圆锥曲线离心率题型

1、圆锥曲线的离心率题型解析华中师大一附中博乐分校833400刘族刚 朱新婉圆锥曲线的的离心率 e是反映圆锥曲线几何特征(扁平或开阔程度)的一个数量,是圆锥曲线的重要几何性质,也是圆锥曲线“统一定义的纽带,在全国各地历年高考命题中,有关圆锥曲线离 心率的试题屡见不鲜,因而掌握圆锥曲线离心率的概念、题型与求解方法,不仅是稳固根底知识、领悟数形结合思想及学好解析几何的需要,也完全符合“备考从高一高二开始抓的教育理念.本文以离心率的内容为主体,以题型解析为载体,小结出求解离心率问题的策略和方法,希望对大家的解题 有所帮助.P是它们的一个公共点,且)类型一：离心率的定义例1(2021湖北卷) FhF2是椭

2、圆和双曲线的公共焦点,F1PF2 600 ,那么椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为(分析：PF1F2既是椭圆的焦点三角形,也是双曲线的焦点三角形,由于焦点三角形中的边长蕴含离心率所需的“ 2a,2c,所以利用圆锥曲线定义、离心率的定义是解答此题的切入点 解析：不妨设 PF1 m, PF2 n,(m n),椭圆的长半轴长为 a1,双曲线的实半轴长为 a2,椭圆、双曲线的离心'率分别为 e,e2,那么由椭圆、双曲线的定义,得 m n 2a1 , m n 2a2, 2.2_22.2.2平方得 m 2mn n4al ,m 2mn n 4a2 ,又由余弦定理得 m2 mn n2 4c2 ,

3、由消去 mn得a12 3a22 4c2 ,即2 -32 4.ee221 2再据平面向量不等式(a b)2 a b的坐标表示得/11、211' 3、2“ 1、/ 13、16()(1)(1 -)(- F 7ee2e3e23 e1e23所以1 1 4E3.应选a.3e23c评汪：圆锥曲线的离心率的定乂e是解决离心率问题的根底,值得注意的是,椭圆离心率ae (0,1)；抛物线的离心率e 1；双曲线的离心率 e (1,).类型二：离心率的几何意义22例2双曲线C：' 4 1(a 0,b 0)的离心率为2,假设直线l : y kx 3与曲线C的左右 a2 b2支各一个交点,求k的取值范围分

4、析：双曲线离心率 e决定了双曲线的分布与形状,另外直线 l : y kx 3中k的几何意义明显(直 线陡峭程度),故此题可用数形结合求解.22b解析：由双曲线C：: -yy 1(a 0, b 0)的离心率为e 2 ,可得E V e2 1 J3 , a ba依离心率的几何意义,双曲线的两支应夹在两渐近线yJ3x之间且无限接近(如图),要使过点(0,3)且斜率为k的直线l : y kx 3与曲线C的左右支各一个交点,直线 l必须绕(0,3)在两直线 yV3x 3之间转动,所以k ( J3,J3).评注：离心率e是圆锥曲线的特征数,它确定了圆锥曲线形状、分布等(做双曲线先画渐近线),借助这一几何意义

5、,往往为“数形结合解题带来便利.聪明的读者,k在什么范围时,直线l与双曲线C的右支(或左支)有两个交点呢?类型三：求离心率的值22例3设双曲线x- y 1(a b 0)的半焦距为c,直线l过(a,0),(0,b)两点,假设原点到直线l的 a2b2.3距离为 上1c,求双曲线的离心率 e.4分析：求圆锥曲线的离心率,一般要根据条件(如等量关系、几何图形的特征等)建立关于a,b,c的等量关系式,进而转化为关于e的方程求解.解析：直线l过(a,0),(0,b)两点,直线l的方程为-y 1 ,即bx ay ab 0, a b由于原点到直线l的距离为W3c,所以叫 他 E3c, 4c 4那么4ab ,金

6、2,又由于b2 c2 a2且离心率e -,a所以 3e4 16e2 16 0,那么 e2 4 或 e2 ,由于 a b 0,3所以e1 2r 72,即e9或e 2 (舍).a a3评注：有没有注意到条件 a b 0,涉及到最终答案的取舍,也是能不能准确求解此题的关键类型四：求离心率的范围2例4 (2021浙江)如图,设椭圆 与 y21(a 1)a(i)求直线y kx 1被椭圆截得到的弦长(用a,k表示)；(n)假设任意以点 A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点,求椭圆离心率的取值范围分析：求圆锥曲线的离心率取值范围,就是列出关于a,b,c,e的不等关系,再解不等式y kx 1解析：(I

7、)设直线y kx 1被椭圆截得白线段为 AP,由x22 得y 1 a(1 a2k2)x22a2kx 0,故 x10 , x22a2k1 a2k22w2a2 Iki 2因此 AP <1 k x1 x2 2-41 k .1 a kII 假设圆与椭圆的公共点有4个,由对称性可设 y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P,Q满足由I知,AP2a2 kJ .:2胃3b "AQ 1a n2a |k222a k22a2 k21 a2k2“1 k222a2k2|22 、1 a k2所以k12k22)1 k12k22 a2(2a2)k12k220,由于k1,k20,且 k1k22 a2(2a2)k12k

8、220 ,AP AQ .记直线AP,AQ的斜率分别为 七*2,且K*20,且k k2.1122因此4 1* 1 1 a2a2 2.kk2一.1122由于F 1 1 1,所以关于k1, k2的方程有解的充要条件是1 a a 2 1,k1k2那么a 夜.因此,任意以点 A0,1为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1 aJ2,c a 1,102 1那么 e - J (0," a aa 2评注：一般地,建立关于 a,b,c的不等式的方法主要有：利用题设指定条件、圆锥曲线的定义、圆锥曲线的方程如参数方程、圆锥曲线的性质如范围、二次方程的判别式、不等式等.类型五：与离心率有关的定值2例5

9、 2021江西如图,双曲线 C:万y2 1a 0的右焦点F,点A, B分别在曲线C的两 a条渐近线上, AF x轴,AB OB,BF/OA O为坐标原点.1求双曲线C的方程；(2)过曲线 C 上一点 P(xo, y0)(y0一xnx0的直线l:勺 y0 y 1与直线AF相交于点 M ,与直线 a3x 一相父于点N ,证实点P在曲线C上移动时,2MF_值为定值,并求此定值.NF分析：此题第二问Px0,y0y0.的位置不影响MF_!的值,NF宜采用直接证实法,即先求出M,N的坐标,用距离公式代入检验即可.值得提醒白是直线l : x°xy0 y 1为双曲线过点P的的切线,而直线x3八一为双

10、曲线的一条“准线2解析：1设F (c,0),由于b 1 ,所以c 4a2直线OB方程为y1一x,直线BF的万程为a又直线OA的方程为c,那么 A(c-), ka1(xa3c cc),解得B(-,),2 2aAB又由于AB OB ,所以3( a-) a1 ,解得a2一 一.、一 x23 ,故双曲线C的方程为3y2 1-2由1知 a近,那么直线l的方程为X0X1,即yx0x 33 y0'由于直线AF的方程为x 2 ,所以直线l与AF的交点2x0M (2,3y03-), 3直线l与直线x 一的交点为233 2x0N(-,2-2 3y03-)MF2NF由于 P(X0, y0)(y00是C上一点

11、,那么2x032y.代入上式得MF2NF一 4 24(2x0 3)9y°2 (x02)24,那么所求定值为3一 4 24(2x0 3)9y02MFNF二2'(x02)2 3 e.3评注：与圆锥曲线离心率有关的定值问题有很多,其中教材有经典例题,那就是圆锥曲线的义.依据统一定义可得：椭圆22：xy1(.hC：22-1 (abab0上任意一点到右焦点 Fic,0或左F2 c,0的距离与到直线2 a 右准线或x c2a左准线的距离之比为椭圆离心率 e; c双曲线2 x 2 a2台1(a0,b 0上任意一点到右焦点Fic,0或左F2 c,0的距离与到直右准线或xa2左准线的距离之比为

12、离心率 e.c圆锥曲线的离心率问题是数学中的一类典型问题,一般要涉及到解析几何、平面几何、代数等多个知识点,往往综合性强且方法灵活,从上可以看出,解决圆锥曲线离心率问题,定义是根底、运算是关键、建立关于 a,b,c间的关系等或不等是解题突破口.只有审清题意,认真推演,才能准应对练习2x1、2021天津设椭圆w aa> J3的右焦点为F ,右顶点为A.1OF_1_0A3eFA其中O为原点,e为椭圆的离心率.求椭圆的方程.2、2021山东双曲线E :0,假设矩形ABCD的四个顶点在E上,E的离心率是AB,CD的中点为E的两个焦点,且 2 AB 3BC ,那么3、斜率为1的直线l与双曲线2x2a2 y b21(a 0,b 0)相交于A, B两点,且AB的中点为C1,3,求双曲线C的离心率.4、22设F1,F2为椭圆C:xy 勺 a b1(a0的两焦点,假设上存在点P,使得 F1PF290°,求椭圆离心率的范围