公式法解一元二次方程教学设计

1、课题：公式法解一元二次方程目标1. 理解一兀二次方程求根公式的推导,掌握运用公式法解一兀二次方程.会用一兀二次方程 根的判别式判断根的情况2. 通过求根公式的推导,培养学生数学推理的严谨性和标准性,渗透分类讨论思 想.土亦学生准确的计算水平.教学重点用公式法解一元二次方程.教学难点求根公式推导过程,以及在推导过程中理论依据的理解.教学过程设计问题与情境师生行为设计意图1. 复习提问：一元二次方程的一般形式指出各项系数.我们学习了一元二次方程的几种解法根本思想 是什么2. 用配方法解卜列方程(1) X2 4x 1 0(2) 2x2 9x 8 0(3) x2-2x+3=0(4) 2x2 4x m

2、0m 2思考：m 2有何作用(由于左边是完全平方式, 根据平方根的意义,为了保证方程有实数根,所以 方程必须是非负数,即必须 m 2那么假设没有 m 2这个条件,如何解此方程(分类讨论,(1) m 2时,解法同上,(2) m<0 时,次方程无实数根.,、2cC(5) x 2px q 0直接升力法,配方法2x2 4x m移项x2 2x m 二次项系数化 2x2 2x 1三1两边加x-12 虬2左边配成52m 2x 1直接开-, V2m 42 V 2rx 12 22 <2m 42x,x22划归思想,降次从数字系数到字 母系数,复习用配方 法解一元二次方程, 明确配方法解一元二 次方程的

3、步骤,为推 导求根公式做铺垫为1)上一次项系数的一半言全平方式)r方)1 4J 2m 42用配方法解一元二次方程2.C,C、ax 成 c 0a 0解：ax2 成c移项a 0x2 bxC二次项系数化为1aa22x2bx巳2A两边加上一次项a2aa2ax巳2 -左边配成完全平方式2a4a4a2 0,b2 4ac的值有三种情况一、3 z b2 4ac1 b2 4ac>0时,2>04ab,'b2 4acx22ba二x2a2ab<b2 4acx2a2ab Vb2 4acx 2a方程有两个不相等的实数根b Vb2 4acxi2ab Jb2 4acx22a/c、3z b2 4ac2

4、 b 4ac=0时,2=04a方程有两个相等的实数根bxi x22ab2 4ac< 0时,土誓< 0 , x取任何实数4a系数的一半的平方一、,/b、2由于x非负,使学2a生熟悉到方程是否有实数2根,取决于-一弊是否4a非负由于a 024a2 0是显然的,要使x 非£2a需有子4" 0,等价于b2 4ac 0 4a2会用一兀一次方 程根的判别式判 断根的情况,八,b、d都不能使(x _)2<0,2a因此方程无实数根在以上的求解过程中发现b2 4ac的值决定了一元二次方程是否有实数根,式子一 2b 4ac叫一兀二次万程根的判别式,通常用希腊字母 表示即=b2

5、 4ac当 >0时,方程ax2 bx c 0(a 0)有两个不相等的实数根；当 =0时,方程ax2 bx c 0(a 0)有两个相等的实数根,当 <0时,方程ax2 成c 0( a 0)无实数根.反之成立我们再回忆一下,我们利用配方法解方程2ax 成 c 0( a 0)当 .时,方程ax2 bx c 0(a 0)的实数b 、b2 4ac根可与为x 的形式.2a由此可知 方程ax2 bx c 0(a 0)的根是由系数a、b、c所确定的.因此我们可以把方程ax2 bx c 0(a0)的各系数直接代入就可求出一元二次方程的 解.这个式子叫一元二次方程 ax2 bx c 0( a 0)的求

6、根公式这种解一元二次方程的方法叫公式法.ax2 成 c 0(a 0)的求根公式b b2 4ac 2x b 4ac 02a强调注意判别式的意义和 作用.判别式与0的大小关 系和一元二次方程根的情 况是充分必要关系通过讨论,熟悉判别式 的意义和作用.帮助学生理解一元二学生经历公式推 导的过程,提升学生 分析问题解决问题的 水平用配方法推导求根公 式,顺利得出解一元 二次方程的公式,同 时提升配方法的运用 水平.通过分类讨论, 自然引出判别式.利 用判别式可以在未解 一元二次方程之前, 先判别根的情况,这 也从另一角度强化了 对方程根与系数的联 系的反映,即系数间的运算式b2 4ac的符号(正或零或

7、负) 决定了实数根的有 无.根与系数之间的 关系高中还要继续学 习1、通过推导公式谈谈你对公式条件"b2 4ac 0 的理解.2、由求根公式可知一元二次方程根的个数情况是怎么样的3、解一元二次方程,公式法和配方法比较有什么优势例.不解方程,判断以下方程根的情况：(1) x2 x 3 0 (2) 2y2 v'5y 0(3) 2x2 x 1 0例.用公式法解以下方程： 2(1) x2 4x 7 0(2) 2x2 2 2x 1 0,、一 2-(3) 5x 3x x 12(4) x2 17 8x4、小组合作归纳出公式法解一元二次方程的步骤,并指出需要注意的问题.(1) 先将方程化为

8、ax 2 +bx+c=0(a 丰0) 的一般形式.(2) 确定a、b、c的值(3) 求 b2 4ac 的值,(4) 如果b2 4ac>0,代入公式,即可求出 一元二次方程的实数根.(5) 如果b2- 4ac<0, 一元二次方程无实数 根.练习：p37 1次方程的根不可能多于两 个的道理,使学生熟悉到,公式法 是利用了配方法解一元二 次方程的一般形式2ax 成 c 0(a 0)的结果,省去了对每个要解方 程进行配方的过程,求根公 式的产生是一种简便的趋 势.它和配方法一样,是通 法,适应于所有的一元二次 方程.公式法的优点是操作 简单,直接计算.提示学生在用公式的 过程中要注意步骤要

9、点,细 致运算,提升计算正确率.如：注意确定a、bc的值时,要化成一般 式,看清字母自身的符号.强调1、注意化方程为一般形式；2、注意方程有实数根的前提条件是b2 4ac>0；3、注意一元二次方程如 果有根,应有两个.进一步理解求根公 式,解析公式的组成 与方程的关系,发现 根的个数最多有两 个.渗透公式的普遍 性和简便之用.5、综合应用：(1) 假设(a 1)x2a a 1 3x 5是一元二次方程,求a的值并判断出方程根的情况.(2) 解关于x的方程：x2 m(3x 2m n) n20针对于一元二次方程二次项系数不为0的条件,提醒 学生尤其注意.解字母系数的方程存在困难,此题还要先整理

10、成一般 式再解,给学生提出了水平 的要求.归纳公式法的步骤, 培养学生思考问题的 科学性、严谨性、规 范性和关键步骤的注 意习惯.通过解决综合题培养 学生多方面知识的利 用,并练习学生思维 能进一步优化和提 局.活动三：反响练习或课后作业1、用公式法解卜列方程(1) 3x2 2x 1 0一 2一一(2) 4x3x 2(3) 8t2 4也 1 0活动四：回忆你学到的知识内容.强调解题步骤和计算 的正确率.梳理知识点和数学方法.通过设计配套反响练 习,及时了解学生掌 握的情况.稳固学生课堂学到的 知识.一兀一次方程解法公式法用配方法解以下一兀二次方程板(1)(2)(3) ax2 bx c 0(a

11、0)书归纳公式法解一兀二次方程的步骤和本卷须知应用例题设例1例2计判别式与一兀二次方程根的关系例2例4课 后 反 思学生们在课堂上做到了积极思考并且及时做到查补自学,一元二次方程的根本解法在自学中得到了保证.但是在进行解一般式推到求根公式时,还存在解字母系数方程的困难,当配方进行到2(x )2 -一42-这一步时,应该分类讨论了,但学生们不能及时意识到.2a 4a2对于b一的符号是不确定的,而它的符号取决于4a所以：分类开始：当b2 4ac<o时,方程无实数根.2b4ac的符号.当b2 4ac=o时,方程变为(x )22a.2 b 4ac4a2解得：Xi X22ab2 4ac>o时,方程(x )2 b一两边开平方得到:2a 4a一一 2bJb4ac2a4a2v b2 4ac b2 4ac2a2a所以Xib2 4ac2a2a,X2b24ac2a 2a突破上述难点是公式法解一元二次方程的关键,也是后续学习的要点.接着教学中我又