第八章 采样控制系统

1、 第八章 采样控制系统 基本概念重点：采样系统的基本概念难点：离散信号与连续信号的区别连续系统：各变量均为时间t的连续函数。离散系统：系统中某一处或几处的信号是脉冲序列或数字编码。离散信号：仅在离散的瞬时上变化，是时间的离散函数，呈现的是脉冲信号或数码信号。通常把系统中的离散信号是脉冲序列形成的离散系统，称为采样控制系统或脉冲控制系统；而把数字序列形成的离散系统，称为采样控制系统或计算机控制系统。散控制系统分为： 采样控制系统：脉冲序列信号； 数字控制系统：数字序列信号。 一、采样控制系统1定义: 指间断地对系统中某些变量进行测量和控制的系统。2典型结构：y(t)脉 冲控制器e(t)保持器对象

2、H(s)TS e*(t)r (t)Xr (t)根据采样装置在系统中所处的位置不同,可以构成各种采样系统。例如：开环采样系统：采样器位于系统闭和回路之外，或系统本身不存在闭合回路 。闭环采样系统：采样器位于系统闭合回路之内 。常用误差采样控制的闭环采样系统。如图，图中：r(t),e(t),y(t)为输入误差，输出的连续信号，S采样开关或采样器，为实现采样的装置。T采样周期。e(t)是e(t)连续误差信号经过采样开关后，获得的一系列离散的误差信号。e*(t)作为脉冲控制器的输入,经控制器对信号进行处理，在经过保持器（或滤波器）恢复为连续信号。即将脉冲信号e*(t)复现为阶梯信号e(t),当采样频率

3、足够时，e(t)接近于连续信号，从而去控制被控对象，对象输出又反馈到输入端进行调节。（或） 采样保持时间，<<T3几个术语 采样过程：把连续信号转变为脉冲序列的过程称采样过程，简称采样。 采样器：实现采样的装置，或采样开关。 保持器：将采样信号转化为连续信号的装置（或元件）。 信号复现过程：把脉冲序列-连续信号的过程。4 .特点： 采用系统中既有离散信号，又有连续信号。 采样开关接通时刻，系统处于闭环工作状态。而在采样开关断开时刻，系统处于开环工作状态。二数字控制系统1定义：系统中含有数字计算机或数字编码元件的系统，是一种以数字计算机为控制器去控制具有连续工作状态的被控对象的闭环控

4、制系统。 小结：本节主要讨论了采样控制系统和数字控制系统，简单介绍了系统组成。作业：8-1 8-2§8-1、2 采样过程、采样定理及保持器重点：采样定理难点：采样过程、采样定理离散系统的特点：系统中某一处或数处信号是脉冲序列或数字序列。为了把连续序列变换为脉冲信号器，另一方面，为了控制连续式之部件，又需要使用保持器将脉冲信号变换为连续信号。为定量研究离散系统，必须对信号的采样过程和保持过程用数学方法加以描述。一、采样过程设采样的器每隔T秒闭合一次（接通一次）。接通时间为采样器可用一个周期性闭合的采样开关S表示 f(t)输入连续信号 f*(t)为定宽度等于的）时出现由于采样器（采样开关

5、闭合时间很小）。<<T，分析认为=0采样器的输出f*(t)等于输入于采样器 的连续信号在采样时刻的数值。采样过程可以看成是一个幅值的过程。理想采样器好象是一个滤波为T（t）的幅值调制器，f*(t)可以认为是输入连续信号f(t)调制在找到T（t）上的结果。理想脉冲序列=+ + + = （t-nT）f*(t) =f(t) T（t）= f(t) （t-nT）=f(t) （t-nT）= f(nT) （t-nT） 2.物理意义：采样过程是单位理想脉冲序列T（t）被输入信号f(t)进行幅值调节的过程3.数学描述：对f*(t)取拉氏变换 F* (S)=Lf* (t)=Lf(nt) （t-nT）根

6、据拉氏变换，位移定理 L （t-nT）=e-nTS0(t) e-Stdt= e-nTS故 F* (S)= f(nT) e-nTS4.几点说明（1）f* (t)只描述了f(t)在采样瞬时的数值，故F* (s)不能给出连续函数f(t)在采样间隔之间的信息（2）采样拉氏变换F* (s)与连续信号f(t)的拉氏变换F（s）类似如f(t)有理函数，F*（S）也总可以表示成eTS的有理函数形式（3）求F*（S）过程中，初始值常规定采用f(0+)。 5.举例：设e(t)=f(t) 试求e* (t)的拉氏变换解: E*(S)= e(nt) e-nTS=1+ e-TS+ e-2TS+ = L(nt) e-nTS

7、为无穷等比级数，公比为e-TS 求和后得闭合形式 *（S）=（|<1） 显然，E*(S)是eTS的有理函数二、采样定理怎样才能使采样信号f*(t)大体上正反映连续信号f(t)的变化规律呢？采样函数 f* (t)=f(t) （t-nT）=f(t) T（t）T（t）理想单位脉冲序列是一个周期函数，可以展开为傅立叶级数T（t）=Cejn t故C = 则T（t）=ejntf*(t)= ejnt取拉氏变换 复数位移定理 F*（S）=如果没有右半平面的极点，则可令 得 时， 称为主分量。（主频谱）只有一个在和频率之间孤立的频谱。T较小，>2 采样后采样后频谱相交，不重叠f*(t)WsWmaxw

8、|F*(jw)|00t 较大，Wsw|F*(jw)|00f*(t)t结论 如果，离散的频谱彼此之间不会重叠，只要用一个理想的滤波器，将高于的所有边带（外）频谱全部滤掉，剩下的只有主分量，这就能复现连续函数的原貌，但必须使幅值提高，才能真正复现原函数。2.香农采样定理1）定理：对于一个有限频谱（<w<）的连续信号进行采样，当采样频率时，采样信号能无失真的复现原来的连续信号。采样周期T满足 三、信号保持要复现原信号必须把采样信号的高频分量滤掉，一般采用保持器。0Ws/2-Ws/2w|F (jw)|1.保持器保持器是一种延迟滤波器，他把采样时刻的信号不便的保持到下一采样时刻，或是将信号接

9、线形函数。抛物线函数或其他时间函数关系推迟到下一采样时刻。根据所得特性不同，分为零阶保持，一阶保持，高阶保持。保持器是具有外推功能的文件，即现在时刻的输出信号取决于过去时刻离散信号的外推。实现外推的方法，常用幂级数开公式 .接第一项组成的装置，为零阶外推器，也称零阶保持器 2.零阶保持器 零阶保持器是一种按常值外推的保持器，它把前一采样时刻的采样值一直保持到下一采样时刻到来之前，从而使采样信号变成阶梯信号。 fh(t)f(t)连续信号如果阶梯信号的中点连续起来，可得到与连续信号形状一致，但在时间上落后的响应零阶保持器的脉冲响应函数 或、 1 0<t<T 0 tT传递函数由线性叠加性

10、：由拉氏变换：频率特性 G（jw）=利用欧拉公式e=cos-jsine=cos+jsinsin=(e-e) cos=(e+e)G(jw)=e=T小结：本节主要介绍了采样过程及信号保持，重点内容为采样定理，介绍了将连续信号离散化的方法。作业：8-4 8-5§8-4 Z变换重点：z变换方法、z变换性质、z反变换、z变换差分方程难点：z变换方法一、定义 Lf(t)=F(s)=f(nt)e它含有e，S的指数函数，使用很不方便,故引入一个新变量.1 定义令 Z= e或 s=lnZ s-laplace算子Z是用复数Z平面定义的一个复变量，T采样周期。F（s）=F(Z)2 说明Z变换是对连续函数采

11、样后的采样函数的拉代变换只在采样点上的信号起作用。F(Z)=Zf*(t)有时简写F(Z)=Zf(t)不同连续信号可能对应相同的Z变换由于Z变换是对连续信号的采样信号进行变换，不同的连续信号，只要它们的采样信号相同，Z变换就相同。 二、Z变换方法 1.级数求和法例，求单位价跃函数1（t）的Z变换. , 2.部分分式法先求出系统连续部分的函数进行展开形式逐项进行Z变换例求原函数三、Z变换性质1.时域性定理2.延迟定理若3.超前定理若 4.复数位移定理 5.初值定理 6.终值定理 7.卷积定理四、Z变换Z反变换是已知Z变换表达式F（Z），求和离散序列f（nT）过程Z-1F（Z）=f*（t）常用Z反变

12、换法1.部分分式法（因式分解法，查表法）步骤：先将变换式写成， 开展成部分分式， =两端乘以Z。F（Z）=查Z变化表。例 已知 F（Z）=，求Z反变换。解。 查表得 f（nT） =1-e-anT 例 已知 F(Z)=。解 ： n=0,1,2查表得 (t) = 2.幂级数法（长除法） 将Z变化式直接用除法求出Z-n接降幂排列的展开式 ，直接写出脉冲序列的前几个值即 F(Z)=C+Z-n 代表时序 f(0) =C, 由Z=eTS 代入上式3.留数法 （反演积分法） 表示函数F(z)=zn-1在极点处的函数留数计算：若为学极点若为n阶重极点例 试用公数法求Z反变换。解： 有Z1=1和Z2=0.5两个

13、极点，极点处的公数故 采样函数 f（t）=2-（0.5）n =+1.5+1.75+1.815+作业：8-1 8-2§8-5 脉冲传递函数重点：脉冲传递函数的求法难点：采样开关对脉冲传递函数的影响一、脉冲传递函数的概念1.定义：线性定常系统，在零初始条件下，系统折出采样信号的Z变换与折入采样信号的Z变换之比。、 三、开环系统脉冲传递函数系统由串联环节组成时，脉冲传递函数与采样开关的位置和数目有关1.串联环节之间有采样开关C1(z)C (z)C (s)C1(s)r*(s)Tr(S)G1(s)TG2(s)TS1R(z)S2G1(z)G2(z)G(Z)= G1(Z)G2(Z) 结论:有采样开

14、关断开的线性环节串联时，系统其脉冲传递函数等于各环节脉冲传递函数的积G(Z)= Gi(Z)2.串联环节间无采样开关TC1(S)C(S)TG1(S)G2(S)R(s)C(Z)_R(Z)G(z) G(s)= G1(s) G2(s)G (Z)= C(Z)/ R(Z)=ZG1(s)G2(s)= G1G2(Z)等于两个连续环节串联之后的Z变换注：G(Z)=ZG1(s)G2(s)=G1G2(z)例：设G(s)=1/s，G(s)=1/(s+1),分别求上述两种连接时的脉冲传递数。解：(1)二环节间有采样器。G(Z)=G1(Z)G2(Z)=Z1/sZ1/(s+1)=(2)无采样的G(z)=ZG1(s)G2(s

15、)=z = z= =结果不同 ，极点不同 ，零点不同。C(t)GP(S)R(s)r(t)R*(T)r*(t)C*(t)3.有零阶保持器。+r*(t) 1eSTr(t)C(t)C*(t) C(s)= - e-STR*(s)C(z)= (1-z-1)Z四、闭环脉冲转递函数C(z)e(t)r(t)G(s)H(s)C(z)C(s)求不出G(z) 但可求C(z)。小结：本节主要讨论了开环及闭环脉冲传递函数的求法，并介绍了采样开关对脉冲传递函数的影响。作业：8-4 8-6§8-6 采样系统的稳定性分析重点：采样系统的动态性能分析、稳态性能分析、极点分布对采样系统稳定性的影响难点：稳态性能分析、极

16、点分布对采样系统稳定性的影响一、稳定性分析1 Z平面与S平面关系幅值=e相角=wT 稳定S平面<0->=e<1临界=0不稳 即Z平面单位圆对应S平面虚轴 单位圆内对应左半S平面 单位圆外对应右半S平面。jSxjyZ2.稳定的充要条件：离散系统特征方程全部特征根均应位于单位圆内，或它的模值均应小于1。 Z=e=e=ee3.稳定判据经变换处理后仍使用劳斯判据，引用W变换，令： Z= 或 w=z和w均为复数。 z=x+jy; w=u+ju;则 <1 <1 w左半平面对应z平面单位圆内部。 <1 <1 w平面虚拟对应z平面单位圆边界。只要在特征方程中，令z=

17、作变量代换后，可直接应用量斯判据。§8-7 采样系统稳态误差分析采样系统中误差信号是指采样时刻的误差，其稳态误差是指系统到达稳定后误差脉冲序列。E(z)=R(z)-C(z) =1-(z)R(z)=若系统稳定,全部极点位于z平面单位图内,则可用z交换终值定理求出采样瞬时终值误差2.采样控制系统无差度阶跃折入 为位置误差系数N=0, 有差N>=1 无差斜坡折入灵 速度误差系数N=0 N=1 N=2 加速度输入N<2 N=2 有差N>=3 无穷误差C(t)r(t)Error! Reference source not found.解：I 型系统G(s)例2：设采样系统如上

18、图 Error! Reference source not found.G(z)=T=0.1(s) 试求r(t)分别为l(t)和t时稳态误差解： G(z)= z=由于闭环极点全部位于z平面单位圆内，系统稳定E(z)=1) r(t)=l(t) R(z)= 由终值定理=e()=e(k)=(z-1)E(z) =(z-1)=02)r(t)=t R(z)= e()=e(k)=(z-1)=T=0.1小结：本节主要讨论的采样系统的稳定性，及其分析方法。作业：8-10 8-11§8-8 过渡过程分析 动态性能分析1采样系统时间响应。（通常在典型输入下，单位阶跃） 例：若采样系统如图。 R(S)T1e

19、TS SK S(S+1)C(S) - r(t)=1(t) , T=1(s) , k=1，试分析系统动态性能。 解：Gk(s)=取Z交换，并由Z交换实数位移定理，可得G(Z)=(1-z-1)Z查z变换表,求出 G(Z)=闭环脉冲传递函数 (z)= 将R(z) =代入上式，得单位阶跃序列相应的z变换。C(z)= (z)R(z)=利用长除法，将C(z)展成无穷幂C(z)=0.368Z-1+Z-2+1.4Z-3+1.4Z-4+1.147Z-5+0.895Z-6+0.802Z-7+0.868 Z-8+根据上述C(nT) (n=0,1,2,.),可以绘出离散系统的单位阶跃响应C*(t),由图求得系统近似定

20、能指标：上升时间Tr=2(s)，峰值时间Tp=4(s)，调节时间、Ts=12(s)，超调量%=40%y(t)1t02T12T10T8T6T4T2.闭环极点（根的位置）与时间响应的关系在连续系统里，如已知函数的极点位置，你可估计出它的对应瞬态形状，离散系统中闭环脉冲传递函数的极点在z平面上单位圆内的分布关系，对系统设计、分析由重要意义。闭环脉冲传递函数(z) ()当r(t)=1(t),离散系统输出的z变换反变换根据Pj在单位圆的位置，可以确定C*(t)的动态响应形式(1)单极点位于Z平面实轴上Pj>1 闭环极点位于Z平面单位圆外的正实轴上，折力脉冲响应单调发散。Pj=1 单位圆上，动态响应

21、为等幅（常值）脉冲序列。0<Pj<1 单位圆正实轴单调递减。-1<Pj<0  单位圆内负实轴，正负交替递减脉冲序列，振荡周期=T，振荡频率d=j/2Pj=-1 正负交替的等幅脉冲序列Pj< -1 正负交替发散脉冲序列××××××RejIm(2) 极点（共轭复数极点）位于Z平面复平面上瞬态响应按振荡规律变化，振荡频率j=，即j与一对共轭根的幅角有关，幅角越大，振荡频率越高；当时，共轭复根为负实轴上的一对极点，此时振荡频率最大，等于，|Pj|>1,振荡发散序列。|Pj|越大，发散越快

22、；|Pj|=1，等幅振荡脉冲序列；|Pj|<1，收敛振荡，|Pj|越小，收敛越快。总之，极点越靠近原点，收敛越快；极点幅角越大，振荡频率越高，极点位置越左，幅角越大。 如果极点在Z平面原点上，即Pj=0，脉冲响应时间最短，（采样系统里，最短的时间间隔为一个采样周期）即Pj=0，它对应的脉冲响应会在一个采样周期内结束。习题课在采样系统中，并不是所有的的单回路闭环采样系统的c(z) 都能计算出来，求C(Z)?例1r(t)R(s)G(s)H(s)C(t)C(s)S 解：C(Z)=例3各系统采用单通同步采样（采样周期T）求C(z)?R(s)C(s)S(a)解G(z)=Z= Z=.C(z)=G(z

23、)R(z)= .R(z)R(z)C(s)H(s)G(s)G(s)E(z)C(z) =例4 T=0.25s ,当r(t)=2.1(t)+t时，欲使稳态误差小于0.1,试求K值 Tr(t)ZCHC(t)解：由图， G(s)= = G(Z)=Z= = R(Z)= Z 系统为I型，故阶跃折入R下的稳态误差e=0，而单位斜坡折入R下的稳态误差e为常值K=(Z-1)G(Z) =KTe= e= e+ e= = = 要求 e<0.1 ,故K>10例5 求稳态误差Error! Reference source not found.设K=10,T=0.2s, r(t)=1(t) +t +t解 ：系统开

24、环脉冲传递函数为G(Z) = Z = = 10 = G(Z)|= K=K=K= =10e()=e=+=0.1§8-9 采样系统的校正    对于如图所示的系统、闭环脉冲传递函数可求得为                             由此，我们可得到 

25、                               在这里数字控制器D(z)的设计，乃是根据特定闭环脉冲传递函数，例如满足无稳态误差最少拍系统，来选择GB(z)，从而可由上式计算数字控制器D(z)。    设计出的数字控制器D(z)，还必须

26、满足物理可实现条件：数字控制器D(z)分子多项式的阶次不得大于分母多项式的阶次；D(z)没有单位圆上（除有一个z=1的极点外）和单位圆外的极点。下面，我们来讨论如何选择GB(z)的问题。设给定系统输入为r(t)= tp                                

27、;         则其z变换表达式为                                   式中r=p+1，且A(z -1)为z -1的多项式，没有z=1

28、的零点。由图可知，系统误差脉冲传递函数为 Ge(z)，它与闭环脉冲传递函数GB(z)存在以下关系。Ge(z)=1- GB(z)                                   于是，系统误差E(z)为E(z)=1- GB(z) R

29、(z)                              根据终值定理，求系统稳态误差                 我们要确定G

30、B(z)，以使系统的稳态误差为零，为此可令1 - GB(z) =(1-z1)r F(z1)                       式中F(z 1)在z=1处无零点所以GB(z)=1-(1-z1)r F(z1)             

31、                                                按式不仅可确保系统稳态误差为零，同

32、时闭环脉冲传递函数所有极点都位于z平面上的原点，也即系统的瞬态响应是最短时间响应系统，在n个采样周期内，可达到稳态，即为最少拍响应系统。1 阶跃输入    此时p=0， r=1为保证系统为无稳态误差的最少拍系统，可令GB(z) = z1                           

33、         则      Ge(z)=1 - GB(z) =1- z1                          于是，可求数字控制器D(z)   

34、;                         按上式选择D(z)，可使系统为无稳态误差的最少拍响应系统，在一拍内可结束过渡过程，达到稳态。    必须指出，按式选择数字控制器，是在假定原系统开环脉冲传递函数G(z)没有单位圆上和单位圆外的零、极点，否则，D(z)物理上不可实现。为了克服这个问题，适当选择

35、PB(z)，D(z)仍可实现。这个问题在后面加以讨论。2 斜坡输入    此时，p=1， r=2为使系统为无稳态误差的最少拍系统，可选取Ge(z) =(1- z1 )2                               则 

36、60;                         于是，可求得数字控制器                      

37、0;       按上式选择数字控制器，不仅能保证系统为无稳态误差，且在最少拍时间内达到稳态，在两拍内结束过渡过程，达到稳态3 抛物线输入    此时p=2， r=3为保证系统为无稳态误差的最少拍系统，可造Ge(z)= (1- z1 )3                     

38、         则GB(z)= 3z1 -3 z2+z3                        于是，可求D(Z)            &

39、#160;              且按式选择的数字控制器，可保证系统为无稳态误差的最少拍系统，系统可在三拍内结束过渡过程，达到稳态。    图绘制的曲线分别是单位阶跃、单位斜坡、抛物线输入时，其输出响应为无稳态误差的最少拍系统。他们达到稳态的时间分别为1拍、2拍、3拍。达到稳态后，都是无差的。表列出上述设计结果。例7-29 已知离散控制系统结构如图所示。采样周期T=1秒。设计一数字控制器D(Z)使系统对

40、单位斜坡输入为无稳态误差的最少拍响应系统。并绘制r(t) 、x(t)、。     解 求开环脉冲传递函数G(Z)         选取GB(z)        GB(z) =2z1 - z2  则               Ge(z) =(1- z

41、1 )2   于是，可求数字控制器D(z)          此时，系统输出Y(z)= GB(z)R(z)=2z2 +3z3 +而                  又               &

42、#160;   =0.543z10.319z2 +0.39z3 0.119z4 +0.246z5 +       根据上述所求各式，可绘制它们的波形如图所示：该系统是针对斜坡输入来设计 D(z)的，假定输入为单位阶跃和抛物线，我们来求其相应的输出，以分析数字控制器的适应能力。当r(t)=1(t) 时，其输出    =2z1+z2 +z3+         当 时，系统输出  &

43、#160;      = z2 +3.5z3 +7z4+11.5 z5 +    下图绘制系统输入为单位阶跃、斜坡、抛物线时，其输出波形图。    从波形图可知，对单位阶跃输入，尽管能达到稳态(2拍达到稳态)，但出现100%超调，对抛物线输入，尽管也能达到稳态，但产生稳态误差为1，可见，这类系统对输入信号的适应能力差。    无稳态误差的最少拍系统，是通过D(z)去抵消原系统G(z)所不希望的零极点，是参数最优控制系统，一旦参数发生变化

44、，系统性能将变坏。G(z)具有单位圆上和单位圆外零极点的情况，数字控制器的设计    当开环脉冲传递函数G(z)具有单位圆上（除有一个z=1的极点外）和单位圆外的极点时，由式可知GB(z)=D(z)G(z)Ge(z)                       在实际上，G(z)单位圆上和单位圆外的极点，一旦参数发生变化，闭环将

45、是不稳定的。当开环脉冲传递函数G(z)有单位圆上或单位圆外零点时，由式                         可知，它必将成为数字控制器的极点，D(Z)将不稳定，其物理实现不可能。为此，我们这样来考虑上述问题，只有延长拍数，以达到物理上可实现。令GB(z)包含z1因子；GB(z)包含开环脉冲传递函数G(z)在单位圆上和单位圆外的零点；Ge

46、(z)包含开环脉冲传递函数G(z)在单位圆上和单位圆外的极点。由关系式GB(z)=1- Ge(z)，求解有关待定系数，最后选定GB(z)和Ge(z 例7-30 已知离散系统结构如图所示，采样周期T=0.2秒，求D(z)，使系统对单位阶跃响应为最少拍响应系统。    解 求开环脉冲传递函数G(z)          开环脉冲传递函数有一单位圆外的零点为此，令          由

47、关系式GB(z)=1- Ge(z)          所以于是，求得的数字控制器D(Z)为                      此时，D(z)在物理上是可实现的了。系统的单位阶跃响应输出为系统输出从第二拍达到稳态，即延长了一拍达到稳态。 无纹波无稳态误差最少拍系统的设计&#

48、160;   什么叫纹波呢？即系统输出在采样时刻已达到稳态，而在两个采样时刻间输出在变化，如图所示：那么，波纹是什么原因产生的呢？能否做到无纹波。在无稳态误差最少拍系统设计时，我们曾举了个实例，系统结构为图所示。开环脉冲传递函数为                             &

49、#160;              数字控制器D(Z)为                    该系统可确保对斜坡输入为无稳态误差最少拍系统，但不可能使输出没有纹波，这是由于数字控制器D(z)的输出不是含z -1的有限多项式，因此