2017年有理数培优题(有答案)

1、有理数培优题基础训练题一、填空：1在数轴上表示一2的点到原点的距离等于（）。2、若 I a I = a,则 a （） 0.3、任何有理数的绝对值都是（）。4、如果a+b=O,那么a、b 一定是（）。5、将0.1毫米的厚度的纸对折20次，列式表示厚度是（）。6、已知 |a| = 3,|b| = 2,|a-b|二a-b，贝U a，b=（）7、|x-2|x - 3|的最小值是（）。8在数轴上，点A B分别表示-1 ,丄，贝U线段AB的中点所表示的数是（）。4 220109、 若a,b互为相反数，m, n互为倒数，P的绝对值为3，则P mn - p2 =（）。P10、若abcM 0,则 回.呼.

2、69;的值是（）.a b c11、下列有规律排列的一列数：1、3、2、5、3、，其中从左到右第100个数是（八43 85二、解答问题：1、已知x+3=0,|y+5|+4的值是4, z对应的点到-2对应的点的距离是7,求x、y、z这三个 数两两之积的和。3、若2x，|4-5x| |3x| 4的值恒为常数，求x满足的条件及此时常数的值。15、计算：一124、若 a,b,c 为整数，且 |ab |2010 |ca|2010 二 1，试求 |ca | ab | | bc| 的值5 7911 , 1315 , 17_ 一 十 一 十 一 十6 1220304256726、应用拓展：将七只杯子放在桌上，使

3、三只口朝上，四只口朝下。现要求每次翻转其中任意四只，使它们杯口朝向相反，问能否经有限次翻转后，让所有杯子杯口朝下?能力培训题知识点一：数轴例1:已知有理数a在数轴上原点的右方，有理数b在原点的左方，那么（）A. ab ： b B . ab b C . a b 0 D . a - b 0拓广训练：1、如图a,b为数轴上的两点表示的有理数，在a+b,b2a, ab,b - a中，负数的个数有（）（"祖a1冲之杯”邀请赛试题）A. 1 B . 2 C . 3 D . 43、把满足2<a <5中的整数a表示在数轴上，并用不等号连接。2、利用数轴能直观地解释相反数；例2 :如果数轴

4、上点 A到原点的距离为 3,点B到原点的距离为5，那么A、B两点的距离为 。拓广训练：1、 在数轴上表示数 a的点到原点的距离为 3，则a3=.2、 已知数轴上有 A B两点，A B之间的距离为1,点A与原点0的距离为3，那么所有满足条件的点B与原点0的距离之和等于 。（北京市“迎春杯”竞赛题）3、禾U用数轴比较有理数的大小；例3:已知a . 0,b :：: 0且a b ： 0 ,那么有理数a,b,-a, b的大小关系是 。（用“：”号连接）（北京市“迎春杯”竞赛题） 拓广训练：1、若 m<0, n=0且 mnn，比较一 m,n,m + n, m - n,n m 的大小，并用“ a”号连

5、接。例4:已知a芝5比较a与4的大小拓广训练：1、已知a a -3，试讨论a与3的大小2、已知两数a, b，如果a比b大，试判断 a与 b的大小4、利用数轴解决与绝对值相关的问题。例5:有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示，式子a+|b+a+b + b-c化简结果为（）A. 2a 3b -c B . 3b -c C . b c D . c-b -1 a °1 b c拓广训练：1、有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示，则化简a+b b-1 ac - 1-c的结果为2、已知a +b十a -b =2b，在数轴上给出关于 a,b的四种情况如图所示，则成立的是 a 0 b*b 0 a0 a

6、 b *0b a '3、已知有理数a,b, c在数轴上的对应的位置如下图：贝Uc_1+a_c + a_b化简后的结果是（）（湖北省初中数学竞赛选拨赛试题）-1 c O a bA. b-1 B . 2a-b-1 C . 1 2a-b-2c D . 1-2c b三、培优训练1、已知是有理数，且fx 1 f +（2y +1 丫 = 0，那以x + y的值是（）13133A.丄 B . 3 C .丄或3 D . -1 或 32 2 2 2 22（ 07乐山）如图，数轴上一动点 A向左移动2个单位长度到达点 B，再向右移动5个单位长度到达点 C .若5-点C表示的数为1,则点A表示的数为（）BF

7、Ia , 1A . 7B . 3C.-3D .-2013、如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A、B、CD对应的数分别是整数 a, b,c, d且d - 2a =10，那么数轴的原点应是（）AB CDA. A点 B . B点 C . C点 D . D点4、 数a,b, c,d所对应的点A, B, C, D在数轴上的位置如图所示，那么a c与b d的大小关系是（）*A D 0 C BA. a c ：b d B . a c=b d C . a c b d D .不确定的5、 不相等的有理数 a,b,c在数轴上对应点分别为 A, B, C,若ab+bc=a c，那么点B （）A .在

8、A、C点右边 B .在A、C点左边 C .在A C点之间 D .以上均有可能6、 设y = x-1 +|x +1，则下面四个结论中正确的是（）（全国初中数学联赛题）A . y没有最小值B.只一个x使y取最小值C.有限个x （不止一个）使 y取最小值 D .有无穷多个x使y取最小值1 17、 在数轴上，点 A B分别表示和一，则线段AB的中点所表示的数是。358、 若a >0,b <0，则使x a| +|x b = a b成立的x的取值范围是 。9、100丄丄95x+x + 221221x是有理数，则的最小值是d b O a c10、已知a,b,c,d为有理数，在数轴上的位置如图所示

9、:且 6a =6b =3c =4d =6,求 3a2d 3b2a 十 2bc 的值。11、(南京市中考题)(1)阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数 a,b，A、B两点这间的距离表示为 AB，当A B两点中有一点在原点时,O (A)不妨设点A在原点，如图1， AB = OB=|b = a-b ；当A、B两点都不在原点时， 如图2，点A、B都在原点的右边 AB = OB-OA 亠 a 亠a=a-b ； 如图3，点A、B都在原点的左边 AB =|OB OA =|b a = b (a)=|a b ； 如图 4，点 A、B在原点的两边 AB = OA +|OB =|a +|b =a+( b)=|

10、a b。综上，数轴上 A、B两点之间的距离 AB=a-b(2)回答下列问题： 数轴上表示2和5两点之间的距离是 ，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是 ； 数轴上表示 x和-1的两点A和B之间的距离是 ，如果 AB =2，那么x为 当代数式x+1+x-2取最小值时，相应的 x的取值范围是 求 x -1 + x -2 +|x -3 + +|x 1997 的最小值。聚焦绝对值一、阅读与思考绝对值是初中代数中的一个重要概念，引入绝对值概念之后，对有理数、相反数以及后续要学习的算术根 可以有进一步的理解；绝对值又是初中代数中一个基本概念，在求代数式的值、代数式

11、的化简、解方程与 解不等式时，常常遇到含有绝对值符号的问题，理解、掌握绝对值概念应注意以下几个方面：1、脱去绝值符号是解绝对值问题的切入点。脱去绝对值符号常用到相关法则、分类讨论、数形结合等知识方法。去绝对值符号法则：a (a a 0 )a = « 0(a = 0 )-a(a £ 0 )2、恰当地运用绝对值的几何意义从数轴上看a表示数a的点到原点的距离;a - b表示数a、数b的两点间的距离。3、灵活运用绝对值的基本性质a乏0a = a =a?ab =|a b 冃=晋（匕式。） a -b 土 a - b二、知识点反馈1去绝对值符号法则例 1:已知 a = 5, b = 3且

12、 a -b = b a 那么 a + b =。拓广训练：1、已知a =1,b =2, c =3,且a >b >c，那么（a+bc£ =。（北京市“迎春杯”竞赛题）2、若a =8, b =5，且a+b>0，那么ab的值是（）A. 3 或 13 B . 13 或-13 C . 3 或-3 D . -3 或-132、恰当地运用绝对值的几何意义例2 : X+1+X1的最小值是（）A. 2 B . 0 C . 1 D . -1解法1、分类讨论当 X £1 时，x+1|+x1 = （x+1）（x 1）= 2x>2 ;当一1 <1 时，x+1 +x1 =x+

13、1(x1)=2 ;当 XA1 时 x+1|+|x_1| =x+1+(x_1=2x2。比较可知，x+1| +卜-1的最小值是2,故选A。解法2、由绝对值的几何意义知 X-1表示数x所对应的点与数1所对应的点之间的距离；X + 1表示数x所对应的点与数-1所对应的点之间的距离；x+1+|x-1的最小值是指X点到1与-1两点距离和的最小值。如图易知>x -1 x 1 x当一 1兰x兰1时，x+1 +卜一1的值最小，最小值是 2故选Ao拓广训练：1、已知x -3 + x + 2的最小值是a , x-3 - x+2的最大值为b，求a + b的值。三、培优训练1、如图，有理数a,b在数轴上的位置如图

14、所示:-2 a -10 b 1则在a+b,b2a, b - a, ab, a+2 , b-4中，负数共有（）（湖北省荆州市竞赛题）A. 3个B . 1个C . 4个D . 2个2、 若m是有理数，则 m m 定是（）A.零B .非负数 C .正数D .负数3、如果X2 +x2 = 0,那么x的取值范围是（）A. X . 2 B . X ： 2 C . X _ 2 D . X 岂 24、 a,b是有理数，如果a-b =a+b ,那么对于结论（1） a 一定不是负数；（2） b可能是负数，其中（） （第15届江苏省竞赛题）A.只有（1）正确 B .只有（2）正确 C . （1） （2）都正确 D

15、. （1） （2）都不正确5、已知a = a，则化简a 1 a 2所得的结果为（）A . -1 B . 1 C . 2a -3 D . 3 -2a6、已知0兰a兰4，那么a -2 +|3a的最大值等于（）A . 1 B . 5 C . 8 D . 9a b cabc7、 已知a, b,c都不等于零，且x = Z十当+上+ 斗，根据a,b,c的不同取值，X有（）ac abqA.唯一确定的值B . 3种不同的值 C . 4种不同的值 D . 8种不同的值8、满足a -b = a +|b成立的条件是（）（湖北省黄冈市竞赛题）A . ab _0 B . ab 1 C . ab 乞 0 D . ab 乞

16、 1x 5x 2 x9、 若2 ex c5，则代数式 + 的值为。x 52 x xabab10、若ab >0 ,y 一十一的值等于。abab11、已知a,b,c是非零有理数，且 a+b+c = 0,abcn0,求刍+ P+E+半的值。|a|b c abc12、已知 a,b, c,d 是有理数，ab 乞9, c d| 兰 16，且 ab c十 d =25，求 b a dc 的值。13、阅读下列材料并解决有关问题：X（X A 0 ）我们知道|x = < 0（x=0 ），现在我们可以用这一个结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式X （X £ 0 ）x+1 +x2时，可令x+

17、1=0和X2=0，分别求得X = 1,x = 2 （称1,2分别为x + 1与X 2的零点值）。在有理数范围内，零点值 x = -1和x二2可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：(1)当 X :： 一1 时，原式二 一 X 1 - x - 2 = 2x 1;（2）当 _1 乞 x ： 2 时，原式=x 1 x 2 =3;（3）当 x 亠 2 时，原式=x 1 x -2 = 2x -1。-2x 1x ： -1综上讨论，原式=«3（ 1兰x <2 ）2x-1（xK2）通过以上阅读，请你解决以下问题：（1）分别求出x + 2和x4的零点值；（2）化简代数式 x + 2 +

18、x 414、（ 1）当x取何值时，x-3有最小值？这个最小值是多少？（ 2）当x取何值时，5- x+2有最大值?这个最大值是多少？ （ 3）求x-4 + x-5的最小值。（4）求x-7 + x-8 + x-9的最小值。15、某公共汽车运营线路 AB段上有A D、C、B四个汽车站，如图，现在要在 AB段上修建一个加油站 M, 为了使加油站选址合理，要求 A，B, C, D四个汽车站到加油站 M的路程总和最小，试分析加油站 M在何处选址最好?16、先阅读下面的材料，然后解答问题:在一条直线上有依次排列的 n n1台机床在工作，我们要设置一个零件供应站P,使这n台机床到供应站P的距离总和最小，要解决

19、这个问题，先“退”至吐匕较简单的情形：A1A2A1 A2 （P） DA3甲P乙甲_N丙 如图，如果直线上有 2台机床（甲、乙）时，很明显P设在A,和A2之间的任何地方都行，因为甲和乙分 别到P的距离之和等于 A到A的距离.P设在中间一台机床 A处最合适，因为如果如图，如果直线上有3台机床（甲、乙、丙）时，不难判断,P放在A2处，甲和丙分别到 P的距离之和恰好为 A到A3的距离；而如果 P放在别处，例如 D处，那么甲和丙分别到P的距离之和仍是 A到A的距离，可是乙还得走从 A2到D近段距离，这是多出来的，因此 P放在A2处是最佳选择。不难知道，如果直线上有4台机床，P应设在第2台与第3台之间的任

20、何地方；有 5台机床，P应设在第3台位置。问题（1）:有n机床时，P应设在何处？问题（2）根据问题（1）的结论，求 x1 + x2 + x 3 +収617的最小值。有理数的运算、阅读与思考在小学里我们已学会根据四则运算法则对整数和分数进行计算，当引进负数概念后，数集扩大到了有 理数范围，我们又学习了有理数的计算，有理数的计算与算术数的计算有很大的不同：首先，有理数计算 每一步要确定符号；其次，代数与算术不同的是“字母代数”，所以有理数的计算很多是字母运算，也就是通常说的符号演算。数学竞赛中的计算通常与推理相结合，这不但要求我们能正确地算出结果，而且要善于观察问题的结构特 点，将推理与计算相结合

21、， 灵活选用算法和技巧， 提高计算的速成度，有理数的计算常用的技巧与方法有:二、知识点反馈1利用运算律：加法运算律加法交换律a +b =b +a乘法运算律加法结合律a +(b +c(a +b J+c1利用运算律；2、以符代数；3、裂项相消；4、分解相约；5、巧用公式等。乘法交换律ab =b a 乘法结合律a b c = ab c 乘法分配律 a b c =ab ac23''2、'''2例 1：计算：仝4 2 i2.75+ 7 2 I5I3丿l3丿2 2解：原式=4.6 42.75 -74.6 2.75 3 = 4.6 5.75 - -1.153 3拓广训

22、练：22753159'1、191、计算（1）_0.6_0.08+兰一乞一0.92+2+三 （2）31 十59 3十丄_ 6+ 上 +9 + 丄+9511114114丿>11 丿44例2:计算：9竺><50<25丿( (1解：原式=一10 一 1汉50=-10汉50 - 汉50丨=一 (500-2)=498 I25丿<25丿拓广训练：1 计算：2 3 4 5i1 1 1例3、计算丄12009 2010 1 丄112345 丿2、裂项相消（1）旦 b 丄 1 ；（ 2）-ab a bn n 111,、 m 1；（3）n n 1n n m n2 _ 1 _ 1n

23、 n 1 n 2 n n 1 in 1 n 2解:原式=卜2严I2 3 丿 <3120101 1+ 2 21"20101 1 133420092009拓广训练:1、计算:201020101+ .5 72007 20093、以符代数(7137、1217例4:计算：17+27-11k13 + 8< 271739丿< 1727解：分析：177 =1634,27 =2624,1137= 10-27271717391217387137令 A = 13+ 8-5，则17+ 27-111727392717391 3原式=2AA = 2拓广训练:-53839763934 =1627

24、24261776-10=2A394、分解相约例5:计算:解：原式=2006i-2005丄 1.12006231 I 2005产41父2><4+2><4><8+ n 2n 4n 'Il1>(3x：9+2x：6x：18 +n 3n ，9n 丿1 汉 2 汉4+2 疋(1 汇2 汇 4)+n(1 工 2疋 4)丫 =(汉 2 汉4 "1 + 2 + + n )1：11乂3><9+2><(1汇3乂9)+'"门(1況3工9)丿1><3><"(1+2+.''

25、; + n)_|729三、培优训练1、a是最大的负整数,.2009b是绝对值最小的有理数，则a2007 b20082、计算：（1）匚.丄7 91997 19991997ab5、计算:2小3小4小5小6小72-2 -2 -2-2-2 -2小8小90-2 -2 26、- 1997 , - 97 , -1998 , - 98这四个数由小到大的排列顺序是1998981999997、(“五羊杯”）计算:A .3140 B .6288、(“希望杯”）1 -211A .B .-C449、(“五羊杯”）计算:八 5r10A. B .C .3.14 31.4 628 0.68668.6 6.86=(C . 10

26、00 D . 1200-2 34-14 15 等于(-4 '68 _ 28 3011D .-225 6 “42.5 3“ 2/2 9-81 4.5 - 420 门 409910、（2009 鄂州中考）为了求 1 22 23 亠 一 22008 的值，可令 S= 122 2 -亠 22008，贝V 2S=2223 24 ，22009，因此 2S-S= 22009 - 1，所以 1 22 2- 22008 = 22009 - 1 仿照以上推理计算出1 52 53潜卷52009的值是（112009A 5-12010B 5-1C、2009520105a1 , a2, a3，a2004都是正数，

27、如果 M =:a a? a2003a2a a2°°4,N = a1a2a 2004 F（a2*a3 +，'，+a2003 ），那么 M ,N 的大小关系是（）A. M NB . M = NC . M :N D.不确定12、 设三个互不相等的有理数，既可表示为1,a b,a的形式，又可表示为 0,-,b的形式，求a1999 - b2000a的值（“希望杯”邀请赛试题）13、计算(1) 5.7 0.00036 - 0.19 0.006 - 5700 0.000000164 ( 2009 年第二十届“五羊杯”竞赛题)心昇-宀一吗 送-6.5 一宀-6* （北京市“迎春杯”

28、竞赛题）14、已知m,n互为相反数，a,b互为负倒数，x的绝对值等于3 , 求 x3 1 m n ab x2 亠 Im n x2001 亠 ab 岔° 的值15、已知 ab 2 +a2 =0,ab的值a 2006 b 2006（香港竞赛）16、（ 2007,无锡中考）图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈,以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n层将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为00-00，- n(n +1)12 3 n =2OOOOQ图200-0000-00图3图4199 1011 1 n(n 1) n1n(

29、n - 1)(n2)1(n 1)(n - 2)1(n - 1)(n 1)J(丄2 n1如果图1中的圆圈共有12层，（1）我们自上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数1,2,3,4，则最底层最左边这个圆圈中的数是 ; （2）我们自上往下，在每个圆圈中都按图4的方式填上一串连续的整数-23 , -22 , -21，求图4中所有圆圈中各数的绝对值之和.【专题精讲】【例1】计算下列各题(一3 0.75 0.52(¥)3 豊(112)(弓3 43 “(一弓)34 4372544(-0.125)12 (-12) 7 (-8) _1(Jn(n k) k (n 1 3(-3)935【

30、例 2】计算：1-2-3 4 5- 6- 7 8 9-10-11 12 川 2005 - 2006-20072008111111例3】计算：丄丄.丄.丄.丄2 61220309900反思说明：一般地，多个分数相加减，如果分子相同，分母是两个整数的积，且每个分母中因数差相同,可以用裂项相消法求值。1 1212312341235859【例 5】计算： （"''（）：；，（）（）2 '3344455556060606060【例6】（第8届“希望杯”）计算：1 111 1"卜2009）（2 3 4山而八（1 一I-12 32009111 1曲3川2009）【

31、例7】请你从下表归纳出13亠2亠3亠4 111 n的公式并计算出：13亠2亠3亠4 HI 503的值。【实战演练】123452468103691215481216205101520251、用简便方法计算：999 998998999 -998 999999998 二2、（第10届“希望杯”训练题）1 1 1 1 1（2004 _1）（2003 "）川（1002 _1）（1001 _1）（1000 一1*3、已知 1999 1999 -19"1998x1998 +19982000 2000 - 20001999 1999 19992001 汉 2001 2001c 2000 x

32、 2000 + 20005、（“聪明杯”试题）1 2 4 2 4 8 |l（ n 2n 4n、2（ ）二1 3 9 2 6 18 |l（ n 3n 9n4、计算:7、- J6- m1 33 55 77 94019 21111-11 13 1513 15 1729 31 33111 1 16、（1 丄）（1）（1川（1丄 ）（1丄 ）的值得整数部分为（1><3243汇5199旷20001999 7001A . 1B. 2C . 3D . 4提示：（n 1）2 = n2 2n 18计算：S =12 2223 Hl 220109、计算1 111的值.1+21+2+31十2十3 十 + 1

33、00111 110、计算：2342010的值。111 111 11 11(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)川(1)223234232010参考答案基础训练题一、填空。1、2;2、W;3、非负数；4、互为相反数；5、0.1 22°毫米;6、5 或 1；7、5；8、1 ；9、 8;10、土 3,± 1;11、101。， ， 8 200二、解答题。1、一 25 或 87;3、当x，时，常数值为7;4、2;5、-3 596、不可能，因为每次翻转其中任意 4个，无论如何翻转，杯口朝上的个数都是奇数个，所以不可能让杯口朝上的杯子个数为偶数零，故不可能。能力培训题知识点一：数轴例

34、1、D拓广训练：1、B;3、因为 2 a 乞 5, _5 乞 a ”： 一2，所以 _5 ”： _4 二 _3 ”： 3 ”： 45例2、8或2拓广训练：1、0或6;2、12例 3、b * -a * a -拓广训练：1、题目有误。例 4、解：当 4cac5 时，a >4 ;当-<a <4 时，a <4 ;当 a-4 时，a>4.拓广训练：略。例5、C拓广训练：1、一 2;2、3、D三、培优训练1、C2、D3、B4、A 5、C 6、D7、一 ；8、b <x < a ；9、 1951522110、5；11、3，3，4; x 1，1 或一3;-仁 X 辽 2 : 997002聚焦绝对值例 1、一 2 或一8.拓广训练：1、4或0;2、A例2、A拓广训练：1、通过零点值讨论得 a=5,b=5;所以a+b=10.三、培优训练1、 A; 2、 B;3 、 D;4、A; 5、A; 6、B;7、B;8、C9、1;10、1 或3;11、0;12、一 7;13、零点值分别为一2,4.略。（分三种情况讨论）14、3;、-2 ;、1;、215、加油站应建在 D,