第八章 直线及圆- 教师版

1、高中数学核心素养读本（教师版） 1 第8章 直线与圆 一、知识框图 二、高考要求 内 容 要 求 A B C 8直线与圆 直线的斜率和倾斜角 直线方程 直线的平行关系与垂直关系 两条直线的交点 两点间的距离、点到直线的距离 圆的标准方程与一般方程 直线与圆、圆与圆的位置关系 倾斜角和斜率 直线的方程 位置关系 直线方程的形式 倾斜角的变化与斜率的变化 重合 平行 相交 垂直 A1B2A2B10 A1B2A2B10 A1A2B1B20 点斜式：yy0k(xx0) 斜截式：ykxb 两点式：yy1y2y1xx1x2x1 截距式：xayb1 一般式：AxByC0 注意各种形式的转化和运用范围. 两直

2、线的交点 距离 点到线的距离：d| Ax0By0C |A2B2，平行线间距离：d| C1C2 |A2B2 圆的方程 圆的标准方程 圆的一般方程 直线与圆的位置关系 两圆的位置关系 相离 相切 相交 D0，或dr D0，或dr D0，或dr 截距 注意：截距可正、可负，也可为0. 高中数学核心素养读本（教师版） 2 三、核心素养 核心素养在本章的具体体现有： 通过直线方程的学习，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系初步建立代数表

3、征几何元素的解析：意识与能力，提高问题解决的能力，逐渐养成用数学的眼光来观察世界，用数学的头脑来分析世界，用数学的语言来表达世界 通过两条直线位置关系的学习，能根据斜率判定两条直线平行或垂直，在探索距离的公式表达过程中，能从多角度认识、理解两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会借助点到直线的距离公式来求两条平行直线间的距离，提高逻辑推理和数学运算能力 在圆的方程的学习中，通过探索圆的标准方程，进一步体会用代数表征几何的解析思想，通过代数变形获得圆的一般方程，体会特殊到一般的推理方法，提高逻辑推理能力根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系，用直线和圆的方程解决一些简单的问题，提

4、高数学建模的能力 总之，在直线与圆的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的解析思想，初步感受坐标法处理几何问题的妙不可言，形成用代数方法解决几何问题的能力，理解解析法的实质，提高分析问题和解决问题的能力、创新意识与探究能力、数学运算以及数学交流的能力 四、教学建议 1处理解决几何问题时，主要表现在两个方面：（1）根据曲线的性质，建立与之等价的方程；（2）根据方程的代数特征洞察并揭示曲线的性质要重视坐标法，体会用坐标法研究平面几何问题的解析思想 2帮助学生经历如下的过程：首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结果的几何含义，

5、最终解决几何问题学会借助于坐标系，用代数方法研究几何问题，感受“数”与“形”的对应和统一，不断地体会“数形结合”的思想方法 3要善于综合运用平面几何有关直线和圆的知识解决本章问题，从几何的角度来分析、解决直线与圆的问题往往事半功倍还要注意综合运用三角函数、平面向量等与本章内容关系比较密切的知识来解题 高中数学核心素养读本（教师版） 3 §8.1 直线的斜率与直线方程 【复习指导】 1考试说明对知识点的要求：直线的斜率和倾斜角（B），直线方程（C） 2理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式 3掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般

6、式)，了解斜截式与一次函数的关系 【自主先学】 一、自主梳理 1重读课本必修2 P77P88（）独立完成下列梳理 2直线的倾斜角（） (1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0° (2)范围：直线l倾斜角的范围是0，) 3斜率公式（） (1)若直线l的倾斜角90°，则斜率ktan_ (2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1x2，则l的斜率ky2y1x2x1 4直线方程的五种形式（） 名称 方程 适用范围 点斜式 yy0k(xx0) 不含直线xx0

7、 斜截式 ykxb 不含垂直于x轴的直线 两点式 yy1y2y1xx1x2x1 不含直线xx1 (x1x2)和直线yy1 (y1y2) 截距式 xayb1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 AxByC0，(A2B20) 平面直角坐标系内的直线都适用 二、自主练习 1（）（必修2P80第4题改编）直线经过原点和点(1，1)，则它的倾斜角是_ 2（）（必修2P80第1题改编）过点M(2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m_ 3（）（必修2P80第6题改编）若点A(4，3)，B(5，a)，C(6，5)三点共线，则a_ 4（）（必修2P82第1题改编）已知直线l过点P(2，5)，且斜率为

8、34，则直线l的方程为_ 高中数学核心素养读本（教师版） 4 5（）（必修2P88习题13改编）过点(3，6)作直线l，使l在x轴，y轴上截距相等，则满足条件的直线方程为_ 答案：145° 21 34 43x4y140 5xy90，y2x 【自我反思】 _ _ 【交流展示】 【问题探究】 【问题1】直线的倾斜角与斜率 (1)若直线l与直线y1，x7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，1)，则直线l的斜率为_ (2)直线xcos 3y20的倾斜角的范围是_ 答案：(1)13 (2)ëéûù0，6ëéø

9、46;56， 解析：(1)依题意，设点P(a，1)，Q(7，b)，则有îïíïì a72b12，解得a5，b3， 从而可知直线l的斜率为317513 (2)由xcos 3y20得直线斜率k33cos 1cos 1，33k33 设直线的倾斜角为，则33tan 33 结合正切函数在ëéøö0，2èæøö2，上的图象可知，06或56 备课笔记：由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由斜率的取值范围求直线倾斜角的取值范围时，常借助正切函数ytan x在0，)上的单调性求解

10、，这里特别要注意，正切函数在0，)上并不是单调的 【问题2】直线方程的求法 根据所给条件求直线的方程： 高中数学核心素养读本（教师版） 5 (1)直线过点(4，0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)直线过点(3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12； (3)直线过点(5，10)，且到原点的距离为5 答案：(1) x3y40或x3y40 (2) 4xy160或x3y90 (3) x50或3x4y250 解析：(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式 设倾斜角为，则sin 1010(0)，从而cos ±31010，则ktan ±13 故所求直线方程为y±13

11、(x4)即x3y40或x3y40 (2)由题设知截距不为0，设直线方程为xay12a1，又直线过点(3，4)， 从而3a412a1，解得a4或a9 故所求直线方程为4xy160或x3y90 (3)当斜率不存在时，所求直线方程为x50； 当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y10k(x5)，即kxy(105k)0 由点线距离公式，得|105k|k215，解得k34故所求直线方程为3x4y250 综上知，所求直线方程为x50或3x4y250 备课笔记：在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线

12、，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况 【问题3】直线方程的综合应用 已知直线l过点P(3，2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，如图所示，求ABO的面积的最小值及此时直线l的方程 解析：方法一 设直线方程为xayb1 (a0，b0)，点P(3，2)代入得3a2b12 6ab，得ab24， 从而SAOB12ab12，当且仅当3a2b时，取“”，这时kba23，从而所求直线方程为2x3y120 方法二 依题意知，直线l的斜率k存在，且k0则直线l的方程为y2k(x3) (k0)， 高

13、中数学核心素养读本（教师版） 6 且有Aèæøö32k，0，B(0，23k)， SABO12(23k)èæøö32k12ëéûù12(9k)4(k)12ëêéûúù122 (9k)·4(k)12×(1212)12 当且仅当9k4k，即k23时，取“” 即ABO的面积的最小值为12 故所求直线的方程为2x3y120 备课笔记：直线方程综合问题的两大类型及解法：(1)与函数相结合的问题，解决这类问题，

14、一般是利用直线方程中的x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的函数，借助函数的性质解决；(2)与方程、不等式相结合的问题，一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题，不等式的性质、基本不等式等)来解决 【质疑拓展】 变式1：经过P(0，1)作直线l，若直线l与连接A(1，2)，B(2，1)的线段总有公共点，则直线l的斜率k和倾斜角的取值范围分别为_，_ 解析：如图所示，结合图形：为使l与线段AB总有公共点，则kPAkkPB，而kPB0，kPA0，故k0时，倾斜角为钝角，k0时，0，k0时，为锐角 又kPA2(1)101，kPB11021，1k1 又当0k1时，04；当1k

15、0时，34 故倾斜角的取值范围为0，434，) 变式2：已知点A(3，4)，求满足下列条件的直线方程： (1)经过点A且在两坐标轴上截距相等； (2)经过点A且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形 解析：(1)设直线在x，y轴上的截距均为a 若a0，即直线过点(0，0)及(3，4)直线的方程为y43x，即4x3y0 若a0，设所求直线的方程为xaya1，又点(3，4)在直线上，3a4a1，a7 直线的方程为xy70 高中数学核心素养读本（教师版） 7 综合可知所求直线的方程为4x3y0或xy70 (2)由题意可知，所求直线的斜率为±1又过点(3，4)，由点斜式得y4±(x3)

16、所求直线的方程为xy10或xy70 变式3：已知直线l：kxy12k0(kR) (1)证明：直线l过定点； (2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围； (3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程 (1)证明：直线l的方程是k(x2)(1y)0， 令îïíïì x20，1y0，解得îïíïì x2，y1，无论k取何值，直线总经过定点(2，1) (2)解析：由方程知，当k0时直线在x轴上的截距为12kk，在y轴上的截距为12

17、k，要使直线不经过第四象限，则必须有îïíïì 12kk2，12k1，解之得k0； 当k0时，直线为y1，符合题意，故k0 (3)解析：由l的方程，得Aèæøö12kk，0，B(0，12k) 依题意得îïíïì 12kk<0，12k>0，解得k0 S12·OA·OB12·ïïïïïï12kk·|12k|12·(12k)2k12è

18、;æøö4k1k412×(2×24)4， “”成立的条件是k0且4k1k，即k12， Smin4，此时直线l的方程为x2y40 【教学反思】 _ _ _ 【巩固练习】 当堂检测 高中数学核心素养读本（教师版） 8 1直线l经过A(2，1)，B(1，m2)(mR)两点，则直线l的倾斜角的取值范围为_ 2已知直线PQ的斜率为3，将直线绕点P顺时针旋转60°所得的直线的斜率为_ 3过点P(1，4)引一条直线，使它在两条坐标轴上的截距为正值，且它们的和最小，则这条直线的方程为_ 答案：1ëéûù0，4&

19、#232;æøö2， 23 32xy60 课后作业 一、填空题 1直线3xya0的倾斜角为_ 答案：60° 解析：化直线方程为y3xa，ktan 30°180°，60° 2直线xsin 7ycos 70的倾斜角是_ 答案：67 解析：tan sin 7cos 7tan 7tan 67，0，)，67 3已知A(3，5)，B(4，7)，C(1，x)三点共线，则x_ 答案：3 解析：A，B，C三点共线，kABkAC7543x513，x3 4如果A·C0，且B·C0，那么直线AxByC0不通过第_象限 答案：三

20、解析：由已知得直线AxByC0在x轴上的截距CA0，在y轴上的截距CB0，故直线经过一、二、四象限，不经过第三象限 5若直线axbyab (a0，b0)过点(1，1)，则该直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为_ 答案：4 解析：直线axbyab (a0，b0)过点(1，1)，abab，即1a1b1， ab(ab)èæøö1a1b2baab22ba·ab4，当且仅当ab2时，取“”， 直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为4 高中数学核心素养读本（教师版） 9 6过点P(2，3)且与两坐标轴围成的三角形面积为12的直线共有_条 答案：3 解析：

21、设过点P(2，3)且与两坐标轴围成的三角形面积为12的直线的斜率为k，则有直线的方程为y3k(x2)，即kxy2k30，它与坐标轴的交点分别为M(0，2k3)、Nèæøö23k，0 再由1212OM·ON12|2k3|×|23k|，可得|4k9k12|24，即4k9k1224，或4k9k1224解得k32或k9622或k9622，故满足条件的直线有3条 7若直线l1：yk(x6)与直线l2关于点(3，1)对称，则直线l2恒过定点_ 答案：(0，2) 解析：直线l1：yk(x6)恒过定点(6，0)，定点关于点(3，1)对称的点为(0，2

22、)又直线l1：yk(x6)与直线l2关于点(3，1)对称，故直线l2恒过定点(0，2) 8设直线l的方程为(a1)xy2a0(aR)，若l不经过第二象限，则实数a的取值范围为_ 答案：a1 解析：将l的方程化为y(a1)xa2，îíì (a1)>0，a20或îïíïì (a1)0，a20，a1 综上可知a的取值范围是a1 9设点A(1，0)，B(1，0)，直线2xyb0与线段AB相交，则b的取值范围是_ 答案：2，2 解析：b为直线y2xb在y轴上的截距，如图，当直线y2xb过点A(1，0)和点B(1，0)时

23、b分别取得最小值和最大值b的取值范围是2，2 10已知A(3，0)，B(0，4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是_ 答案：3 解析：直线AB的方程为x3y41，设P(x，y)，则x334y，xy3y34y234(y24y)34(y2)243即当P点坐标为èæøö32，2时，xy取最大值3 二、解答题 11已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程： (1)过定点A(3，4)； 高中数学核心素养读本（教师版） 10 (2)斜率为16 答案：(1) 2x3y60或8x3y120 (2) x6y60或x6y60

24、 解析：(1)设直线l的方程是yk(x3)4，它在x轴，y轴上的截距分别是4k3，3k4， 由已知得(3k4)èæøö4k3±6，解得k123或k283 故直线l的方程为2x3y60或8x3y120 (2)设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是y16xb，它在x轴上的截距是6b， 由已知，得|6b·b|6，b±1直线l的方程为x6y60或x6y60 12如图，射线OA、OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1，0)作直线AB分别交OA、OB于A、B两点，当AB的中点C恰好落在直线y12x上

25、时，求直线AB的方程 答案：(33)x2y330 解析：由题意可得kOAtan 45°1，kOBtan(180°30°)33， 所以直线lOA：yx，lOB：y33x 设A(m，m)，B(3n，n)，所以AB的中点Cèçæø÷öm3n2，mn2， 由点C在y12x上，且A，P，B三点共线得îïíïì mn212·m3n2，m0m1n03n1，解得m3， 所以A(3，3) 又P(1，0)，所以kABkAP331332，所以lAB：y332(x1)，

26、 即直线AB的方程为(33)x2y330 高中数学核心素养读本（教师版） 11 §8.2 两条直线的位置关系 【复习指导】 1考试说明对知识点的要求：直线的平行关系与垂直关系（B），两条直线的交点（B），两点间的距离、点到直线的距离（B） 2能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标 3掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离 【自主先学】 一、自主梳理 1重读课本必修2 P89P106（）独立完成下列梳理 2两条直线的位置关系（） (1)两条直线平行与垂直 两条直线平行： (i)对于两条不重合的直线l1，l2，

27、若其斜率分别为k1，k2，则有l1l2k1k2 (ii)当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1l2 两条直线垂直： (i)如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1l2k1·k21 (ii)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1l2 (2)两条直线的交点 直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则l1与l2的交点坐标就是方程组îïíïì A1xB1yC10，A2xB2yC20的解 3几种距离（） (1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离P1P2(x2x1)2(y2

28、y1)2 (2)点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d|Ax0By0C|A2B2 (3)两条平行线AxByC10与AxByC20(其中C1C2)间的距离d|C1C2|A2B2 二、自主练习 1（）（必修2P104例2改编）两平行直线x3y40与2x6y90的距离为_ 2（）（必修2P93习题7改编）已知直线xay2a2与直线axya1平行，则实数a的值为_ 高中数学核心素养读本（教师版） 12 3（）（必修2P93习题6改编）直线l经过点(3，0)，且与直线l：x3y20垂直，则l的方程是_ 4（）（必修2P96练习题5改编）若直线l经过直线2xy30和3xy20的交点，且垂直于直

29、线y2x1，则直线l的方程为_ 5（）（必修2P106习题18改编）已知直线l：y3x3，那么直线xy20关于直线l对称的直线方程为_ 答案：11020 21 33xy90 4x2y110 57xy220 【自我反思】 _ _ 【交流展示】 【问题探究】 【问题1】两直线的平行与垂直 已知两条直线l1：axby40和l2：(a1)xyb0，求满足下列条件的a，b的值 (1)l1l2，且l1过点(3，1)； (2)l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等 答案：(1) a2，b2 (2) a2，b2或a23，b2 解析：(1)由已知可得l2的斜率存在，k21a 若k20，则1a0，a1l1l2

30、，直线l1的斜率k1必不存在，即b0 又l1过点(3，1)，3a40，即a43(矛盾) 此种情况不存在，k20即k1，k2都存在， k21a，k1ab，l1l2，k1k21，即ab(1a)1 又l1过点(3，1)，3ab40 由联立，解得a2，b2 (2)l2的斜率存在，l1l2，直线l1的斜率存在，k1k2，即ab1a 高中数学核心素养读本（教师版） 13 又坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1l2， l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即4bb 联立，解得îïíïì a2，b2或îïíïì

31、 a23，b2. a2，b2或a23，b2 备课笔记：(1)当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论 【问题2】两条直线的交点与点到直线的距离 求经过直线l1：3x2y10和l2：5x2y10的交点，且垂直于直线l3：3x5y60的直线l的方程 答案：5x3y10 解析：方法一 先解方程组îïíïì 3x2y10，5x2y10，得l1，l2的交点坐

32、标为(1，2)， 再由l3的斜率35求出l的斜率为53， 于是由直线的点斜式方程求出l：y253(x1)，即5x3y10 方法二 由于ll3，故l是直线系5x3yC0中的一条， 而l过l1，l2的交点(1，2)，故5×(1)3×2C0，由此求出C1， 故l的方程为5x3y10 方法三 由于l过l1，l2的交点，故l是直线系3x2y1(5x2y1)0中的一条， 将其整理，得(35)x(22)y(1)0其斜率为352253，解得15， 代入直线系方程得l的方程为5x3y10 备课笔记：(1)两直线交点的求法：求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标

33、的点即为交点 (2)常见的三大直线系方程 与直线AxByC0平行的直线系方程是AxBym0(mR且mC) 与直线AxByC0垂直的直线系方程是BxAym0(mR) 过直线l1：A1xB1yC10与l2：A2xB2yC20的交点的直线系方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)，但不包括l2 【问题3】对称问题 高中数学核心素养读本（教师版） 14 已知直线l：2x3y10，点A(1，2)求： (1)点A关于直线l的对称点A的坐标； (2)直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程； (3)直线l关于点A(1，2)对称的直线l的方程 答案：(1) (3313，413) (2) 9x

34、46y1020 (3) 2x3y90 解析：(1)设A(x，y)，再由已知îïíïì y2x1·231，2×x123×y2210.解得îíì x3313，y413.A(3313，413) (2)在直线m上取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l的对称点必在m上 设对称点为M(a，b)，则îïíïì 2×(a22)3×(b02)10，b0a2×231.解得M(613，3013) 设m与l的交点为N，则

35、由îïíïì 2x3y10，3x2y60.得N(4，3) 又m经过点N(4，3)，由两点式得直线方程为9x46y1020 (3)设P(x，y)为l上任意一点，则P(x，y)关于点A(1，2)的对称点为P(2x，4y)， P在直线l上，2(2x)3(4y)10，即2x3y90 备课笔记：(1)解决点关于直线对称问题要把握两点，点M与点N关于直线l对称，则线段MN的中点在直线l上，直线l与直线MN垂直 (2)直线关于点的对称：求直线l关于点M(m，n)的对称直线l的问题，主要依据l上的任一点T(x，y)关于M(m，n)的对称点T(2mx，2ny)必

36、在l上 (3)点关于直线的对称：求已知点A(m，n)关于已知直线l：ykxb的对称点A(x0，y0)的坐标，一般方法是依据l是线段AA的垂直平分线，列出关于x0，y0的方程组，由“垂直”得一方程，由“平分”得一方程 (4)直线关于直线的对称：此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行 【质疑拓展】 变式1：已知两直线l1：xysin 10和l2：2x·sin y10，求的值，使得： 高中数学核心素养读本（教师版） 15 (1)l1l2； (2)l1l2 解析：(1)当sin 0时，直线l1的斜率不存在，l2的斜率为0，显然

37、l1不平行于l2 当sin 0时，k11sin ，k22sin 要使l1l2，需1sin 2sin ，即sin ±22 所以k±4，kZ，此时两直线的斜率相等 故当k±4，kZ时，l1l2 (2)因为A1A2B1B20是l1l2的充要条件， 所以2sin sin 0，即sin 0，所以k，kZ 故当k，kZ时，l1l2 变式2：如图，设一直线过点(1，1)，它被两平行直线l1：x2y10，l2：x2y30所截的线段的中点在直线l3：xy10上，求其方程 解析：与l1、l2平行且距离相等的直线方程为x2y20 设所求直线方程为(x2y2)(xy1)0， 即(1)x(

38、2)y20又直线过(1，1)， (1)(1)(2)·120 解得13所求直线方程为2x7y50 变式3：在等腰直角三角形ABC中，ABAC4，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA发射后又回到原点P(如图)若光线QR经过ABC的重心，求AP的长 解析：建立如图所示的坐标系：可得B(4，0)，C(0，4)，故直线BC的方程为xy4，ABC的重心为èæøö0043，0403，设P(a，0)，其中0a4， 则点P关于直线BC的对称点P1(x，y)，满足îïíïì ax2y024，

39、y0xa·(1)1， 解得îïíïì x4，y4a，即P1(4，4a)，易得P关于y轴的对称点P2(a，0)， 由光的反射原理可知P1，Q，R，P2四点共线， 高中数学核心素养读本（教师版） 16 直线QR的斜率为k4a04(a)4a4a，故直线QR的方程为y4a4a(xa)， 由于直线QR过ABC的重心(43，43)，代入化简可得3a24a0， 解得a43，或a0(舍去)，故Pèæøö43，0，故AP43 【教学反思】 _ _ _ 【巩固练习】 当堂检测 1已知直线l1：(3m)x4y53m，

40、l2：2x(5m)y8平行，则实数m的值为_ 2已知直线l1与l2：xy10平行，且l1与l2的距离是2，则直线l1的方程为_ 3从点(2，3)射出的光线沿与向量a(8，4)平行的直线射到y轴上，则反射光线所在的直线方程为_ 答案： 17 2xy10或xy30 3x2y40 课后作业 一、填空题 1已知两条直线l1：xy10，l2：3xay20且l1l2，则a等于_ 答案：3 解析：由l1l2，可得1×31×a0，a3 2过点(1，0)且与直线x2y20平行的直线方程是_ 答案：x2y10 解析：所求直线与直线x2y20平行，所求直线的斜率为12，又直线过(1，0)点，则直

41、线方程为x2y10 3已知点(a，2)(a0)到直线l：xy30的距离为1，则a等于_ 答案：21 解析：依题意得|a23|111解得a12或a12a0，a12 4若A(3，4)，B(6，3)两点到直线l：axy10的距离相等，则a等于_ 高中数学核心素养读本（教师版） 17 答案：79或13 解析：依题意，|3a41|a21|6a31|a21，解得a79或a13 5已知直线3x4y30与直线6xmy140平行，则它们之间的距离是_ 答案：2 解析：63m4143，m8，直线6xmy140可化为3x4y70，两平行线之间的距离d|37|32422 6与直线l1：3x2y60和直线l2：6x4y

42、30等距离的直线方程是_ 答案：12x8y150 解析：l2：6x4y30化为3x2y320，所以l1与l2平行，设与l1，l2等距离的直线l的方程为3x2yc0，则：|c6|c32|，解得c154，所以l的方程为12x8y150 7如图，已知A(4，0)、B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是_ 答案： 210 解析： 由题意知点P关于直线AB的对称点为D(4，2)，关于y轴的对称点为C(2，0)，则光线所经过的路程PMN的长为CD210 8将一张坐标纸折叠一次，使得点(0，2)与点(4，0)重合，点(7

43、，3)与点(m，n)重合，则mn_ 答案：345 解析：由题意可知纸的折痕应是点(0，2)与点(4，0)连线的中垂线，即直线y2x3，它也是点(7，3)与点(m，n)连线的中垂线，于是îïíïì 3n22×7m23，n3m712，解得îíì m35，n315，故mn345 9点P(2，1)到直线l：mxy30(mR)的最大距离是_ 答案： 25 解析：直线l经过定点Q(0，3)，如图所示 高中数学核心素养读本（教师版） 18 由图知，当PQl时，点P(2，1)到直线l的距离取得最大值|PQ|(20)2(1

44、3)225，所以点P(2，1)到直线l的最大距离为25 10在平面直角坐标系内，到点A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，1)的距离之和最小的点的坐标是_ 答案：(2，4) 解析：设平面上任一点M，因为MAMCAC，当且仅当A，M，C共线时取等号，同理MBMDBD，当且仅当B，M，D共线时取等号，连接AC，BD交于一点M，若MAMCMBMD最小，则点M为所求 又kAC62312，直线AC的方程为y22(x1)，即2xy0 又kBD5(1)171，直线BD的方程为y5(x1)，即xy60 由得îïíïì 2xy0，xy60，î

45、;ïíïì x2，y4，M(2，4) 二、解答题 11若直线l过点A(1，1)与已知直线l1：2xy60相交于B点，且AB5，求直线l的方程 解析：过点A(1，1)与y轴平行的直线为x1 解方程组îïíïì x1，2xy60，求得B点坐标为(1，4)，此时|AB|5，即x1为所求 设过A(1，1)且与y轴不平行的直线为y1k(x1)，解方程组îïíïì 2xy60，y1k(x1)， 得两直线交点为îïíïì xk7k2，y4k2k2.(k2，否则与已知直线平行) 则B点坐标为(k7k2，4k2k2) 由已知(k7k21)2(4k2k21)252，解得k34，y134(