微积分课件：ch2_11 曲线的曲率

1、第十一节第十一节 曲线的曲率曲线的曲率本节要点本节要点 本节引入平面曲线曲率的概念并给出相应的计算方本节引入平面曲线曲率的概念并给出相应的计算方一、曲率的概念一、曲率的概念二、曲率的计算公式二、曲率的计算公式法法. 1.问题的引出问题的引出 在下图中在下图中, 我们看到弧段我们看到弧段12M M到点到点 再到点再到点 时时, 2M3M一、曲率的概念一、曲率的概念得比较厉害得比较厉害. 大的差异大的差异.1M2M3M23M M比较平坦比较平坦, 而弧段而弧段 弯曲弯曲沿这段弧从点沿这段弧从点 到到1M切线所转过的角有较切线所转过的角有较即动点即动点 但是但是, 转角的大小还不能完全反映曲线的弯曲

2、程度转角的大小还不能完全反映曲线的弯曲程度.例如在下图中例如在下图中, 两段弧两段弧 与与 有相同的切线转有相同的切线转12M M12M M角角, 但曲线的弯曲程度则是不同的但曲线的弯曲程度则是不同的.1M2M1M2M 2.曲率的概念曲率的概念则则 的弧长为的弧长为 , MM 设平面曲线设平面曲线 是光滑的是光滑的, 在在 上取一点上取一点 作为度量弧作为度量弧CC0M度的基点度的基点, 设点设点 是曲线上任意一点是曲线上任意一点, 弧弧 的弧长的弧长0M MM为为 点点 是曲线是曲线 上的另外一点上的另外一点, 弧弧 的弧长为的弧长为0M M, sMC点点 处切线的倾处切线的倾,ss M角为

3、角为 处切线的倾角为处切线的倾角为 ,MMMxyO s, s切线的转角为切线的转角为称称 为弧段为弧段 的的平均曲率平均曲率, 记为记为 即即sMM,K.Ks若当若当 时时, 平均曲率的极限存在平均曲率的极限存在, 则称此极限为则称此极限为0s lim.MMKs,KMC曲线曲线 在点在点 处的处的曲率曲率, 记为记为 即即0,Ks从而曲率从而曲率lim0.MMKs即即: 直线上任意点处的曲率为零直线上任意点处的曲率为零.例例1 对直线而言对直线而言, 动点从动点从 到到 相应的切线的转角相应的切线的转角MM0,为为 则则sR1,KsR1lim.MMKsR因而因而, 此说明圆周上每一点的曲率相同

4、此说明圆周上每一点的曲率相同,例例2 设曲线是半径为设曲线是半径为 的圆的圆, 则则 平均曲平均曲,sR R率为率为且等于半径的倒数且等于半径的倒数.二、曲率的计算公式二、曲率的计算公式 设曲线的直角坐标方程为设曲线的直角坐标方程为 即曲即曲 2,yf xCa b线是光滑的线是光滑的. 在曲线上取定点在曲线上取定点 作为度量弧长作为度量弧长000,Mxy的基点的基点, 并且设曲线在区间并且设曲线在区间 上对应的一段弧长为上对应的一段弧长为0,x x曲线上的点曲线上的点 与与 ,s x,M x y0,M xx yyx xxx ,ss xxs x MMxyO sab yf x之间的一段弧长为之间的

5、一段弧长为而线段而线段 的长度为的长度为MM22,MMxy 并注意到并注意到0lim1,xsMM 因因22000limlimlimxxxxyss MMxMMxx 21,y又因又因, 即即tan, arctan,yy从而从而20dlim,d1xyxxy 由此即得由此即得:0limlimMMxKss 3/ 202= lim.1xyxsyx , ,xttyt 其中其中:222,0,x yCxy 若曲线若曲线 由参数方程由参数方程C 3/222.ttttKtt则则例例3 求求 在任意点处的曲率在任意点处的曲率.lnyx解解 因因 211,yyxx 由计算公式得曲线在任一点处的曲率为由计算公式得曲线在任

6、一点处的曲率为23/23/23/22221/,11 1/1yxxKyxx注意到注意到. 0lim0,lim0,xxK xK x此说明当此说明当 或或 时曲线就越平坦时曲线就越平坦.0 xx 12345-4-3-2-11例例4 计算抛物线计算抛物线 上任意一点处的曲上任意一点处的曲2yaxbxc解解 因因 代入公式代入公式得得2,2 .yaxb ya3/222,12aKaxb由于在上式中由于在上式中, 分子为常数分子为常数, 故当故当 时时, 曲率曲率20axb达到最大达到最大, 即当即当 曲率取最大值曲率取最大值, 此时此时, 对对K/2xba 率率, 并求出曲率最大处的位置并求出曲率最大处的

7、位置.应曲线上的点为抛物线的顶点应曲线上的点为抛物线的顶点. 曲率圆与曲率半径曲率圆与曲率半径 设曲线设曲线 在点在点 处的曲率为处的曲率为 作出作出C,M x y0 ,K K 点点 处曲线处曲线 的法线的法线, 并且在曲线凹向一侧的法线上取并且在曲线凹向一侧的法线上取MC点点 使使,D1.MDKxyoD1K 以以 为圆心为圆心, 为半径作圆为半径作圆,D称该圆为曲线称该圆为曲线 在点在点 的的曲率曲率CM圆圆, 为曲线为曲线 在在 处的处的曲率曲率 DCM中心中心, 半径半径 称为曲线称为曲线 在点在点 处的处的曲率半径曲率半径.CM 由定义可知由定义可知, 曲线曲线 在点在点 处与其曲率圆

8、有相同的切处与其曲率圆有相同的切CM线与曲率线与曲率, 并且在点并且在点 的邻近处有相同的凹向的邻近处有相同的凹向.M例例5 求曲线求曲线 上的点上的点, 使曲线在该点的曲率为最使曲线在该点的曲率为最lnyx解解 由例由例3, 知曲线在任意点的曲率为知曲线在任意点的曲率为 3/22,1xKx求导得求导得3/21/2222235/2223112132,11xxxxxxxKxx大大, 并求相应的曲率圆并求相应的曲率圆. 的图形的图形 K x令令10,.2xKx3222 3 .2K曲率半径为曲率半径为 点的坐标为点的坐标为 法线斜法线斜3/23.2R 11,ln2 ,22率为率为 法线方程为法线方程

9、为1.2k 111ln2.222yx 此时曲率为此时曲率为在法线上求一点在法线上求一点, 使该点与所给点的距离等于半径使该点与所给点的距离等于半径. 即有即有221127ln2.242xy将法线方程代入将法线方程代入, 则有则有2211127.2422xx 得得 从而得到圆心坐标为从而得到圆心坐标为2,x 112,ln2 .22因而曲率圆方程为因而曲率圆方程为2211272ln2.224xy例例6 铁路弯道的缓和曲线铁路弯道的缓和曲线曲率是零曲率是零, 而半径为而半径为 的圆弧的曲率是的圆弧的曲率是 如果直道如果直道R1/,R圆弧形的（称为主弯道）圆弧形的（称为主弯道）. 为了使列车在转弯时既

10、平稳为了使列车在转弯时既平稳又安全又安全, 除了必须使直道与弯道相切外除了必须使直道与弯道相切外, 还须考虑轨道还须考虑轨道曲线的曲率在切点邻近连续地变化曲线的曲率在切点邻近连续地变化. 我们知道我们知道, 直线的直线的与圆弧直接相切与圆弧直接相切, 则在切点处曲率有一跳跃度则在切点处曲率有一跳跃度. 只有只有R当当 充分大充分大, 列车在转弯时才显得比较平稳列车在转弯时才显得比较平稳. 但这并不但这并不符合实际符合实际. 故需要在直道和弯道之间加一段称作故需要在直道和弯道之间加一段称作缓和曲缓和曲线线的弯道的弯道, 才使得铁轨的曲率连续地从零过度到才使得铁轨的曲率连续地从零过度到1/ .R铁

11、路弯道的主要部分是呈铁路弯道的主要部分是呈R00,A xyxyOB圆弧道（主弯道）圆弧道（主弯道）直道直道缓和弯道缓和弯道 目前一般采用采用三次抛物线作为缓和曲线目前一般采用采用三次抛物线作为缓和曲线. 在上图在上图中中, 以以 表示直道表示直道, 表示半径为表示半径为 的圆弧弯的圆弧弯0,0 xyABR道道, 表示缓和弯道表示缓和弯道, 设设 点的坐标为点的坐标为 并设并设OAA00,xy 的方程为的方程为 其中其中 为缓和曲线为缓和曲线 的长度的长度,OA3/,yxaRllOAa是待定常数是待定常数.由于由于 的曲率的曲率OA3/23/22261,131yxKaRlyxaRl可见当可见当 从从 变化至变化至 时时, 曲率连续地从