张量分析报告

1、爱因斯坦求和约定1.1 指标变量的集合：Xi,X2,Xnyi,y2,.,yn表不为：Xi,i 1,2,3,.,nyj,j 1,2,3., n写在字符右下角的 指标,例如Xi中的i称为下标.写在字符右 上角的指标,例如yj中的j称为上标；使用上标或下标的涵义是不 同的.用作下标或上标的拉丁字母或希腊字母,除非作了说明,一般取 从1到n的所有整数,其中n称为指标的范围.1.2 求和约定假设在一项中,同一个指标字母在上标和下标中重复出现,那么表示要对这个指标遍历其范围1, 2, 3, !求和.这是一个约定,称为 求和约定.例如：A1X1A2X2A3X3b1A1XA22 X2A3X3b2A1XA32

2、X2A34b3筒写为:哑指标i自由指标,在每一项中只出现一次,一个公式中必须相同遍历指标的范围求和的重复指标称为“哑标或“伪标 .不求 和的指标称为自由指标.1.3 Kronecker-符号(克罗内克符号)和置换符号Kronecker- 符号定义1 当i jji ij 0 当i j ijk 置换符号k e定义为：1 当 i, j, k是 1,2,3的偶置 换(123,231,3 12)eijk ejk1 当 i,j, k是 1,2,3的奇置换(213,132,321)0 当i, j, k的任意二个指 标任意i,j,k的这些排列分别叫做循环排列、逆循环排列和非循环排列.置换符号主要可用来展开三阶

3、行列式：1 3 22 133 1 2aa2a3w a2a3a1a2a3因此有:i2a2i3a3 aiimAmj同时有：ii112233ik kjijij ijiiij jk klilaikkjaja.j a. ana?2a33eiejijiii2i3j1j2j3kik2k3iijikii2j2k2i3j3k33i323302i2i2223i2i3Plqi0k epqri1 p10k epqrHrj1k1i2iPjPkPiqjqj2k2j3k3P2P3P2i3P3i1P1iqjqkqirjrirjrkriqjrirq2q3jqiPr2311312313322323311322333312 323

4、 331332313a21332313 322331312 3213333n323 3320k31i32j33k0k3i13j23k3Kronecker-和置换符号符号的关系为：ekjekstis jt js it张量代数2.1 张量的加法减法两个同阶、同变异结构的张量可以相加或相减.张量相加或 相减是相加或相减其同名的分量设A；k,B是张量,那么Ajk Ajk BjkCijk Ajk Bjk4nx T也是张量.可以证实,张量相加减的结果是一个同阶同变异张 量.B1 x -y mn x iXAjk yBjk y端yyjc1 xJmn x2.2 对称张量、斜对称张量1对称张量假设张量满足如下的关

5、系式：Aj Aji这样的张量称为二阶对称张量.例如,根本度量张量和相伴度量张量都是对称张量.2斜对称张量假设张量满足以下关系式：Aij Aji那么称为二阶斜对称张量.斜对称张量也称为反对称张量.3二阶张量的分解任何一个一般二阶张量都可以分解成一个对称张量和一个反对称张量之和,即:GjAjBjAjBij1 C 21 C 2j Cjij CjiAji1八 -2 Cji Cij Bji4高阶张量的对称和反对称高阶张量可以是关于一对下标或上标对称或反对称.例如置换张量,它关于任一对下标是反对称的:ijk jik, ijk ikj, ijk kji2.3 张量的乘法两个张量的外积是将它们的分量相乘.这样

6、的运算产生一个新张 量,其阶数是相乘两张量的阶数之和.设Aj、Bk是张量,那么外积CjAjBkAnnmnAj y 苗 yCkyx xlij Amn x B xy ykmnyxx y-1ij Cj xxyy张量乘法的性质：张量的乘法是不可交换的.由几个张量连乘的乘积,那么乘积张量中指标排列的次序由连乘张 量的排列次序确定.CijkAjBkCkij BkAj张量Cjk与张量Ckij不相等.假设Aj是对称张量,Bij是斜对称张量,可以很容易证实,它们的 乘积等于0,即:ABij 0由于置换张量是关于任一对指标的反对称张量,因此它与任何一个二阶对称张量的乘积等于0.2.4张量的缩并、内积在混合张量中,

7、使一个上标和一个下标相等,然后按求和约定求 和,这样的运算,称为缩并.每一缩并,得到一个新张量,比原张量设Ajkj是一个四阶混合张量.作缩并运算,那么Ai jik Bjki q r sPA qrs X筋y x x xAjkj y-pmx y y y假设令指标i与k相等,可得:i q r s?iy x x x A pA jij y p j p A qrs x x y y yxqyjsX八pj- A qrs xy缩并运算可以应用于任意阶混合张量.还可将乘法和缩并结合起来形成新张量,这种运算称为两张量的内乘法,得到的张量称为该两张量的内积.如:c A Bj三张量的扩展3.1 基矢量的偏导数与克里斯托

8、弗(Christoffel)符号求一个矢量的导数,必须对它的各个分量与基矢量乘积之和求导：V xjgi,jiiiv gi ,j v ,j gi v gi,jiVi gi . Vi,j gi Vi g ,j ,jxjk z . Ikxzxj xi可以看出基矢量gi对于坐标xj的偏导数也是矢量,它也可以分成沿对偶基矢量或基矢量方向的分量：guk kijk g j gk式中：ijk是沿gk方向的分量；称为第一种克里斯托弗符号；kij是沿gk方向的分量；称为第二种克里斯托弗符号.llgi,j gk 跖 g gk 跖 k 球gi,j gk C gl gk 匕 1k 43.2 Hamilton 算子记v

9、= gi 由于可知算子V服从向量的定义.设伊 为三维区域a中的标量场,关于仍 的左右梯度为v仍-d*序-的巴内-诃鸟.g为2其中 西,下标中的逗号表示对其后坐标的微商,洛从上述两式可以看出标量的左右梯度相等.设龙 为三维区域.中的向量场,关于 M 的左右散度为 L r , ,一 一I.从上面两式可以看出向量的左右散度相等.关于向量场的左右旋度为1 J一一对于感的左右旋度,有关系式N33N .标量场螭的Laplace算子, 为,守印二伊名马3产H = %序p =向量场0的Gauss公式为其中ar?为区域 的边界曲面,杰=用去,施为80 上的单位 外法向量.向量场症的Stokes公式为JJVy.a

10、 ds = ja dr*这里S为任意曲面,的 为s的边界曲线,在边界 的 上积分的 环向与$的外法向点依右手定向规那么：施指向观察者,从观察者来 看,曲线沿反时针为正.第二局部张量:的简单运用张量分析在许多领域有着广泛的应用,现在所学的弹塑性力学就有简单的运用介绍,而且张量分析在岩石流变中的应用也非常有意义.岩石流变本构方程在小变形情况下有：s = Q I.=一,), (r = l,2,-,n)式巾,心忧和g分别为丰弹性应变偏张量、弹性应变偏张量和偏应变张量小为偏应力张量：丁用0分别为第个内变量及其对应的.义内摩擦力严和平间满足如下关系.门什一12,n)de式中,:为广义时间；心由如5定义在车弹性应变空间中两相邻状态间的正离决皂= drjidi?尸(夕口讨：叫/)式中,M为四汾损伤效果张量；对于初始各向同性材料1和“外口:表示为,r - 1.2,)省/) = &(/),式中,和巴(J)是材料参数：乙为四阶单位张量口采用下式决定的广义时间标度 dqdz-尸r微分式(2),得&Q )= dW : AT 匚 0 + c；xdcr - 4大0旧 + c M : dr式中,见为材料参数；吟(4)当0时,由图1看出p：=小那么式可表示为当十冲如上所述,岩石流变在引进了张量分析后,其表达变得很简便, 便于计算和学习.第三局部张量分析的展望首