初一奥数设而不求的未知数

1、第九讲“设而不求的未知数 让我们先看一道简单的数学题.例1 一个直角三角形的周长是2+8,斜边上的中线长是1,求这个三角形的面积.解 设这个三角形的斜边长度为c,由于斜边上的中线长是1,所以斜边长c=2.再设两 条直角边的长度是a, b,面积是S,那么a + b + 2 = 2 + 扼,< a2 .1S = - ab*I 2由得a+b = J6,两边平方后得a2+b2+2ab=6.把,代入式得4+4S=6,所以有在这个题目中,只要求出未知数 S的值,而我们却设了三个未知数：a, b, S,并且在 解题过程中,我们也根本没求a, b的值.但是由丁增设了 a, b后,给我们利用等量关系列 方

2、程及方程组求S的值,带来了很大的便利,像这种未知数如a, b就是本讲所要介绍的 “设而不求的未知数.所谓“设而不求的未知数,乂叫辅助元素,它是我们为解决问题增设的一些参数,它 能起到沟通数量关系,架起连接量和未知量的桥梁作用.例2假设求x+y+z的值.分析 条件是以连比的形式出现时,往往引进一个比例参数来表示这个连比.解令那么有x=k(a-b), y=k(b -c) , z=k(c -a),所以x+y+z=k(a-b)+k(b -c)+k(c -a)=0,所以 x+y+Z=0 .说明 本例中所设的k,就是“设而不求的未知数.(p-q)3F 的值例3p, q, r都是5的倍数,r > q&

3、gt; p,且r=p+10,试求 q解 不妨设p=5ki, q=5k2, r=5k,由题意可知,ki, k2, k3都是整数.由于r >q>p,所 以 k3>k2>ki. 乂由于r=p+10,所以 5k3=5ki+10,k3=ki+2,所以 k i+2> k2> ki,所以k 2=ki+i.将,代入所求的代数式得(跖 -5虹)(明-5虹)q-r '(菜/跖)_虹我孩 - Wi + 2)-虫芦 g + 2) 5ky(k】+1)(-2) m= I I(给十1)-(虹+2)*说明 此题中ki, k2, k3均是“设而不求的未知数.例4假设使土企 为可约分数

4、,那么自然数打的最小值应是多少 + 6解要使F日可约分,不妨设分子与分母有公因数显然应有a>i,并且设分子：n-i3=aki,分母：5n+6=ak2.其中ki, k2为自然数.由得n=i3+ak,将之代入得5(i3+aki)+6=ak2,所以a(k2-5ki)=71 .由丁 71是质数,且a> 1,所以a= 71,所以n=ki - 71+13.故n最小为84.例5甲、乙、丙、丁四人,每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为29, 23,21和17,这四人中最大年龄与最小年龄的差是多少解 设四个人的年龄分别记为a, b, c, d,根据题意有h-(a + b + c) +d = 2

5、9,:(d + b + c) + a = 23,"1(务+ d + c) + b = 21,：("b + d)+c = 17.®由上述四式可知h2(a + b + c+d) =29,-、a + b + c + d) +了 = 23,© 12-(每+ B + c+d) 4- b =21 y1 z、2_& 株 + b + c + d_) += 17.(旦)比较,知,d最大,c最小,所以-得| (d-.)= 12.所以d-c=18,即这四个人中最大年龄与最小年龄的差为 18.说明 此题不必求出a, b, c, d的值,只须比较一下,找出最大者与最小者是

6、谁,作差 即可求解.例6设有n个数X, X2,xn,它们的值只能是0, 1, 2三个数中的一个,如果记=箱+* +改,f2 =芯；,调+就,试用f1和f 2表示4二忒+片+罗解 设在Xi, X2,Xn这几个数中取值为0的有s个,取值为1的有t个,取值为2 的有 r 个,贝U s+t+r=n , 0<t < n, 0<s< n, 0< r < n,由此得fi=t+2r , f2=t+4r .所以R = :k：十对+恐己-t + 2h r=(2k-i)f 2-(2k-i-2)f i.说明 此题借助丁 s, t, r找到了 fk与fi, f2的关系表达式.例7设自

7、然数62邙427为99的倍数,试米a, P.分析与解62 a f 427*99的倍数,说明62 *27能被99 = 9XII整除.根据一个数能被9整除的特征有6+2+a +6 +4+2+7=9m(他 自然数),即a +6 +3=9mi(m仇自然数).乂由丁0v a V9, 0V 6 V9,那么有3< a +6 +3V 2i,从而有a +6 =6或 a +6 =i5.同理,根据一个数被II整除的特征有a - 6 =-2 或 a - 6 =9.与相结合,并考虑 0V a v 9, 0V 6 v 9,故只有a =2, 6 =4.所以原自然数为6 224 427 .例8我手中的卡片上写有一个三位

8、数,并且个位数不为零,现将个位与白位数字对调, 取两数的差(大数减小数),将所得差的三位数与此差的个位、白位数字对调后的三位数相加, 最后的和是多少解不妨设原数为mbc (a>c),对调后的差为虹所以k = abc - cba=ax i00+bx i0+c-(c x i00+bx i0+a)=99X a-99x c=100(a-c-1)+9 x 10+(10-a+c).因k是三位数,所以2wa-cw8, 1 w a-c-1w7.所以2v 10-a+cV 8.差对调后为k/ =(10-a+c) x 100+9X 10+(a-c-1),所以k+k, =100(a-c-1)+9 x 10+(1

9、0-a+c)+(10-a+c) x 100+9X 10+(a-c-1)=1089.故所求为1089.说明 本例中a, b, c作为参数被引进,但运算最终乂被消去了,而无须求出它们的值.这 正是“设而不求的未知数的典型例子.在列方程解应用题中,更是经常用到增设参数的方法,下面再举几个例题.例9从两个重量分别为12千克(kg)和8千克,且含铜的白分数不同的合金上切下重量 相等的两块,把所切下的每块和另一块剩余的合金放在一起, 熔炼后两个合金含铜的白分数 相等.求所切下的合金的重量是多少千克分析由丁条件中涉及到合金中含铜的白分数,因此只有增设这两个合金含铜的白分数为参数或与合金含铜的白分数有关的其他

10、量为参数,才能充分利用,为列方程创造条件.解法1设所切下的合金的重量为x千克,重12千克的合金的含铜白分数为p,重8千 克的合金的含铜白分数为q(p丰q), 丁是有xq + (12 -底)p 翌p + (8 一 x)q128整理得5(q-p)x=24(q -p).由于pq,所以q-p0,因此x=4.8,即所切下的合金重4.8千克.解法2设从重12千克的合金上切下的x千克中含铜m千克,从重8千克的合金上切下 的x千克中含铜n千克(m n),那么这两个合金含铜的百分数分别为坦和二 于是有X Xn + (12 x) m + (8 - x)12整理得 5x(n -m)=24(n-m).由于n n,所以

11、n-nm 0,因此x=4.8,即所切下的合金重4.8千克.说明在解含参数的方程时,一般情况下可以把参数消去,转化成只含有待求未知数的 一般方程,也就是说应用题的解答与参数的数值无关.例10某队伍长1998米(m),在行进中排尾的一个战士因事赶到排头,然后立即返回, 当这个战士回到排尾时,全队已前进 1998米,如果队伍和这个战士行进的速度都不改变, 求这个战士走过的路程.解法1设这个战士走过的路程为s米,所需要的时间为t小时(h),X1998那么这个战士行进的速度为-米/小时,队伍行进的速度为坨米/小 tt时,战士追上排头所需时间为一蜻可小时,从排头回到排尾所需时t t1998间为了无薮小时.

12、于是有 V 1 P ? O -+'t t199819981 1998 * s 1998 =七 一 + t t t t消去参数t得19981998_+= $-1998 e + 1998解之得% =1998 + 199公2 & =199眼1998很(舍去).即这个战士走 过的路程为(1998 + 1998很)米.解法2设这个战士的行进速度为 V1米/小时,队伍行进的速度为1998附们小时,那么这个战士从排尾赶到排头所需时间为上土小时,从1998排头返回排尾所需时间为一小时,队伍行进1998米所需时间为 vi + vi切竺小时.于是有199819981993+=+ v2 v21 1

13、1所以整理得+= aaVj - 272 - v2 = 0因此V- (1 ± J2)v3 (舍去负值).所以这个战士所走距离为19981998厂厂*F =(1 + 很洗=1998+ 199 戒v 3甘2即这个战士走过的路程为(1998 + 1998.米.说明 在同一个问题中,由丁考虑问题的角度不同,所以增设的参数也会有所不同(如上 例中的两种解法).练习九1. 设上己=；,求证：y七妒+技 y2 + b2 (k +y)a +(a + b)设六位数"顽亦(其中x,病别表示十万位及个位上的数字),乂 n是4的倍数,且N被11除余5,那么x+y等丁多少 五个人要完成某项工作,如果甲、乙、丙三人同时工作需6小时；甲.丙、戊三人同时工作需3?小