差分方程模型讲义

1、差分方程模型一. 引言数学模型根据离散的方法和连续的方法,可以分为离散模型和连续模型.1. 确定性连续模型1微分法建模静态优化模型,如森林救火模型、血管分支模型、最优价 格模型.2微分方程建模动态模型,如传染病模型、人口限制与预测模型、经济 增长模型.3稳定性方法建模平衡与稳定状态模型,如军备竞赛模型、种群的互相 竞争模型、种群的互相依存模型、种群弱肉强食模型.4变分法建模动态优化模型,如生产方案的制定模型、国民收入的增 长模型、渔业资源的开发模型.2. 确定性离散模型1逻辑方法建模,如效益的合理分配模型、价格的指数模型.2层次分析法建模,如旅游景点的选择模型、科研成果的综合评价模型.3图的方

2、法建模,如循环比赛的名次模型、红绿灯的调节模型、化学制品 的存放模型.4差分方程建模,如市场经济中的蛛网模型、交通网络限制模型、借贷模 型、养老基金设置模型、人口的预测与限制模型、生物种群的数量模型.随着科学技术的开展,人们将愈来愈多的遇到离散动态系统的问题,差分方程就是建立离散动态系统数学模型的有效方法.在一般情况下,动态连续模型用微分方程方法建立, 与此相适应,当时间变 量离散化以后,可以用差分方程建立动态离散模型. 有些实际问题既可以建立连 续模型,乂可建立离散模型,究竟采用那种模型应视建模的目的而定.例如,人 口模型既可建立连续模型其中有马尔萨斯模型 Malthus、洛杰斯蒂克Logi

3、stic模 型,乂可建立人口差分方程模型.这里讲讲差分方程在建立离散动态系统数学 模型的的具体应用.二. 差分方程简介在实际中,许多问题所研究的变量都是离散的形式,所建立的数学模型也是离散的,譬如,像政治、经济和社会等领域中的实际问题.有些时候,即使所建 立的数学模型是连续形式,例如像常见的微分方程模型、积分方程模型等.但是, 往往都需要用计算机求数值解.这就需要将连续变量在一定的条件下进行离散 化,从而将连续型模型转化为离散型模型.因此,最后都归结为求解离散形式的 差分方程解的问题.关丁差分方程理论和求解方法在数学建模和解决实际问题的 过程中起着重要作用.1. 差分方程的定义给定一个数列Xn

4、 ,把数列中的前n 1项Xi (i 0,1,2, ,n)关联起来得到的方程,那么称这个方程为差分方程.2. 常系数线性齐次差分方程常系数线性齐次差分方程的一般形式为Xn ag i a?Xn23kXn k ° ,(1)或者表示为F(n,Xn,Xn1, Xn k)0(1)其中k为差分方程的阶数,其中a1,a2, ,ak为差分方程的系数,且ak 0 (k n). 对应的代数方程k a1 k 1 a2 k 2ak 0称为差分方程(1)的对应的特征方程.(2)式中的k个根1, 2, , k称为(1)式的特 征根.2.1差分方程的解常系数线性齐次差分方程的解主要是由相应的特征根的不同情况有不同的

5、形 式.下面分别就特征根为单根、重根和复根的情况给出方程解的形式.2.1.1特征根为单根(互不相同的根)k,那么设差分方程(1)有k个单特征根(互不相同的根)Xn G 1C2 2Ck k为该差分方程(1)的通解.其中Ci,C2, ,Ck为任意常数,且当给定初始条件Xix(0) , (i 1,2, ,k)时,可以确定一个特解.例1在信道上传输三个字母a,b,c且长度为n的词,规定有两个a连续出现 的词不能传输,试确定这个信道允许传输的词的个数.解：令Xn表示允许传输且长度为为n的词的个数,n 1,2,3,通过简单计算可得 x1 3, (a,b,c), x2 8(即 ab,ac, bc, bb,c

6、c,ba,ca,cb)当n 3时,假设词的第一个字母是b或c,那么词可按xn 1种方式完成；假设词的第一个字母是a,那么第二个字母是b或c,该词剩下的局部可按xn 2种方式完成.丁是得差分方程xn2xn 1 2xn 2 (n 3,4,)22 0,其特征方程为特征根为那么通解为xn G(1.3)nc2(1.3)n, (n 3,4,)利用条件x3 , x28求参数c , c2 ,即由c1(1、.3) c2(1.3) 3解得c1(1一3)2 c2(1.3)282323G ,c22 32、3故得到原差分方程的通解为Xn 翌(1 构n _4/33(1(n 1,2,3,4,)2.1.2特征根为重根l是k阶

7、差分方程 Xn aXn1a2Xn 2akXn k 0 的l (1 lk)个根,重数分另U为m,m2,imii 1k ,那么该差分方程的通解m1i 1 nXnC1in 1i 1m2i 1 nC2in2i 1mii 1 nch n ii 1同样的,有给定的初始条件(3)可以唯一确定一个特解.例2设初始值为Xo1, X10, X21, X32 ,解差分方程XnXn 13Xn 25Xn 32Xn 40 , (n 4,5,)解：该差分方程的特征方程为解得其根为1, 1, 1,2 ,故通解为XnG( 1)nC2n( 1)n C3n2( 1)nC42n代入初始条件X0 1, X10,X21,X32,得422

8、9一,Ci,5252故该差分方程的满足初始条件的解为42, * 29 ,"Xn52( 1)52n( 1)2.1.3特征根为复根C31052其中设k阶差分方程 Xn31Xn 132 Xni和相异的k 2个单根一 nn 一Xn C1cosnC2sin n22., arctan.72,n ( 521)n史2.523k Xn k0的一对共钥复根k,那么该差分方程的通解为nnC33C4 4nCk k同样由给定的初始条件3可以唯一确定一个特解.另外,对丁有多个共钥复根和相异实根,或共钥复根和重根的情况,都可类 似的给出差分方程解的形式.3. 常系数线性非齐次差分方程常系数线性非齐次差分方程的一般

9、形式为Xn aiXn 1 a2Xn 2akXn k fn其中k为差分方程的阶数,其中ai,a2, ,ak为差分方程的系数,且ak 0 k n, fn为函数.在差分方程4中,令f n 0,所得方程Xn aiXn 1 a2Xn 2akXn k 05称为非齐次差分方程4对应的齐次差分方程,即与差分方程1的形式相同.求解非齐次差分方程通解的J股方法：首先求对应的齐次差分方程5的通解X；,然后求非齐次差分方程4的一个 特解x；0,那么*0Xn Xn Xn 为非齐次差分方程4的通解.美丁求Xn的万法同求差分万程1的万法相同.对丁求非齐次万程4的特解 x；0的方法,可以用观察法确定,也可以根据 fn的特性用

10、待定系数法确定,具 体方法可参照常系数线性非齐次微分方程求特解的方法.4. 差分方程的平衡点及其稳定性在应用差分方程研究问题时,一般不需要求出方程的通解,在给定初值后, 通常可用计算机迭代求解,但常常需要讨论解的稳定性.对丁差分方程Fn,Xn,Xn1,Xn k.,假设有常数a是其解,即有Fn,a, a, , a 0那么称a是差分方程F n, xn, xn 1, ,xn k 0的平衡点,乂对该差分方程的任意由初始条件确定的解Xn x(n),均有lim xnan那么称这个平衡点a是稳定的；否那么是不稳定的o卜面给出一些特殊差分方程的平衡点和稳定性.4.1一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方程

11、的一般形式为Xn(6)其中a,b为常数,且a 1,0.它的通解为Xn易知是方程(6)的平衡点, a 1C( a)n 台由(7)式知,当且仅当时,一是方程的稳定的平衡点o a 14.2二阶常系数线性差分方程二阶常系数线性差分方程的一般形式为(8)xn 2 axn 1 bxnr ,其中a,b,r为常数,当r 0时,它有一特解0时,它有一特解不管是哪种情形,是方程(8)的平衡点设方程(8)的特征方程为的两个根分别为2,那么D 当1, 2是两个不同的实根时,方程(8)的通解为*nxnxC( 1)C2( 2)' 当12是两个相同实根时,方程(8)的通解为nXn x (Ci C2n) 当1,2 (

12、cos isin )是一对共钥复根时,方程(8)的通解为xn x n(C1 cosn C2 sin n )易知,当且仅当特征方程的任一特征根| 1时,平衡点x*是稳定的.4.3 一阶非线性差分方程一阶非线性差分方程的一般形式为xn 1 f(xn)其平衡点x由代数万程x f (x)解出.为了分析平衡点x的稳正性,将方程(9)的右跚f (xn)在x点作泰勒展开, 只取一次项,得到xn if (x 炫 x ) f(x )(10)(10)是(9)的近似线性方程,x*是(10)的平衡点,根据一阶常系数线性差分方程(6) xn 1 axn b的稳定性判定的相关结论,得： 当f'(x*)1时,方程(

13、9)的平衡点是稳定的； 当f (x ) 1时,方程(9)的平衡点是不稳定的.三. 差分方程建模实例1.贷款买房问题某居民买房向银行贷款6万元,利息为月利率1%,贷款期为25年,要求建 立数学模型解决如下问题：1) 问该居民每月应定额归还多少钱2) 假设此居民每月可节余700元,是否可以去买房1.1确定参变量：用n表示月份,An表示第n个月欠银行的钱,r表示月利率,X表示每月还钱数,A0表示贷款额.1.2模型的建立与求解1)模型的建宜时间欠银行款初始Ao一个月后A1Ao(1 r) x二个月后A A (1 r) x三个月后AA2(1 r) xn个月后AnAn 1(1 r) x由上表可得相邻两个月的

14、递推关系式An Ani(1 r) X1.3模型的求解：(1)差分方程求解方法先求其特解.令An An 1 y,那么y y(1 r) x,得特解为y - r再求对应齐次方程 AAn 1(1 r)的通解.对应的特征方程为(1 r) 0,得 (1 r).齐次方程的通解为：c(1 r)n因此原方程的通解为:AnC(1r)n乂由于n 0时aAo,得cAo -rAnAo 1 r n(2)递推法:AnAo(1r)n x1 1 rA.1 r nAo =60000,A300n =300,r=0.01nA0 1 r600003001 0.01300"10.011632元0.01因此,该居民每月应归还63

15、2元.乂 632<700,所以该居民可以去买房2 .借贷问题中国建设银行北京市分行个人住房贷款一至二十年月均还款金额表自1998年3月25日起执行的一局部如下：借款额为一万元 单位：元贷款期限年年利率%还款总额元利息负担总和元月均还款额元1510.20619569.609569.60108.722010.20623488.8013488.8097.87试问他们是怎样算出来的?借贷问题的数学模型.符号说明以贷款期限20年为例：借贷额Ao 10,000;贷款期限为N年；月利率r 10.206/12 0.008505;月均还款额表示每月还款额是相同的,记为x;还款总额记为S .二.建立模型一开

16、始借款A.10,000,一个月后欠银行本利为Ai A0(1 r),但为了减少欠款,还了 x元,因而A A°(1 r) x,第k个月情况也是这样的,即AkAk 1(1 r) x , k 1,2, ,N注意到了第N个月已经不欠银行的钱了,即 An 0,因此,我们得到以下的数 学模型：AkAs(1 r) xk 1,2, N A0,x,N Known Find out suchthat AN0三.数学模型的求解首先求出用量表出的表达式.由A Ai(1r) xA°(1 r) x(1r)x A°(1r)2 x1 (1 r)可以猜想,并用数学归纳法证实：AkA°(1r

17、)k x1 (1 r)(1r)2(1 r)k1由等比数列前k 1项的求和公式知：AkA0(1 r)kx(1 r)k 1 , k 1,2, Nr再由An0,得到:A0r(1 r)N(1 r)N 1把量带入,就得到表中的3. 生物种群数量问题一. 问题的提出种群的数量问题是当前世界上引起普遍关注的一个问题.要预测未来种群 的数量,最重要的影响因素是当前的种群数量, 今后一段时间内种群的增长状况 和环境因素.由丁随着种群数量增加到一定的程度后,种群在有限的生存空间进行竞争,种群的增长状况会随着种群数量的增加而减少,而且在有限的生存空间,种群数量也不可能无限增长,假设只能到达某一固定的数量值记为xm,

18、称为最大种群容量.乂假设单位时间内种群数量的增长量与当时种群数量X的比记为：r(x) r sx, r、s 0 ,其中r相当丁 x=0时的增长率,称为固有增长率,记当 前(即t=0时)种群数量为x.,时刻t种群数量为x(t).假设利用统计数据可知xm, r , x.,那么1) 设x(t)为连续、可微函数,请给出未来时间里种群数量满足的数学模型.2) 由丁某些种群是在固定的一段时间内进行繁殖,所以可用种群繁殖周期作 为时间段来研究其增长状况.请给出未来时间里这类种群数量应满足的离散数学 模型.二. 问题分析与模型建立1. 由丁 r(x)为单位时间内种群数量的增长量与当时种群数量的比,所以t到t t

19、时间内种群数量的增量为x(t t) x(t) r(x)x(t) tr乂由丁 r(x) r sx ,而当x xm时增长率应为岑,即r(xm) 0,所以s 一 , xm,、 r r(x) r x,xm把它代入方程(1)得:r一、x(t t) x(t) (r 厂)x(t) t此方程两边同除t ,并令t 0,加上初始条件x(0) x0可得未来任意时刻t种 群数量所满足的数学模型为：dx / x r 1 x dtxmx(0) xo2. 由丁是利用种群繁殖周期作为时段来研究种群增长状况,那么令 t 1,rt视为整数及r(x) r 一x代入方程(1)得：xmr、x(t 1) x(t) (r 厂)x(t)加上

20、初始条件x(0) x°得任意时刻t种群数量所满足的离散型数学模型为rx(t 1) (r 1 )x(t)xmt种群的数量x(0)x°通过这个差分方程就可以很容易得到任意时刻三. 模型求解1.利用Mathematica求解方程(1),可得任意时刻t种群数量为xmx(t)1 佃 1 ex0Mathematica源程序为:DSolvex (t) r* (1 xt/xm)*xt0,xt,t2.根据方程(2),只要给出初值x°就可以很容易进行递推而得到任意时刻t种 群的数量四. 结果分析1. 上面方程(3)有时称为阻滞增长模型或Logistic模型,它有着广泛的应用.例如传染

21、病在封闭地区的传播,耐用消费品在有限的市场上的销售等现象,都可 以合理的、简化的用这个模型来进行描述.但它存在缺乏,由于随着环境的变迁, 最大种群容量可能会发生变化,而且最大种群容量也不容易准确得到.2. 一方面,用离散化的时间来研究问题有时是很方便的,尤其出现了计算机 以后,人们可以很方便的对问题进行求解；另一方面,对这个种群数量问题,由 丁许多种群实际上是由单一世代构成的, 在相继的世代之间几乎没有重叠,所以 种群的增长是分步进行的.这种情况下,为了准确的描述种群的数量动态就不能 用微分方程,而应利用离散的模型来描述.4. 人口的限制与预测模型一. 问题的提出常见的两个常微分方程模型(马尔

22、萨斯(Malthus)模型和洛杰斯蒂克(Logistic)模型)没有考虑到社会成员之间的个体差异,即不同年龄、不同体质的人在死亡、生育方面存在的差异.完全忽略了这些差异显然是不合理的.但我们不可能对每 一个人的情况逐个加以考虑,故仅考虑年龄的差异对人口的变动的影响,即假设同一年龄的人具有相同的死亡率和生育水平,这样建立的模型不但使我们能够更 细致的预测人口总数,而且能够预测老年人口、劳动力人口、学龄人口等不同年 龄组的人口信息.下面来建立离散的差分数学模型来表现人口数量的变化规律.二. 模型的建立与求解设xk(t)为第t年年龄为k的人口数量,k 0,1,2, 100,即忽略白岁以上的人口.如果

23、知道了第t年各年龄组的人口数,各年龄组人口的生育及死亡状态, 就可以根据人口开展变化规律推得第t 1年各年龄组的人口数.首先引入k岁人口的死亡率和k岁育龄妇女的年生育率这两个概念,他们的含义和记号如下:k岁人口的年死亡率:dk一年内k岁的死亡人数这年内k岁的人口数k岁妇女的年生育率:bk一年内k岁妇女生育的婴儿数这年内k岁妇女人数第t 1年k 1岁的人口数就是第t年k岁人口数扣除它在该年的死亡人数,Xki(t 1)(1 dk)Xk(t),令Pk 1 dk称为k岁人口的存活率,故各年龄组人口随时间的变化规律可用递 推公式Xk1(t 1)pkXk(t) , (k 0,1,99)来表示.再考虑到零岁

24、的人数100Xo(t 1)bkUk (t) xjt),其中Uk(t)Xk(t)为第t年k岁的妇女人数,Uk(t)为第t年k岁人口的女性比(占全部 k岁人口数),bkUk(t)Xk(t)就是第t年k岁妇女所生育的婴儿数.由此得到的人口模 型是：100Xo(t 1)bkUk(t)Xk(t)Xk 1(t 1)PkXk(t), k 0,1, ,99根据人的生理特征和人口学中的习惯,妇女的育龄区间一般取为15岁至49岁之 问,即当k15和k 49时,bk 0,令X(t)(X°(t), X(t),Xk(t),X100(t)TUo(t)boPo0LUi(t)bi0PiU2(t)b200U99 (t

25、)b9900u100(t)b10000000P990那么人口模型(1)的矩阵形式为x(t 1) Lx(t)其中L称为莱斯利(Lwslie)矩阵.当第t0年的人口状况时,从式(2)就可以推得第t年的人口为x(t 1)Lttox(t0).5. 市场经济中的蛛网模型在自由竞争的市场经济中,商品的价格是由市场上该商品的供应量决定的, 供应量越大,价格就越低.另一方面,生产者提供的商品数量乂是由该商品的价 格决定的,价格上升将刺激生产者的生产积极性,导致商品生产量的增加.反之, 价格降低会影响生产者的积极性,导致商品生产量的下降.在没有外界干扰的情 况下,这种现象将如此反复下去.这样的需求和供应关系决定

26、了市场经济中商品 的价格和数量必然是振荡的.这种振荡越小越好,如果振荡太大就会影响人民群 众的正常生活.(1) 商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定(2) 当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定下面用差分方程理论建模,讨论市场经济趋丁稳定的条件,再用图形方法建 立蛛网模型对上述现象进行分析,对结果进行解释,然后作适当推广.3.1模型的假设和符号说明 记第n时段商品数量为Xn,价格为yn , n 1,2,.这里我们把时间离散化为时段,1个时段相当丁商品的1个生产周期,如蔬 菜、水果可以是1年,肉类可以是一个饲养周期. 在n时段商品的价格yn取决丁数量Xn.设yn f(Xn).它反映消费者对

27、这种商品的需求关系,称为需求函数.由于商品的数量越多,价格越低.需求函数在图1中用一条下降的曲线f表 示,f称为需求曲线. 在n 1时段商品的数量Xn 1由上一时段的价格yn决定,用Xn 1 g( Yn )表小.它反映生产者的供应关系,称为供应函数.由于价格越高,生产量越大.供应函数在图 1中用一条上升的曲线g表示, g称为供应曲线.OX0X图1商品供求关系曲线3.2模型的建立与求解设需求曲线f和供应曲线g相交丁点Po(xo, yo),在Po附近取函数f和g的线性近似,即需求曲线f :YnY0(XnXo) ,0(11)供应曲线g:Xn 1Xo(YnYo) ,0(12)由式(11)(12)消去Y

28、n ,得到一阶线性差分方程Xn1Xn(1)Xo ,n1,2,(13)因此Xo是其平衡点,即Po是平衡点.对式(13)进行递推,得Xn 1()nX11()nXo ,n1,2,由此可得,平衡点稳定的条件是：1 ;不稳定的条件是：1.下面用图形解释此模型.假设对某一个k有Xk Xo,那么由(11)式得,当n k时Xn Xo,从而Yn Yo, 即商品的数量和价格将永远保持在Po(Xo, Yo)点.但是实际生活中的种种干扰使得Xn, Yn不可能停止在Po(Xo,Yo)上.不妨设X1偏离Xo (见图2,图3),我们来分 析随着n的增加,Xn, Yn的变化情况.图2Po点是稳定的数量Xi给定后,价格yi由曲

29、线f上的Pi点决定,下一时段的数量X2由曲线g 上的P2点决定,这样得到一序列的点Rxi,yi, P2X2,y2, P3X3,y3, P4X4,yQ,在图2上,这些点将根据箭头所示方向趋向 Poxo,y.,说明 Poxo,yo是稳定的平衡点,意味着市场经济W品的数量和价格将趋向稳定.但是如果需求函数和供应函数由图 3的曲线所示,那么类似的分析发现,市场 将根据 PXi,yi, P2X2, y2, P3X3,y3, P4X4, y4,的规律变化为远离 PoXo,yo,即PoXo,yo是不稳定的平衡点,市场经济趋向不稳定.图3 Po点是不稳定的图2和图3中折线RP2P3P4形似蛛网,丁是这种用需求

30、曲线和供应曲线分 析市场经济稳定性的图示法在经济学中被称为 蛛网模型.实际上,需求曲线f和 供应曲线g的具体形式通常是根据各个时段商品的数量和价格的一系列统计资 料得到的.一般地说,f取决丁消费者对这种商品地需要程度和他们地消费水平, g那么与生产者的生产水平,经营水平等因素有关.下面来解释此模型的实际意义.首先来考虑参数,的含义.需求函数f的斜率取绝对值：表示商品供应量减少i个单位时价格的上涨幅度；供应函数g的斜率：表示价格上涨1个单位时下一时期商品供应增加量.的值反映消费者对商品需求的敏感程度. 如果这种商品是生活必需品,消 费者处丁持币待购状态,商品数量稍缺,人们立即蜂拥购置,那么会比较

31、大；反之,假设这种商品非必需品,消费者购物心理稳定,或者消费水平低下,那么 会 比较小.的数值反映生产经营者对商品价格的敏感程度. 如果他们目光短浅,热衷 丁追逐一时的高利润,价格稍有上涨立即大量增加生产,那么 会比较大；反之, 假设他们目光长远,贝U 会比较小. 根据,的意义很容易对市场经济稳定与否的条件作出解释.当供应函数g的斜率 固定时, 越小,需求曲线越平,说明消费者对商品 需求的敏感程度越小,越有利丁经济稳定.当需求函数f的斜率 固定时, 越小,供应曲线越陡,说明生产者对价格 的敏感程度越小,越有利丁经济稳定.反之,当,较大,说明消费者对商品的需求和生产者对商品的价格都很敏 感,那么会导致经济不稳定. 经济不稳定的解决方案当市