绝对值的三角不等式典型例题

1、绝对值三角不等式教学目标：1.理解绝对值的定义，理解不等式基本性质的推导过程；2.掌握定理1的两种证明思路及其几何意义；3. 理解绝对值三角不等式；4. 会用绝对值不等式解决一些简单问题。教学重点：定理1的证明及几何意义。教学难点：换元思想的渗透。教学过程：一、引入：证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：(1) a b a b(2) a b a b(3) |a b |a b(4) -a |(b 0)请同学们思考一下，是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理？实际上，性质aba b和"-a (b 0)可

2、以从正负数和零的乘法、除法 |b| b法则直接推出；而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。因此，只要能够证明a b a b对于任意实数都成立即可。我们将在下面的例题中研究它的证明。现在请同学们讨论一个问题：设a为实数，a和a哪个大？显然a a ,当且仅当a 0时等号成立(即在a 0时，等号成立。在a 0时，等号不成立)。同样，aa.当且仅当a 0时，等号成立。含有绝对值的不等式的证明中，常常利用|a a、|aa及绝对值的和的性质。、典型例题：例 1、证明(1) a b a b ,(2) a b a b证明(1)如果a b 0,那么aba b,所以a b a b a b.如 果 a b 0,

3、那 么 a b (a b), 所 以a b a ( b) (a b) a b(2)根据(1)的结果，有a b b abb,就是，abb a。所以，a b a b。例2、证明 a b a b a b。例3、证明 a b a c b c。思考：如何利用数轴给出例3的几何解释？(设A, B, C为数轴上的3个点，分别表示数a, b, c,则线段AB AC CB.当且仅当C在A, B之间时，等号成立。这就是上面的例3。特别的，取c=0(即C为原点)，就得到例2的后半部分。)探究：试利用绝对值的几何意义，给出不等式|a b |a b的几何解释？定理1 如果a,b R,那么a b a b.r r在上面不等

4、式中，用向量a,b分别替换实数a,b, r r则当a,b不共线时，由向量加法三角形法则： r r r r向量a,b ,a b构成三角形，因此有I a+b | < | a | + | b |其几何意义是什么？含有绝对值的不等式常常相加减，得到较为复杂的不等式，这就需要利用例1,例2和例3的结果来证明。例 4、已知 xa c, yb c,求证(x y)(a b) c.证明(x y)(a b) (x a) (y b)x ay b (1)c2,y(2)由(1), (2)得：(x y) (a b) c例5、已知x a, y a.求证：2x 3y a证明 x -,y . 2x -,3y a 4622

5、由例1及上式，2x 3y 2x 3y a注意：在推理比较简单时，我们常常将几个不等式连在一起写。但这种写法，只能用于不等号方向相同的不等式。四、巩固性练习：一，c1、已知 A a -, B b 22、已知 x a c, y b 4作业：习题2、3、5c万.求证：(A B) (a b) c oc .一一g.求证：2x 3y 2a 3b c。绝对值三角不等式学案预习目标：1.理解绝对值的定义，理解不等式基本性质的推导过程;2. 了解定理1的两种证明思路及其几何意义；3. 理解绝对值三角不等式。预习内容：1 .绝对值的定义：a R, 1al | a |2 .绝对值的几何意义：1 0.实数a的绝对值|

6、 a |,表示数轴上坐标为a的点A20. 两个实数a,b,它们在数轴上对应的点分别为A,B,那么|a b |的几何意义是3 .定理1的内容是什么？其证法有几种？r r4 .若实数a,b分别换成向量a,b定理1还成立吗？5、定理2是怎么利用定理1证明的？探究学习：1、绝对值的定义的应用例1设函数f(x) x 1 x 4 .1解不等式f(x) 2； 2求函数y f(x)的最值.2.绝对值三角不等式：探究|a|, |b|, |a b|之间的关系.a b 0时，如下图，容易得：|a b| |a| |b|.a b 0时，如图，容易得：|a b| |a| |b|.a b 0 时，显然有：|a b|a| |

7、b|.综上，得定理1如果a,b R,那么|a b| |a| |b|.当且仅当 时，等号成r r在上面不等式中，用向量a,b分别替换实数a,b,r r,八,则当a,b不共线时，由向量加法三角形法则：r r r r向重a,b,a b构成二角形，因此有1a b|1a| |b|它的几何意义就是：定理1的证明：定理2如果a,b,c R,那么1a c| |a b| |b c|.当且仅当 时，等号成3、定理应用例 2 (1) a,b R证明 a b a |b ,一cc 、.(2)已知 xa12Tb 2,求证(x y) (a b) c.课后练习：1 .当a、b R时，不等式a b a| |b1成立的充要条件是

8、A. ab 0B . a2b20C . ab 0 D . ab 02 .对任意实数x, |x1| |x 2| a恒成立，则a的取值范围是3 .对任意实数x , |x1| |x 3| a恒成立，则a的取值范围是4 .若关于x的不等式|x 4| |x 3| a的解集不是空集，则a的取值范围是5 .方程|六2x| 九 的解集为不等式|七1 七的解集是x °x x 3x6 .已知方程|2x 11 |2x 1| a 1有实数解，则a的取值范围为。7 .画出不等式|x y 1的图形，并指出其解的范围。利用不等式的图形解不等式1 、卜 1 x 1 1；2、x 2y 1.8.解不等式：1 、|2xF

9、l 1;x 2 x 1 3 0.9. 1、已知x4，y求证：2x3y、已知c.求证: 62x3y 2a 3b c。s3,!，C c(AB C) (ac)10.1、已知痴.求证： xy a.2、已知 x ch, y c 0.求证：h.课后练习1 . B.2、a<33、a>44、a>75、-3<x<=-2 或 x>=0 x<0 或 x>26、-3<=a<-17、先考虑不等式在平面直角坐标系内第一象限的情况。在第一象限内不等式等价于:x 0, y 0, x y 1.其图形是由第一象限中直线 y 1 x下方的点所组成。同样可画出二、三、四象限的情况。从而得到不等式 x y1的图形是以原点。为中心，四个等点分别在坐标轴上的正方形。不等式解的范围一目 了然。探究：利用不等式的图形解不等式1.1. |x 1 x 11; 2. |x 2 y答案：