数的概念的发展_1

1、数的概念的发展教学目标（1）了解数的概念发展的过程和动力；（2） 了解引进虚数单位i的必要性和作用；理解i的性质.（3）正确对复数进行分类，掌握数集之间的从属关系；（4） 了解数系从自然数到有理数到实数再到复数扩充的基本思想.教学建议1.教材分析（1）知识结构 首先简明扼要地对已经学过的 数集因生产与科学发展的需要而逐步扩充的过程作了概括；然后说明,数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了原有数集中某种 运算不是永远可以实施的矛盾，使得某些代数方程在新的数集中能够 有解。从而引出虚数单位i及其性质，接着，将数的范围扩充到复数， 并指出复数后来由于在科学技术中得到应用而进一步发展。从实际生

2、产需要推进数的发展自然数 整数 有理数 无理数从解方程的需要推进数的发展负数 分数 无理数 虚数（2）重点、难点分析（一）认识的动力 从正整数扩充到整数，从整数扩充 到有理数，从有理数扩充到实数，数的概念是不断发展的，其发展的 动力来自两个方面。解决实际问题的需要 由于计数的需要产生了i来源网络整理，仅供供参考自然数；为了表示具有相反意义的量的需要产生了整数；由于测量的需要产生了有理数；由于表示量与量的比值（如正方形对角线的长度 与边长的比值）的需要产生了无理数（既无限不循环小数）。解方 程的需要。为了使方程 有解，就引进了负数；为了使方程 有解， 就要引进分数；为了使方程 有解，就要引进无理

3、数。 引进无理数 后，我们已经能使方程 永远有解，但是，这并没有彻底解决问题， 当 时，方程 在实数范围内无解。为了使方程（）有解，就必须把实数概念进一步扩大，这就必须引进新的数。（二）注意数的概念在扩大时要遵循的原则 第一，要能解决实际问题中或数学内部 的矛盾。现在要解决的就是在实数集中，方程无解这一矛盾。 第二，要尽量地保留原有数集（现在是实数集）的性质，特别是它的运 算性质。（三）正确确认识数集之间的关系 有理数就是一切形如 的数，其中，所以有理数集实际就是分数集.“循环节不为0的循环小数也都是有理数”.有理数 = 分数 = 循环小数,实数 = 小数.自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实

4、数集 R、复数集C之间有如下的包含关系： 2.教法建议 （1）注意知识 的连续性：数的发展过程是漫长的，每一次发展都来自于生产、生活 和计算等需要，所以在教学时要注意使学生认识到数的发展的两个动力.(2)创造良好的课堂气氛：由于本节课要了解扩充实数集的必 要性，所以，教师可以多向学生介绍一些数的发展过程中的一些科学 史，课堂学习的气氛可以营造成一种师生共同研究、 共同交流的气氛。 教学目的1.使学生了解数是在人类社会的生产和生活中产生和发展 起来的，了解虚数产生历史过程；2 .理解并掌握虚数单位的定义及性质；3 .掌握复数的定义及复数的分类.教学重点虚数单位的定义、性质及复数的分类.教学难点虚

5、数单位的性质.教学过程一、复习引入原始社会，由于计数的需要产生了自然数的概念，随着文字的产生 和发展，出现了记数的符号，进而建立了自然数的概念。自然数的全 体构成自然数集.为了表示具有相反意义的量引进了正负数以及表示没有的零，这样将数集扩充到有理数集有些量与量之间的比值，如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为解决这种矛盾，人们又引进了无理数, 有理数和无理数合并在一起，构成实数集.数的概念是人类社会的生产和生活中产生和发展起来的，数学理论 的研究和发展也推动着，数已经成为现代社会生活和科学技术时刻离 不开的科学语言和工具.二、新课教学（一）虚数的产生我们知道，在实数范

6、围内，解方程是无能为力的，只有把实数集扩充到复数集才能解决.对于复数 （a、b都是实数）来说，当 时， 就是实数；当 时叫虚数，当 时，叫做纯虚数.可是，历史上引进 虚数，把实数集扩充到复数集可不是件容易的事，那么，历史上是如 何引进虚数的呢？16世纪意大利米兰学者卡当（15011576）在1545年发表的重 要的艺术一书中，公布了三次方程的一般解法，被后人称之为“卡 当公式”.他是第一个把负数的平方根写到公式中的数学家，并且在讨论是否可能把10分成两部分，使它们的乘积等于40时，他把答案写成 ，尽管他认为 和 这两个表示式是没有意义的、想象的、 虚无飘渺的，但他还是把10分成了两部分，并使它

7、们的乘积等于40.给出“虚数”这一名称的是法国数学家笛卡尔(15961650), 他在几何学(1637年发表)中使“虚的数与“实的数”相对 应，从此，虚数才流传开来.数系中发现一颗新星一一虚数，于是引起了数学界的一片困惑，很 多大数学家都不承认虚数.德国数学家菜不尼茨(16641716)在1702年说：“虚数是神灵遁迹的精微而奇异的隐避所，它大概是存在 和虚妄两界中的两栖物”.瑞士数学大师欧拉( 17071783)说：“一 切形如， 习的数学式子都是不可能有的，想象的数，因为它们所 表示的是负数的平方根.对于这类数，我们只能断言，它们既不是什 么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不

8、是少些什么， 它们纯属虚幻.”然而，真理性的东西一定可以经得住时间和空间的 考验，最终占有自己的一席之地.法国数学家达兰贝尔(.17171783) 在1747年指出，如果按照多项式的四则运算规则对虚数进行运算， 那么它的结果总是的形式(a、b都是实数)(说明：现行教科书中没有使用记号而使用 ).法国数学家棣莫佛(16671754)在1730年发现公式了，这就是著名的探莫佛定理.欧拉在1748年发 现了有名的关系式 ，并且是他在微分公式(1777年)一文中第 一次用i来表示-1的平方根，首创了用符号i作为虚数的单位.“虚数” 实际上不是想象出来的，而它是确实存在的.挪威的测量学家未塞尔(1745

9、1818)在1779年试图给于这种虚数以直观的几何解释，并 首先发表其作法，然而没有得到学术界的重视.德国数学家高斯(17771855)在1806年公布了虚数的图象表示 法，即所有实数能用一条数轴表示，同样，虚数也能用一个平面上的 点来表示.在直角坐标系中，横轴上取对应实数 a的点A,纵轴上取 对应实数b的点B,并过这两点引平行于坐标轴的直线，它们的交点 C就表示复数.象这样，由各点都对应复数的平面叫做“复平面”， 后来又称“高斯平面”.高斯在1831年，用实数组(a, b)代表复数， 并建立了复数的某些运算，使得复数的某些运算也象实数一样地 “代 数化”.他又在1832年第一次提出了 “复数

10、”这个名词，还将表示平 面上同一点的两种不同方法一一直角坐标法和极坐标法加以综合.统一于表示同一复数的代数式和三角式两种形式中，并把数轴上的点与实数一一对应，扩展为平面上的点与复数一一对应. 高斯不仅把复数 看作平面上的点，而且还看作是一种向量，并利用复数与向量之间一 一对应的关系，阐述了复数的几何加法与乘法.至此，复数理论才比较完整和系统地建立起来了.经过许多数学家长期不懈的努力，深刻探讨并发展了复数理论，才使得在数学领域游荡了 200 年的幽灵一一虚数揭去了神秘的面纱，显 现出它的本来面目，原来虚数不虚呵.虚数成为了数系大家庭中一员， 从而实数集才扩充到了复数集.随着科学和技术的进步，复数理论已越来越显出它的重要性，它不但对于数学本身的发展有着极其重要的意义， 而且为证明机翼上升力的基本定理起到了重要作用，并在解决堤坝渗水的问题中显示了它的威力，也为建立巨大水电站提供了重要的理论依据.（二/虚数单位1 .规定i叫虚数单位，并规定：（2）实数与它进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立2 .形如（）的数叫复数，常用一个字母z表示，即（）注：（1）（）叫复数的代数形式；（2）以后说复数都有；（3）a叫复数（）的实部记作 ；b叫复数（）