数的极小值。牛顿法就是一种收敛速度很快的方法，其基本思路是利用二次曲 线来逐点近似原目标函数，以二次曲线的极小点来近似原目标的极小点并逐渐逼 近该点。共轭梯度法是逐次利用一维探索所得极小点处的最速下降方向生成共轭 方向。共轭方向法与其改进法，不需要对函数作求导计算，只计算它的函数 值即可直接求出用于搜索的共轭方向。变尺度法是公认的求解无约束极值问题最 有效的算法之一。单纯形法只需要计算目标函数值，无需求其导数，因此计算比 较简单，其几何概念也比较清晰。这类方法适用于不知道目标函数的的数学表达 式而仅

17、知道其具体算法的情况，这也是直接法的一个优点。直接搜索法，它与法 都属于模式探索方法， 前者的程序简单， 当变量数较少时比较有效， 适应性较强。 但是在每轮探索中包括了依次沿坐标轴的移步，其收敛速度虽比坐标轮换法有所 改善，但仍然较慢。同样不适作“模式性移动” 。法又称转轴法能将坐标系转动一 个角度再进行探索，比坐标轮法显然提高了效率和解题能力。同样不适用于高维 数的问题。集中了最速下降法与牛顿法的优点，算法简单，在远离极小点时具有 最速下降法的优点，在接近极小点处又有牛顿法的长处。机械优化设计的过程。 最小二乘法，常用于求函数平方和的极小值问题，且不必计算二阶偏导数矩阵， 为线性收敛速度。5

18、、约束多维问题的最优化方法（ 1）约束最优化问题的直接解法 随机试验法，用于求解约束非线性最优化设计问题，属于直接解法。其基本思想就是利用计算机产生的伪随机数。随机方向探索法和随机梯度法、法等都属于 约束随机法。这类方法一般都包括随机选择初始点，随机选择探索方向和随机选取探索步长等几个步骤。复合形法是求解约束非线性最优化问题的一种重要的直 接方法，在求解无约束问题的单纯形法中，不需计算目标函数的梯度，而是靠选 取单纯形的顶点并比较各顶点处目标函数值的大小， 来寻找下一步的探索方向的。可行方向法是用梯度去求解约束非线性最优化问题的一种有代表性的直接探索方 法，也是求解大型约束优化设计问题的主要方

19、法之一。 在约束最优化 问题的直接 解法中还有一种称为可变容差法。它是从单纯形法发展而来的，所以有时亦称为 有约束的单纯形法。其基本思想是把多个约束条件的最优化问题化简为一个单约 束问题来求解。将线性规划的单纯形法推广应用到求解约束条件为线性的非线性 目标函数的最优化问题，从而提出了所谓简约梯度法或简化梯度法。线性逼近法 实际工程的优化设计大多属非线性规划问题，用一个或一系列线性问题来逼近非 线性问题，是数学上求解非线性问题的一种基本方法。线性逼近法就是按照这一 思路去求解非线性规划问题的。（ 2）等式约束最优化问题的间接解法 等式约束下的消元法，是将等式约束最优化问题转变为无约束最优化问题的

20、一 种最简单、最普通的方法。它由于引进了一个待定系数乘子，构成一个新的 无约束条件的目标函数，而使数学变换过程简化。新目标函数的无约束最优解， 就是原目标函数的约束最优解。 惩罚函数法在等式约束最优化问题的间接解法中， 还有一种用待定乘子将约束最优化问题转换为无约束最优化问题，然后求最优解 的近似但很有效的方法，即所谓惩罚函数法 。增广 乘子法，在收敛速度和数 值稳定性方面均优于惩罚函数法的有效方法。（ 3） 不等式约束最优化问题的间接解法 拉格朗日乘子法既可用于解等式约束的最优化问题， 又可用于解不等式约束的 最优 化问题。对于不等式约束条件，可引入松驰变量，使不等式变为等式。惩罚 函数法亦

21、常用于解带有不等式约束的最优化问题，并属于不等式约束最优化问题 的间接解法。与惩罚函数外点法类似， 对初始点无特别要求， 初始点也可以是非 可 行点。可通过更迭拉格朗日乘子的值来实现加速迭代。6 、多目标函数的最优化方法多目标函数的最优化问题要比单目标函数的最优化问题复杂得多，求解难度也 较大。下面有几种多目标函数的最优化方法如：统一目标法把多目标函数的最优 化问题转变为单目标函数的最优化问题来求解。 主要目标法是以此思想作为指导， 首先将多目标函数最优化问题中的全部 目标函数， 按其重要程度排列， 最重要的 排在最前面，然后依次求各个 （单） 目标函数的约束最优值。协调曲线法在整个设 计空间

22、中，根据各个目标函数的等值线、约束面在设计空间的协调关系，来寻求 多目标函数最优化设计的最优方案。设计分析法先求出每一个（单 ）目标函数的约束最优解，再相互制约地对设计进行分析、协调、修改，把各个设计目标调整到 要求值上，并得到最理想的协调关系。如何利用这些理论和方法去解决一些典型的机械零件与机构的设计问题。在实 际的机械最优化设计中，每一个具体问题虽然都有其特殊性或个性，需要专门地 对待，但也有它们的一般性或共性。第一、建立正确的数学模型，乃是解决最优 化设计问题的关键。 第二、 所建立的数 学模型要容易计算和处理。 设计变量是能 影响设计质量或结果的可变参数。对影响设计指标的所有参数进行分

23、析、比较， 从中选择对设计质量确有显著影响且能直接控制的独立参数作为设计变量，其它参数则作常量处理。目标函数是以设计变量来表示设计所要追求的某种性能指标 的解析表达式。通常以其中最重要的指标作为设计追求的目标，建立目标函数设计约束是对设计变量取值范围的限制条件。常见显约束与隐约束，边界约束与性 态约束，等式约束与不等式约束等。尺度变换，是一种改善数学模型性态的技巧，包括设计变量的尺度变换，目标 函数的尺度变换和约束条件的尺度变换。在机械最优化设计中，当需要引用图表 给出的数据时，应根据计算程序的要求，编制、查找和检取这些数据的子程序。 在选择最优化方法时，应明确数学模型和它本身与其计算程序的特

24、点。计算后必 须对计算机输出的计算结果进行仔细的分析、比较，检查其合理性。灵敏度即研 究起作用约束的某些变化对最优解 （包括设计变量与目标函数 ）的影响，或确定最 优值随约束函数中常数项的某些变动而变动的变化率。二、 最优化设计应用实例1 、具有独立悬挂汽车的双桥转向机构的最优化设计以某8 X8越野汽车的双桥转向机构为例， 该车悬挂装置均采用双摆臂独立悬挂， 弹性元件采用上摆臂扭杆弹簧， 转向机构采用双前桥转向型式。 由于机构较复杂， 参数也很多。应用机械最优化设计方法，并以电子计算机作为计算手段，则可得 到快速而准确的结果。由于各轮均采用独立悬挂，随着载荷的变化，车轮相对于车体的位置将发生变

25、 化，这 就导致转向机构中某些铰接点的变化， 而影响各轮的转角关系。 因此在本 项最优化设计研究中，是以刚体空间运动学基本计算方程为基础，考虑了悬挂上 摆臂的摆动角； 在建立最优化设计的数学模型中， 考虑了空载和满载这两种情况， 以保证转角关系在全工况范围内都能较接近理想转角关系。另外，考虑到该型车辆的转弯速度较低， 故这里忽略了轮 胎侧偏弹性的影响， 视轮胎为刚体； 也忽略 了转向时车厢的侧倾。当第一桥内轮的理论转角与实际转角相等时，其它各轮实际转角与理论转角的 相对误差之和就定义为转角误差。可以转角误差最小为最优化设计追求的目标。 由于各轮均采用独立悬挂，而各悬挂的摆动将影响各转向轮的转角

26、关系。因此， 对具有独立悬挂汽车的双桥转向机构来说，以空载、满载两种载荷工况下的转角 误差之和为最小建立目标函数是适宜的。2 、内燃机连杆结构的最优化设计采用常规设计难于使连杆达到既轻又可靠的要求，而选用最优化方法并结合采 用有限元法数值计算技术对连杆结构进行分析， 则可圆满 完成这一任务， 并得出 连杆最优化设计后的结构形状。在连杆结构的最优化设计计算中，向最优方案每 探索一步，都要对连杆结构进行有限元分析，其目的是为最优化设计提供应力、 变形与疲劳安全系数等的约束信息。用有限元法对连杆结构在整个 720 °循环中 进行动态分析，当然会得到非常理想的结果，但将使计算过于复杂，而机时

27、也大 大增加。因此，在最优化过程中可配合用计算较简便、结果也较准确且花费机时 较少的最大拉、压工况下的有限元静力分析，而后对连杆上应力、变形最大与疲 劳安全系数最小的特征部位的计算结果进行动态修正。修正值可通过对连杆最优 化设计初始方案的动态分析或对已有连杆的动应力电测得到。在连杆的最优化设计中，为了能求得一组最佳设计参数，以获得能满足强度、 刚度与 各种设计要求的最轻连杆， 在建立数学模型时， 可选用能描述连杆结构形 状和尺寸大小的参数作为设计变量；以连杆的质量或连杆上各点处疲劳安全系数 的最小值的倒数作为 目标函数； 以对应力、 变形、 最小疲劳安全系数与结构尺寸的限制建立约束条件。由于目

28、标函数和约束条件的有关数值要通过对连杆结构的 有限元分析得到，因此，其目标函数和约束条件一般都是隐式的。在选择设计变 量时，既要使设计变量能尽量准确地描述连杆的结构形状，又要使设计变量的数 目尽可能少，以节省计算时间。3 、凸轮机构的最优化设计凸轮机构是机械中一种常用的基本机构，其结构简单、紧凑，而且只要能设计 出适当的凸轮轮廓曲线，就可使从动件的位移、速度或加速度以给定的运动规律 变化。但由于凸轮和从动件是一摩擦副，在传动过程中作往复运动的从动件的惯 性力又会引起冲击、振动和噪音，因此减小磨损、冲击、振动和噪音，就成为凸 轮设计的另一项重要任务。凸轮机构的型式很多，设计要求也往往有所不同，现

29、仅 以内燃机配气机构的 凸轮为例，来介绍凸轮机构的最优化设计方法。要设计出性能 良好的凸轮机构， 关键在于根据工作要求，选择好从动件的运动规律，并设计出能满足这一运动规 律的凸轮轮廓曲线。对内燃机配气机构的凸轮来说，其轮廓曲线设计的主要要求 是：气门升程曲线具有最大的丰满系数， 以得到最高的进、 排气效率， 而气 门开、 关过程中的最大正、负加速度应低于其许用值，以减小冲击、振动和噪音；凸轮 轮廓的最小曲率半径应大于其许用值， 以避免由于接触应力过高造成摩擦副的早 期磨损。 内燃机配气机构的凸轮轮廓曲线， 过去多采用 由几段圆弧或圆弧与直线 构成的所谓几何凸轮。这种凸轮虽然可以具有较大的丰满系

30、数，但气门加速度曲 线是突变的，导致配气机构的冲击、振动和噪音大，磨损快。为了得到缓和的加 速度， 以改进配气机构的动力学性能， 可采用函数凸轮， 例如高次多项式凸轮等。 但当采用一般的设计方法时， 函数凸轮的丰满系数往往较小。 而采用最优化设计，并将丰满系数 Z作为目标函数，则可得到理想的结果4 、汽车变速器的最优化设计减小体积和质量，提高传扭能力，是当前汽车变速器强化设计的主要目的，是 设计师们追求的目标。因为减小变速器的体积和质量可减少制造费用、降低轮齿 动载荷、提高齿轮寿命、使汽车的总体布置更为方便和灵活。因此，汽车变速器 的最优化设计，常常在保证零件的强度、刚度、使用寿命等条件下，以使变速器 齿轮与轴系的质量最小作为追求的目标，建立目标函数。5 、弹簧的最优化设计弹簧的用途极广，结构类型繁多。作为一种具有弹力的机械元件，广泛用于各 种机械装置与机构中。例如，汽车悬架是用螺旋弹簧、扭杆弹簧或叶片钢板弹簧 来支承汽车的车架或车厢，作缓冲、减振之用；汽车离合器是用螺旋弹簧或膜片 弹簧、内燃机气门是用螺旋弹簧来控制运动的；钟表是用盘簧来储蓄能量的；弹 簧秤是用螺旋拉伸弹簧来测量载荷的。6、制动器的最优化设计鼓式制动器的最优化设计，这里介绍卡钳型盘式制动器的最优化设计方法。盘 式制动器首先出现在欧洲的竞赛车和小轿车上。由于它具有热稳定性好、无机械 衰