史上最全直线与直线方程题型归纳

1、直线与直线方程一、知识梳理1 .直线的倾斜角与斜率：在平面直角坐标系中, 对于一条与x轴相交的直线,如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为£ ,那么a就叫做直线的倾斜角.当直线和x轴平行或重合时,我们规定直线的倾斜角为0.倾斜角的取值范围是 0.w a <180° .倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率,常用 k表 示.倾斜角是90°的直线没有斜率.2 .斜率公式：经过两点Rxi, yi, P2X2, y2的直线的斜率公式：k = y2 y1x#X2X2 - x13.直线方程的五种形式直线形式直线方

2、程局限性选择条件点斜式yy 二 k (xx)不能表示与x轴垂直 的直线斜率一点斜截式y = kx +b不能表示与x轴垂直 的直线斜率在y轴上的截距两点式y y1 _ x x1 y2 y1 x2 x1丰 x2, y1 # y2)不能表小与 x轴、y 轴垂直的直线两个定点两个截距截距式a ba、b分别为直线 在x轴和y轴上的截 距不能表示与x轴垂 直、与y轴垂直、过 原点的直线两个截距截距 可以为负一般式Ax +By +C =0(A、B不全为0 )表示所有的直线求直线方程的结果均 可化为一般式方程7.斜率存在时两直线的平行：l"/12y k1 = k2且b1#b2.8 .斜率存在时两直线

3、的垂直：11 _L12u k1k2=1 .9 .特殊情况下的两直线平行与垂直：当两条直线中有一条直线没有斜率时：1当另一条直线的斜率也不存在时,两直线的倾斜角都为90° ,互相平行；2当另一条直线的斜率为 0时,一条直线的倾斜角为90° ,另一条直线的倾斜角为0° ,两直线互相垂直.、典例精析 题型一：倾斜角与斜率【例1】以下说法正确的个数是()任何一条直线都有唯一的倾斜角；倾斜角为300的直线有且仅有一条；假设直线的斜率为tane ,那么倾斜角为e ；如果两直线平行,那么它们的斜率相等A. 0个 B.1个C.2个 D.3个【练习】如果 AC <0且BC &

4、lt;0 ,那么直线 Ax + By +C = 0不通过( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【例2】如图,直线l经过二、三、四象限,l的倾斜角为“,斜率为k,那么()A . ksin o>0B. kcos o>0C. ksin 0 D . kcos0【练习】图中的直线ll, 12, 13的斜率分别为ki, k2, k3,那么().A. ki< k2<k3B. k3kik2C. k3k2kiD. kik3k2A(0, i ), B(4,1 )的线段总有公共点,求【例3】经过点P(i,2昨直线1 ,假设直线1与连接直线l的倾斜角0与斜率k的取值范围.【练习

5、】两点 A(-3,4), B(3,2 ),过点P(2,-1)的直线l与线段AB有公共点,求直线l 的斜率k的取值范围.【例4】假设直线l的方程为y =xtan« +2 ,那么()A. « 一定是直线l的倾斜角 B. a 一定不是直线l的倾斜角C.Tt a 一定是直线l的倾斜角D. a不一定是直线l的倾斜角【练习】设直线ax +by+c =0的倾斜角为a ,且sin a +cos.= 0 ,那么a、b满足()A. a+b =1 B. a b=1 C. a+b = 0 D. a b = 0题型二：斜率的应用【例5】假设点A(2,2 ) B(a,0 )0(0,4 )共线那么a的值

6、为-11【练习】假设三点A(2,2) B(a,0)C(0,b) (ab=0状线,那么1+,的值为 a b【例6】实数x、y满足2x + y = 8,当2 Mx W3时,求义的最大值为 x值为ln2 , In3In5 皿【练刁】1、右a = , b = , c =,那么()1 24A. a : b : c B. c : b : a C. c : a : b D. b : a : c9x -2、求函数y = 21的值域.2x 1题型三：两直线位置关系的判断,两直线l1,l2斜率存在且分别为 k1,k2,假设两直线平行或重合那么有 k1 k2 ,假设两直线垂直那么有 k1 k2.【例7】直线I的倾斜

7、角为60；直线I2经过点A(1,后,B( 2,-2V3),判断直线l1与I2的位置关系.【练习】1、点P(2,3), Q(4,5), A(1, a ), B(2a,2 )当a为何值时,直线 PQ与直线AB相互垂直2、直线m1经过点A(3, a) B(a 2,3),直线m2经过点M a)N(6,5),假设【例8】在平面直角坐标系中,对 aw R,直线l1：x2ay+1 = 0和l2:2ax + y1 = 0( )A互相平行B.互相垂直C.关于原点对称D.关于直线y = x对称【练习】直线(3a+2 X+(1 4a y+8 = 0与(5a 2 X+(a + 4 )y 7 = 0垂直,求 a 的值.

8、题型四：求直线方程(一)点斜式【例9】根据条件写出以下直线的方程：(1)经过点A(1,2),斜率为2;(2)经过点B(1,4),倾斜角为135°(3)经过点C (4,2),倾斜角为90二；(4)经过点D (3, 2),且与x轴平行.直线过一点,可设点斜式【练习】 AABC中,A(1, 4) B(2,6) C(2,0), AD _L BC于D ,求AD的直线方程.(二)斜截式【例10根据条件写出以下直线的方程：(1)斜率为2,在y轴上的截距是5;(2)倾斜角为150：在y轴的截距为一2;(3)倾斜角为45：在y轴上的截距为0.斜率时,可设斜截式：3【练习】求斜率为 3 ,且与坐标轴围成

9、的三角形周长是12的直线l的方程.4(三)截距式【例12根据条件写出以下直线的方程：(1)在x轴上的截距为一3,在y轴上的截距为2;(2)在x轴上的截距为1,在y轴上的截距为一4;与截距相关的问题,可设截距式【练习】直线l过点P(4,3),且在x轴、y轴上的截距之比为1:2 ,求直线l的方程.(四)两点式【例11】求经过以下两点的直线方程：(1)A(2,5),B(4,3)(2)A(2,5),B(4,5)(3)A(2,5),B(2,7)适时应用“两点确定一条直线【练习】过点 M (0,1 X乍直线l ,使他被两条直线 lx3y+10和l2：x + y+4 = 0所截得的线段 AB被点M平分.求直

10、线l的方程.35【例12】1、点A (3,3 )和直线l : y x 2.求:42(1)经过点A且与直线l平行的直线方程；(2)经过点A且与直线l垂直的直线方程.2、三角形三个顶点的坐标分别为A( 1,0), B (2,0), C (2,3 ),试求AB边上的高的直线方程.(思考：如果求 AB边上的中线、角平分线呢)【例13】直线l的斜率为2,且l和两坐标轴围成面积为 4的三角形,那么直线l的方程为【练习】,直线l经过点一5, 4,且与两坐标轴所围成的三角形面积为5,那么直线l的方程为【例14】直线l不经过第三象限,其斜率为k ,在y轴上的截距为b b# 0,那么A.kE0且 b>0 B

11、.k 至 0且 b<0C, k<0Hb>0d. k>0Hb>0【练习】两条直线 y=ax+b与y=bx+a在同一直角坐标系中的图象位置可能是A. B. C. D.三、课后练习<一 >选择题：1、假设直线l : y=kx-3与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限,那么直线 l的倾斜角的取值范围a r冗 冗、 c/冗 冗、/冗 冗、 cr冗 冗,A. - B 一, 一 C .一, D -,一2、直线 l1 : k-3 x+ 5-k y+1=0 与 l2 : 2 k-3 x-2y+3=0 垂直,贝U K的值是A. 1 或3B.1 或5C.1 或4D. 1

12、 或23、直线y=3x绕原点逆时针旋转 90.,再向右平移1个单位,所得到的直线为A111A y=x+-B . y=x+1 C . y=3x3 D . y = 3x + 1333<二> 填空题：1、在平面直角坐标系中,如果 x与y都是整数,就称点x, y为整点,以下命题中正确 的是 写出所有正确命题的编号.存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点如果k与b都是无理数,那么直线 y=kx+b不经过任何整点直线l经过无穷多个整点,当且仅当 l经过两个不同的整点直线y=kx+b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数存在恰经过一个整点的直线.2、假设点P1,2衽直线l上的射影为Q1,1 ,那么直线l的方程为.23、在平面直角坐标系 xOy中,过坐标原点的一条直线与函数 fx=?的图象交于P、Q两点, x那么线段PQ长的最小值是 .<三> 解做题：1、设直线 l1