2000真题及解析

1、2000年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上 )<y，其中f ,g均可微，则fzjx若四阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为112,3,°'亏，则行列式设随机变量刁/3,X的概率密度为f(x)=三2.90X 0,1x 3,6 其他若k使得px_x|，则k的取值范围是f1,假设随机变量 X在区间-1,2上服从均匀分布，随机变量Y =0,-1,若X - 0若X = 0若 X : 0则方差D(Y)二二、选择题(本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求，把所选项前的字

2、母填在题后的括号内.)设对任意的 x，总有：:(x)乞 f (x)乞 g(x)，且 lm_gx -()x 0=，则 lm ( )x(1)(A)存在且一定等于零.(C) 一定不存在.(B)存在但不一定等于零.(D)不一定存在.设函数f (x)在点x二a处可导,则函数 f (x)在点x = a处不可导的充分条件是(A) f(a) =0且f (a) =0(B) f (a) =0且 f (a) = 0(C) f (a)0且f (a)0(D) f (a) ： 0且f (a) ：0设：'i/'2, ：3是四元非齐次线性方程组AX = b的三个解向量，且秩(A) =3,1二 l2,3,4，-

3、S "-S = 0,1,2,3 ， c表任意常数，则线性方程组AX - b的通解X =()-111111011121'1111(A)2+ c1(B)2+ c1(C)2+ c3(D)2+ c431323435-4 一1 11 一1 14一1 13 一1 14 一1 15 一14 一1 16 一设A为n阶实矩阵，A是A的转置矩阵，则对于线性方程组(I ) : AX = 0和(II ): atax =0,必有()(A) (II )的解是(I )的解，(I)的解也是(II )的解(B) (II )的解是(I)的解，但(I )的解不是(II )的解(C) (I )的解不是(II )的解

4、，(II )的解也不是(I )的解(D) (I)的解是(II )的解，但(II )的解不是(I )的解(5)在电炉上安装了 4个温控器，其显示温度的误差是随机的在使用过程中，只要有两个温 控器显示的温度不低于临界温度t0，电炉就断电，以 E表示事件电炉断电”，而T；1) 一T(2) -T(3)-T (为 4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E等于事件()(A)九)-(B) % 一 (C) 了一(D)汁-to /三、(本题满分6分)求微分方程y；2y-e2x=：0满足条件y(0) =0, y(0) =1.四、(本题满分6分)计算二重积分.Xy d二,，其中D是由曲线y = -a，a2

5、- x2 (a - 0)和直d ,4a2 _x2 _ y2线y - -x围成的区域五、(本题满分6分)假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是R =18 - Q1,P2=12- Q2,其中P和P2分别表示该产品在两个市场的价格(单位：万元/吨)，Q!和Q2分别表示该产品在两个市场的销售量(即需求量，单位：吨)，并且该企业生产这种产品的总成本函数是C =2Q 5，其中Q表示该产品在两个市场的销售总量，即Q二Q, Q2(1) 如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企 业获得最大利润；(2) 如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场

6、上该产品的销售量及其统一的价 格，使该企业的总利润最大化；并比较两种价格策略下的总利润大小六、(本题满分7分)arcta nx求函数y =(x -1)e2的单调区间和极值，并求该函数图形的渐近线.七、(本题满分6分)弐O0设打=04sinn xcosxdxn =0,1,2,川，求、Tn.Ln八、(本题满分6分)JTJT设函数 f (x)在0,二上连续，且 ° f (x)dx = 0, o ' f (x)cos xdx 二 0，试证明：在(0,二)内至少存在两个不同的点I,；，使f (1) = f (J =0.九、(本题满分8分)设向量组，宀=(a,2,10)T,： 2 =(-

7、2,1,5几 3 = (-1,1,町(1b CT试问 a,b,c满 足什么条件时，(1) 1可由1,2,3线性表出，且表示唯一？(2) 不能由：'i/'2/'3线性表出？(3) 1可由冷，2,3线性表出，但表示不唯一？并求出一般表达式十、(本题满分9分)设有n元实二次型f (Xi, X2, |(,Xn) =(Xi aiX2)2 (X2 a2X3)2 |(- (xnj anXn)2 (Xn anXi)2其中a =(i =1,2,川,n)为实数.试问：当ai,a2,川，a.满足条件时，二次型f任兀"，x.)为 正定二次型.十一、(本题满分8分)假设是来自总体的简单

8、随机样本值.已知Y = In X服从正态分布 N (，1).(1)求X的数学期望EX (记EX为b);求亠的置信度为0.95的置信区间；利用上述结果求b的置信度为0.95的置信区间.十二、(本题满分8分)设代B是二随机事件；随机变量1,若A出现1,若B出现XY =1-1,若A不出现1-1,若B不出现试证明随机变量 X和Y不相关的充分必要条件是A与B相互独立.2000年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析、填空题(1)【答案】-yfi彳22 g泳y x【详解】根据复合函数的求导公式，有江fi:xf2'丄 g'-y兀【答案】一4e【详解】被积函数的分母中含有exe2-，且当x_

9、.时，ex-e2*.，即被积函数属于无穷限的反常积分，只需先求不定积分，在令其上限趋于无穷dxdxx 2 _xe e2x-e2dx =2 2xe edexdex4e【答案】24【详解】方法1： AL B= A B有相同的特征值:11111由矩阵是矩阵B的逆矩阵，他们所有特征值具有倒数的关系，得B有特征值2,3,4,5,由B特征局矩阵为|kE-B，BE得特征矩阵为 ”-E （B，E |=|（入1 ）E B，可以看出B与BE的特征值相差1，所以B，-E有特征值1,2,3,4.由矩阵的行列式等于其特征值得乘积，所4有特征值的和等于矩阵主对角元素之和，知 B，- E =口 人=2 3 4 = 24.i

10、#方法2 :aL B即存在可逆阵1 1 11P，使得P AP = B .两边求逆得B P A P .又 A有四个不同的特征值，存在可逆矩阵Q，使12QAQ =人，其中A =131415上式两边求逆得1 1 1,A =Qh Q45从而有BJ1A， EP=E2T，1131415_11_-24=Q A-E Q-E = P"1 A，P E = P(4)【答案】1 ,31.【详解】在给定概率密度条件下，有性质P * ： X _ x2 f =2 f (x)dx.因此，Xipfx _k?二f(x)dx(或 P :X _k.；=1 pfx : k .； =1 - f (x)dx.)k122因为0,1

11、时，f(x) ； x 3,6时，f(x)都是定值，因为p1x_k1，393当仁心时，Pf(x)dx送PX : k/ ='所以k最可能的取值区间是包含在0,6 1区间之内的1.1,3 1区间，否则是不可能的(6-3)=2.(或者，当1乞k3时,311121fJ-oO(x)dx (1-0), PX _k、1-PX ：k、1.)333 3所以，答案应该填1k乞3或 11,31.8【答案】-.PX 0；,PX=0?和9【详解】由于题中 Y是离散型随机变量，其所取值的概率分别为X的概率计算pfx ,0.又由于X是均匀分布，所以可以直接得出这些概率，从而实现由过渡到Y的概率.P (丫二 一1 二

12、pfx : 0二0 1)因此所以PY = O；=PX = 0 ；=0;PfY =1.； = PfX 0；-12 1E(Y) = -11,33 3D(Y) = E(Y2) _lE(Y) 2 =1E(Y2) =(1 ) x! +12x-y 7332- 0 2"V匕.丄2/3 3，二、选择题(1)【答案】D【详解】用排除法例1 ：设2x +2X2 "(X)兰竺，满足条件limLx2+2f£x2+2x2x2 2Lim ,并且2"乙1,由夹逼准则知，lim f(x)=1，则选项(A)与(C)错误.乞匚农,满足条件X41x6+x21x4 +12Tim:h=0,但是由

13、于f(x)x6x2_ x41极限不存在，故不选 (B),所以选(D).因为最终结论是'(D):不一定存在”所以只能举例说明可以这样”“以那样”，无法给出相应的证明.【答案】B【详解】方法1 :排除法，用找反例的方式(A) : f (x)= x2,满足 f(0)=0且 f "(0) =0 ,但 f (x)x2在x = 0处可导;(C) : f (x) =x 1,满足 f(0)=1 Of (0)= 10旦 f (x) = x 1 当 x -1,1 ,在所以limf(x) f(a)L lim.xTa x-a txaf(x)-f(a)Llimx >a -limx_x_a可见,f

14、 (x) - f(a)xaf (a/f (x) - f(a)Xkx a-f (a).f (a)f (x)在x =a处可导的充要条件是(1)=f "(a),所以 f "(a) = 0,x = 0处可导；(D): f(x) = x1,满足 f (0) = 1 c0, f (0) = 1 c0,但 f (x) =x+1 当 x 壬( 1,1),在x = 0处可导；方法2:推理法.=lim ax_af(x)- f(a)由(B)的条件 f (a)=0,则 lim lf(x)Hf(a)lx 屮即f(a)=0所以当f(a)=0时必不可导，选(B).(3)【答案】(C)【详解】因为冷=1,

15、2,3 4丁是非齐次方程组的解向量所以我们有A b，故宀是AX二b的一个特解.即基础又r A =3,n =4(未知量的个数)，故AX二b的基础解系由一个非零解组成2 02是对解系的个数为1.因为 A 2宀 i：f2 也3=2b-b-b=0,故 2 r i .：s2应齐次方程组的基础解系，故 AX =b的通解为c 21 - >2 *3：'12 1(4)【答案】(A)【详解】若:是方程组(I): AX -0的解，即 A -0，两边左乘 At，得Ata =0,即 也是方程组(|):ATAX =0的解，即(I)的解也是(II)的解.若：是方程组(I I) : A钦的解，即ATA = 0

16、,两边左乘 得BtAtAB =(A0 T A0 =0. AP 是一个向量，设 AB = b，b2,|b T，则T n(A0 ) A0 =瓦 b2 =0.i丄故有b =0，i =1,2,111 n 从而有 A -0，即也是方程组(I): AX =0的解.(5)【答案】C【详解】随机变量T,丁，T"为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，事件E表示事件 电炉断电”，即有两个温控器显示的温度不低于t0，此时必定两个显示较高的温度大于等于t0，即T(4)亠T(3)亠t°.所以说断电事件就是 汀亠t。！对于二阶常系数非齐次线性微分方程再求出非齐次方程的特解，再利用线性Y =G c2

17、e2x.三【详解】本题属于二阶常系数非齐次线性微分方程, 得求解，首先需要求出对应的齐次微分方程的通解， 方程解的解构，从而得到对应方程的通解本题对应的齐次微分方程为y - 2y丄0,其特征方程为r2-2r=0,特征根为几=0,血=2.于是齐次方程的通解为由于，=2是特征方程的单根，所以设y“二Ax2e求得 y = A ex 2 AXe y 4 Ae 4Axxe代入原方程，得4Aex+4Ax2e_2 AE4 A2xe ，即 2Ae2x =e2x2x 1约去e ，再比较等式左、右两边，得2A=1,A=211故得特解yxe2x，非齐次方程的通解为y=Y= C1 C2e2xxe2x.22再由初始条件

18、y(0) =1，得：C1 C1(1)由 y (0) =1,得G C2e2x -xe2x< 2=Ce2x2x 2xxex£=C2 / 1 1x=02联立与得G则满足初始条件的通解为八3(1猜442四【详解】画出积分区域D .由被积函数的形式以及积分区域形状，易见采用极坐标更为方便.将曲线y - -a a2 -X2化为：x2 (y a) a2(y - -a)，极坐标方程为r 二-2asinr(-二心 < 0)，再D区域是由曲线y-a a2-x2(a 0)和直线y-x围成的区域，于是20-2asinpdr. 4a2 - r2盲w°，极半径0汀_2asin，则f 2 +

19、 2I 二 上' - -d ，2 2 2 .一 0 d ,4a -x - y4令 r =2asi nt，有 r=0 时 t = 0 ； r = -2a s in 时，t-J.0-62 sin2t0-622- 0 4a 希 2acostdf 0 4a sin tdt0 丄 2d 2a2(1-cos2t)dt = 2a 040 .二t - 一4sin 2t2£dt001= 2a2 I ,(sin2r)dv - 2a2 2屮1.cos2-2402二 ajt_4£)五【定理】简单极值问题 (无条件极值):设z = f (x, y)在开区域D内可偏导，又根据实际问题可知，它在

20、 D内有最大值或最小值，于是只需在二0,兰二0的点中找到f(x, y)的x_y最大值点或最小值点【详解】记总利润函数为 L，总收益函数为 R，则总利润二总收益-总成本L = RC 二 p1Q1 P2Q2(2Q 5) = p1Q1 p2Q220 Q2) 5= (182Q)Qi (12Q2)Q2 -2(Qi Q2) 52 2 2 2= 18Qi -2Qi2 12Q2 -Q22 -2Q -2Q2 -5 二-2Q2 -Q?2 I6Q1 IOQ2 -5其中，Qi 0,Q2 0，Q =Qi Q2为销售总量(1)令=VQ+16=0,= -2Q2+10 = 0,解得 Q=4, Q2=5.而 R=182Q, :

21、Q:QP2 =12 -Q2,故相应地 Pi =10, P2 =7.在Q1 0,Q2 0的范围内驻点唯一，且实际问题在Q1 0,Q2 0范围内必有最大值，故在Q1 =4, Q2 =5处L为最大值.maxL=2 42 -5216 4 10 5 -5 = 52(万元).=0(2)若两地的销售单价无差别，即小=p2，于是12Q1Q2, 得 2Q_! - Q2 = 6,在此约束条件下求 L的最值，以下用两个方法：方法1：若求函数z二f (x, y)在条件(x, y) = 0的最大值或最小值，用拉格朗日乘数法：先构造辅助函数 F (x, y, ) = f (x, y)：；：'咒"(x,

22、y)，然后解方程组(x,y)CA所有满足此方程组的解 (X,y,')中的(x, y)是z= f (x, y)在条件(x, y)=0的可能极值点，在可能极值点中求得最大值点或最小值点故用拉格朗日乘数法，其中(QQ?) =2Q -Q2 -6=0，构造函数2 2F(Q1,Q2, ' ) = -2Q1 -Q2 16Q1 10Q2-5，(2Q1-Q2-6),令/F旷=Qi +i6 +2 人=0cQitF«= 2Q2 +i0 & = 0cQ2FF=2Qi Q2 6 = 0l Ek解得Q5, Q2 =4 ,在Qi 0,Q2 0的范围内驻点唯一，且实际问题在Qi 0,Q2 0

23、范围内必有最大值，故在Qi =4, Q2=5处L为最大值得方法2：maxL=2 52 -42 i6 5 i0 4 -5 =49(万元).由 2Qi -Q2 =6代入 L = -2Q2 -Q22 i6Qi i0Q5消去一个变量得2L=-6Qi 60Qi-i0i这样就变成了简单极值问题(无条件极值)，按的做法：令 卫=-12Q1 6 0,dQi得Q- =5,为L的唯一驻点.-J I-J I当0 : Qi :： 5时 0 (说明在这个区间上函数单调递增)；当Qi 5时 ：0 (说dQ1dQi明在这个区间上函数单调递减)故，Qi =5为L的唯一极大值点，所以是最大值点，而 2Qi -Q2 =6= Q4

24、,故maxL 二-6Qi2 60Qi -i0i =-6 52 60 5-i0i=49(万元).六【渐近线】水平渐近线：若有lim_ f (x)二a，则y二a为水平渐近线;铅直渐近线：若有lim f(x)=:，则x = a为铅直渐近线；x ?a斜渐近线：若有a = lim f (x) ,b = lim f (x) - ax存在且不为二，则【详解】原函数对x求导,所以'arcta nx=e31(x-i) ( arctan x)2arctanx2arcta nx二 e2rctan xX?亠 Xarctan xe2令 y = o ,得驻点 x<i = o, X? - -1.列表x(严-1

25、)-1(-1,0)0(0严)F y+0-0+y-2e7JI注：表示函数值大于 0, -表示函数值小于 0;表示在这区间内单调递增；匸 表示在这区间内单调递减.所以由以上表格可以得出函数的大概形状，有严格单调增的区间为与itn0, 7 ;严格单调减的区间为-1,0 .f(0) - -e空为极小值，f(-1)- -2e"为极大值.以下求渐近线.通过对函数大概形状的估计，TT jarcta n x-lim f(xlim( x -1)e2= e lim( x -1)=:所以此函数无水平渐近线；同理，也没有铅直渐近线.所以令a Ji f(x) =e m =m fg-a/ - -2e ;a2 二

26、 jim f(x)= 1,b2 = Jim f (x) - a2x二-2.所以，渐近线为y二ax b二e二(x -2)及y =a2x b2 =x -2，共两条.七【概念】幕级数的收敛半径：若cO，其中an,an1是幕级数a anxn的相邻两n=0项的系数，则这幕级数的收敛半径'-0,0,P = +1",R=:,0,【详解】先计算出积分In的具体表达式，再求和InTLjsi n'cosxdx-；si "xds inx =1n 1In八ngn丄则考虑幕级数丄才n 12CO AS(x)八 一 xn 1, nQ n +1求出幕级数的和函数，代入X二上2即可得出答案，

27、按通常求收敛半径的办法2所以?二 limx y :=limXY1n_11=lim =1x n 1n得到本题中幕级数的收敛半径1R1,在-1,1内，先微分再积分，在收敛域内幕级数仍收敛，有11 -xf 旳 4、°o /1丫 00SW的八蔦九八：xn所以xx 1S(x) =S(0) + f S"(x)dx =0+ dx = In 1 -xL°、0 1 x.2x =2-1,1 代入，得 S(¥)= In(1 -=ln (22)QO即 、ln =l n ( 2 . 2 )n =0八【证明】x方法1令F(x) f(t)dt,0乞x乞二，有F(0) =0,由题设有F

28、 (二)=0.TC又由题设° f (x)cosxdx =0，用分部积分，有jiji0= ° f(x)cosxdx 二 o cosxdF (x)JI 兀兀=F (x)cos x 0 + J。F (x)sin xdx = Jo F (x)sin xdx 由积分中值定理知，存在：;:二(0,二)使0 =(F (x)sin xdx = F (匕)sin © (兀 一0)因为：(0,二),si n -0，所以推知存在-(0,二)，使得F)= 0.再在区间0,与；二上对F(x)用罗尔定理，推知存在 (0,), 空，二)使F ( i) =0,F ( 2) =0，即 f ( J

29、=0,f( 2) =0方法2：由° f (x)d< £及积分中值定理知，存在一(0,二)，使f( ) =0 .若在区间(0,二) 内f(x)仅有一个零点i，则在区间(0, J与(1,二)内f(x)异号.不妨设在(0, i)内 uJIJI,.f (x) >0，在(即兀)内 f (x) <0.于是由J0 f(x)dx = 0J0f (x)cos xdx = 0，有3T3T凶JT凶0= f(x)cosxdx- L f(x)cosrdx= 0 f (x)(cosx cos-Jdx*1. . .f (x)(cosx-cos Jdx f (x)(cosx-cos 1)

30、dx0 i当 0 ：:X ：:；时，cos<cos， f(X)(COSX COS J 0 ；当:X ：:二时，cosx ： cos，仍有 f (x)(cosx -cos J 0,得到：0 0.矛盾，此矛盾证明了 f(x)在(0,二)仅有1个零点的假设不正确，故在(0,二)内f(x)至少有2个不同的零点.九【详解】方法1 :设方程组必 52X2 g3X3八对方程组的增广矩阵作初等行变换，化成阶梯形矩阵，有_a2-11 11a_2-1 ：1 111«23 申=21 1:bT2+a_10 :b + 1i1054:c 一-10 +4a_30 :c + 4a-2111t2+a-101b+

31、14+a00:c-3b+1 一(1) 当a = -4时，r '：'1 F2F3- rmi, 一丨-3.方程组唯一解，即 一：可由1,2,3线性表出，且表出唯一.(2) 当 a 二4，但c-3b V =0 时，r %2,： J 一 2 = r 卜“一，3, 一 卜 3方程组无解，1不可由1,23线性表出方法 当a = -4，且c-3b 仁0时，r 卜r 二二飞，亠 2方程组有无穷多解，此时有得对应齐次方程组的基础解系为:-2-11b+1=1, -2,0（取自由未知量x1 = 1，回代得X2二-2,X3 =0），非齐次方程的一个特解是0 b 1 , 2b 1 丁，故通解为110-2

32、+_(b 十1 )_0 一2b +1 _，其中k是任意常数.2:设方程组、SX| -2X2亠*3X3 =:因为是三个方程的三个未知量的线性非齐次方程组,故也可由系数行列式讨论,'aA = C<1 02 ,C(3 =* 210-n -a1-n1_1-1 a 4因此知道:(1)方程组有唯一解,且表出当a二-4时，（有可能无解或无穷多解2,-3*r-4-21；11-211;1211:bT001:2b+11054:c 一-00_1:c 一 5b _）对增广矩阵作初等行变换，得1, ：r,- I -2b 1:c -3b 1(i)当a - -4时，且但c - 3b ' 1 = 0时，

33、有 r 山12,3 丨=2 = r 匕2,3,：丨二 3方程组无解（ii）当 a - -4，且 c_3b 1 =0时，r：、，2 ,3 卜 r 匕>2,3厂卜 2方程组有无穷多解，其通解为-；v b 1，其中k是任意常数.-1 1 _ 0 -2 +02b +1十【详解】方法1：用正定性的定义判别已知对任意的Xi,X2Xn均有f XX2川Xn -0，其中等号成立当且仅当% +ax2 =0 x2 +a2x3 = 0 JIIIHHIIIIIIIXn/aXn =0 Xn - a.X1 =0方程组仅有零解的充分必要条件是其系数行列式ana110a21IIIIIIIIIn *,二1-1alllan

34、= 0IIIIIIan J1即当 ai a2 Hla -1 “ 时方程组只有零解，此时f X1,X2,l“Xn =0.若对任意的非零向量X二Xi,X2,lHXn -0,中总有一个方程不为零，则有f X,X2,）IXn=（为aiX2）2（X2a2X3）2III（XnanXn）2（XnanXi）20所以，根据正定二次型的定义，对任意的向量 x-1 ,X2(Xn，如果f Xi ,x2 1x-0，则二次型正定由以上证明题中f(X,X2|,Xn)是正定二次型方法2：将二次型表示成矩阵形式，有fX1,X2川X诃昭2)2(X2a2X3)2III(Xn4-a.Xn)2(x.anX1)2Xa1x2X2a2X3=

35、X1 yX2,X2 2X3 川，Xn4anXn,XnanX1Xn 4 * an Xn.Xn+anX1a110III 0ajf1III 000-lx1,X2|Xn 0a21a1100 川 0 0 yxj a2 川 0 0x210 0；1 0 卩III an1 j|_an01 anj :0 川 0 1 j?nj1 a1001 a2记 J。01III 0III 0 0bi41III 01_xjX2 ,X =.：3nJ则 f (X1,X2,lilXn )=XTBTBX =(BXBX 3 0即当 a| ala -1 时，当1a10III0001a2III00001III00n *,+1-卜+hii q= 1+( 1 j玄念川玄“式0000III1anan00III01BBX =0只有零解，故当任意的X = 0时，均有Tf X1,X2,l|IXn ： BX BX 0 ,从而由正定二次型的定义，对任意的向量 X|,X2,|Xn ,如果f为/2,1| 0,则f X!，x2,IHxn是正定二次型十一【详解】Y =1 nX = X二eY.题设条件Y为正态，故E X = E e"可用函数的期望的公式求得.将X的样本可以转化成 Y的样本，从而对正态丫口 N( = 1)中的