第12讲弯曲内力Ⅰ

1、第 12 讲弯曲内力（I）第 12 讲弯曲内力（I）材料力学讲义第12讲教学方案-弯曲内力（I）基 本 内容弯曲内力、剪力图与弯矩图。教 学 目的1、 掌握弯曲变形与平面弯曲等基本概念。2、 熟练掌握用截面法求弯曲内力。3、 熟练列出剪力方程和弯矩方程并绘制剪力图和弯矩图。重占八、难 占 八、本节重点：用截面法求弯曲内力。本节难点：利用剪力方程和弯矩方程绘制剪力图和弯矩图。材料力学讲义第四章弯曲内力4-1概述图 5-1 为工程中常见的桥式起重机大梁和火车轮轴，它们都是受弯构件。弯曲变形：杆件在垂直于其轴线的载荷作用下，使原为直线的轴线变为曲线的变形。通常将承受弯对称弯曲： 梁的每一个 横截面至

2、少有一根对称 轴，这些对称轴构成对称面。所有外力都作用在其 对称面内时，梁弯曲变形后的轴线将是位于这个对 称面内的一条曲线，这种弯曲轨向对称向杆件轴找曲变形的杆件称为梁K局S 5-2才棘弯曲形式称为对称弯曲， 如图 5-2 所示。对称弯曲是弯曲问题中最常见的情况。材料力学讲义4-2剪力与弯矩静定梁：梁的所有支座反力均 可由静力平衡方程确定。静定梁的基本形式有：简支梁：一端为固定铰支座，而另一端为可动铰支座的梁，如图5-3a 所示悬臂梁：一端为固定端，另一端为自由端的梁, 如图5-3b 所示外伸梁：简支梁的一端或两端伸出支座之外的 梁，如图 5-3c 所示图5-3静定槃的基本形凤材料力学讲义4-

3、3剪力与弯矩方程 剪力图与弯矩图如图 5-4a 所示的简支梁，其两端的支座反力 丄可由梁的静力平衡方程求得。 用假想截面将梁分 为两部分，并以左段为研究对象(图5-4b)。由于梁的整体处于平衡状 态，因此其各个部分也 应处于平衡状态。据 此，截面11 上将产生 内力， 这些内力将与外 力R、RA，在梁的左段 构成衡力系。由平衡方程，则RA- R - Q = 0这一与横截面相切的内力Q称为横截面I I 上的剪力，它是与横截面相切的分布内 力系的合力。根据平衡条件，若把左段上的所有外力和内力对截面 I I 的形心 0 取矩，其力矩 总和应为零，即 a mO=0，贝VM R(x - a) - RAx

4、 = 0M = RAx - R(x -a)这一内力偶矩M称为横截面 1 1 上的弯矩。 它是与 横截面垂直的分布内力系的合力偶矩。 剪力和弯矩 均为梁横截面上的内力，它们可以通过梁的局部平 衡来确定。剪力、弯矩的正负号规定：使梁产生顺时针转动 的RA、RB剪力规定为正，反之为负，如图 5-5 所示；使梁材料力学讲义反之为负生拉图而上咅所产生压缩的弯矩规定为正，材料力学讲义一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面位 置不同而变化，将剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况 用图形表示出来，这种图形分别称为 剪力图和弯矩 图。画剪力图和弯矩图的基本方法有二种：1 .剪力、弯矩方程法若以横坐标x表示横截面在梁轴

5、线上的位置，则 各横截面上的剪力和弯矩可以表示为X的函数，即Q二Q(x)M二M(x)上述函数表达式称为梁的剪力方程和弯矩方程据剪力方程和弯矩方程即可画出剪力图和弯矩图画剪力图和弯矩图时，首先要建立 标。一般取梁的左端作为标向上为正。然后根据截荷情况分段列出X坐丿Q-x和M-x坐标的原点，Q坐标和M坐Q(x)和_込程。工由截面法和平衡条件可知，在集中力 集中力偶和分布载何的起止点处，剪力万程和弯矩 方程可能发生变化，所以这些点均为剪力方程和弯 矩方程的分段点。分段点截面也称控制截面。求出 分段点处横截面上剪力和弯矩的数值（包括正负 号），并将这些数值标在Q-x、M-x坐标中相应位置 处。分段点之

6、间的图形可根据剪力方程和弯矩方程 绘出。最后注盟一RMmax的数值 亠-（丁弘亠亠 简支梁受力如图 a 所示。试与出梁的剪力 方程和弯矩万程，并作剪力图和弯矩图。解：（1）求支座反力M (x)例4-1在Q -X、M-xmax材料力学讲义Ry,R8ql禾I用平衡方程二吕o t所求反力进行校核。(2)建立剪力万程和弯矩万程以梁的左端为坐标原点，建立x坐标，如图 a 所 /示o因在 C 处分布载荷的集度发生变化，故分二段 建立剪力方程和弯矩方程。AC 段：3lQi(x)ql - qx(0 x )82Mj(x)=3qlx -1 qx2(0弐x_ 丄)8 2 2CB 段：1lQ2(X)ql(x：l)82

7、1lM2(X)ql(lx)(xl)823求控制截面内力，绘Q、M图由平衡方程JivmB=0和vmA=0分别求得Q图：AC 段内，剪力方程Qi(x)是x的一次函数，材料力学讲义剪力图为斜直线，故求出两个端截面的剪力值，QA右qi，Qc 左qi，分别以 a、c 标在Q-X坐标中，连8 8接 a、c 的直线即为该段的剪力图。CB 段内，剪力 方程为常数，求出其中任一截面的内力值，例如QB左=-8qi，连一水平线即为该段剪力图。梁 AB 的剪8力图如图 b 所示。M图：AC 段内，弯矩方程Mx）是X的二次函数，表 明弯矩图为二次曲线，求出两个端截面的弯矩，MA=0，Me=ql2，分别以 a、 C 标在Mx坐标中。 由 剪力图知在 d 点处Q=Q，该处弯矩取得极值。令剪 力方程Qi（x）=O，解得x=3，求得M1（3|l2_