有关球的高考题

1、1.（2014陕西高考理科T5）已知底面边长为1,侧棱长为v2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（）A.亨兀兀D.【解题指南】根据截面圆半径、球心距、球半径构成直角三角形，满足勾股定理，求出球的半径，代入球的体积公式求解.【解析】选D.由正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，可设正四棱柱的上底所在截面圆的半径为R,则需+R；=1可得可十;又侧棱长为,所以球心到截面圆的距离d=f由截面圆半径、球心距、球半径构成直角三角形，根据勾股定理得球半径RJR；+彘=P二=1,代入球的体积公式得球的体积为事.YN斗2 .（2016全国卷n文科T4）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表

2、面积为（）32nB.支汽汽 3【解题指南】利用正方体的体对角线就是球的直径求解【解析】选A.因为正方体的体积为8,所以正方体的棱长为2,其体对角线长为2石，所以正3.（2015新课标全国卷n理科T9）已知A,B是球O的球面上两点，/AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为（）冗冗冗冗【解题指南】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O-ABC的体积最大，利用VO-ABC=VC-AOB列出关于半径R的方程，求出球的半径，然后求出球的表面积.【解析】选C.如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O-ABC的体积最大，设球O的半径为

3、R,此时Vo-ABc=Vc-AOBX【R2XR=lR3=36，故R=6,326则球O的表面积为S=4%R2=144兀.4 .（2016全国卷田文科T11）与（2016全国卷3理科T10）相同在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB，BC,AB=6,BC=8,AA1=3，则V的最大值是（）9兀32兀nB.yDD.【解题指南】注意当球和直三棱柱的三个侧面内切时，球已不在直三棱柱内【解析】选B.当球的半径最大时，球的体积最大.在直三棱柱内，当球和三个侧面都相切时，因为AB，BC,AB=6,BC=8,所以AC=10,底面的内切圆的半径即为此时球的半径尸6810=2,直径为4侧棱

4、.所以球的最大直径为3，半径为-，此时体积V=电.222方体的外接球的半径为百，所以球的表面积为4汽（石）2=12支.5.（2010辽宁高考文科T11）已知S,A,B,C是球O表面上的点，SA，平面ABCABLBC,SA=AB=1,BC=72，则球O的表面积等于（）（A）4（B）3（C）2（D）【命题立意】本题考查了空间两点间距离公式和球的表面积公式I建立空间坐标系 f 设球心坐标k球的半径一球的表面积【规范解答】选A.QSA 平面ABCAB,AC平面ABC,SAAB,SAAC,故可以A为原点，AC所在的直线为y轴，AS所在的直线为z轴建立如图所示的空间直坐标为(X0,y0,z0),则点O到各

5、顶点S,A,B,C的距离相等，都等于球的半径R.2222X0yZ0R62322_2(X0)(y0)(Z00)R33,(X00)2(y03)2(Z00)2R2(X00)2(y。0)2(Z01)2R2一八31-2,解得X00,y0-2-,Z02,R1,2球的表面积为4R414.故选A.【方法技巧】1.选用球心到各顶点的距离都相等来确定球心，才能求出半径，2.也可用另外的方法找到球心，因为/ABC是直角，所以AC是过A,B,C三点的小圆的直径，所以球心在过AC和平面ABC垂直的平面上，可知球心在平面SAC中，又因为球心到点S,A,C的距离都相等，且SAC是直角三角形，所以球心就是斜边SC的中点，球的

6、半径为SC的一半，3.另外，可将三棱锥S-ABC补成一个长方体进行求解.6.(2010海南宁夏高考理科T10)设三棱柱的侧棱垂直于底面， 所有棱的长为a,顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()7c11cc(A)a2(B)7a2(C)11a2(D)5a233【命题立意】本小题主要考查了几何体的外接球问题.角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(咚,go),C(0，O。),S(0,0,1),设球心O【思路点拨】找出球与棱柱的相应关系，找出球的半径与三棱柱棱长之间的关系.【规范解答】选 B.设球心为 O,设正三棱柱上底面为 ABC,中心为 O,因为三棱柱所有棱的长为a,则可知 OOa,OA，3

7、a,又由球的相关性质23可知，球的半径RJOO2OA2Ya,所以球的表面积为4R27a2,故63选B.7.(2011辽宁高考文科T10)已知球的直径SC=4,A,B是该球球面上的两点，AB=2,ZASC=ZBSC=45,则棱锥S-ABC的体积为(A)-1(B)”(C)g(D)333【思路点拨】找到直径 SC 的垂截面是解决本题的关键.【精讲精析】选C,设球心为O,则AO,BO是两个全等的等腰直角三角形斜边上的高，斜边SC4,故 AOBO2,且有 AO.一一1一,“、13,VSABCVSAOBVCAOB二5AOB(SOOC)一二3348.(2011辽宁高考理科T12)已知球的直径两点，AB=用,

8、ASCBSC30,则棱锥 SABC 的体积为()(A)3,3(B)2,3(C)3(D)1【思路点拨】找到直径 SC 的垂截面是解决本题的关键.5ABC 的体积等于以ABH为底的两个小三棱锥的体积的和，其高的和即为)533224t3SC=4,A,B是该球球面上的【精讲精析】选C.由题意可知SAC 和 SBC 是两个全等的直角三角形，过直角顶点A,B分别作斜边上的高线AH,BH,由于 ASCBSC30,求得AHBH73,所以等边 ABH 的面积为SABH(73)2,所求棱锥449.(2011新课标全国高考理科T15)已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且 AB6,BC2 出，则棱锥O

9、ABCD的体积为球的直径 SC 的长，故VSABCSABC3.3SC为球O的直径，且SC=2,则此棱锥的体积为（）体积.【答案】8.3个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的 A,则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为16锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1的正三角形,_1【精讲精析】如图所示，OO 垂直于矩形ABCD所在的平面,10.（2011新课标全国高考文科T16）已知两个圆锥有公共底面，且两【思路点拨】画出图形，利用数形结合，然后利用球及圆的性质求解【精讲精析】如图设球的半径为R,圆锥的底面圆半径为r,则依题意得【答案

10、】3(B)A.反66(C)【思路点拨】画出图形，找出球心位置，然后数形结合求出棱锥O-ABCD的垂足为 O,连接 OB,OB,则在 RtOOB 中，由OB=4,OB2“，可2J328,3.11行 00=2,VOABCD-SOO鼻633232r3r一4R,即一cosOCO,16R211.（2012新课标全国高考理科T11）已知三棱,23(D)OCO30,1OO-R,2AOR1八1-R,BOR-R,22【解题指南】思路一：取AB的中点为D,将棱锥分割为两部分，利用VVBCDSVACDS求体积；思路二：设点 O 到面 ABC 的距离为d,利用、，1一VSABC2d3ABC求体积;思路三：利用排除法求

11、解.【解析】选A.方法一：QSC 是球O的直径，CASCBS90sinCDS故QBABCACASBS点，取AB的中点为D,显然ABCD,ABSD,AB平面CDS.cosCDSCDSCD*2DSSC2,利用余弦定理可得VVBCDS方法d.R2r2二 21122VACDSABC.JSC 为球 O 的直径42,331SCDSBD+-SCDS3,r的外接圆的半径AD、.31二SCDS3BA3,点 O 到平面 ABC 的距离点 S 到平面 ABC 的距离为2、/62d3,此棱锥的体积为V3sABC2d3TW6A1.3方法三：3ABC，排除BCD.12.(2013新课标I高考理科T6)如图，有一个水平放置

12、的透明无盖的正方体容器，容器高8cm,将一个球放在容器口，再向容器内注水积为()【解题指南】结合截面图形，构造直角三角形，利用勾股定理列出关于球半径的方程，求出球半径，再利用V4R3求出球的体积.3【解析】选A.设球的半径为R,由勾股定理可知，R2(R2)242,解得R5,所以球的体积V4R3453也(cm2)33313.(2012新课标全国高考文科T8)平面截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面口的距离为啦，则此球的体积为()(A)6兀(B)43%(C)4乖兀(D)6小兀【解题指南】利用球心到截面的距离、截面圆的半径、球的半径之间满足勾股定理求得球的半径，然后利用公式求得球的体积【解析】

13、选B.设球O的半径为R,则R舟(河28,故V球4R3433当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度，则球的体A.50cm3B.cm333C.吟m3314.（2012辽宁高考文科T16）已知点巳A,B,C,D是球O表面上的点，PL平面ABCD四边形ABCD边长为2妻的正方形.若PA=2褥,则aOAB的面积为.【解题指南】注意到已知条件中的垂直关系，将点P,A,B,C,D看作长方体的顶点来考虑.【解析】由题意，PA1平面ABCD则点P,A,B,C,D,可以视为球O的内接长方体的顶点，球O位于该长方体的对角线的交点处，那么OAB的面积为长方体对角面的四分之一【答案】3315.（201

14、3辽宁高考文科T10）与（2013辽宁高考理科T10）相同已知三棱柱ABCAB1C1的6个顶点都在球 O 的球面上，若AB3,AC4,ABAC,AA12,则球 O 的半径为（）【解题指南】对于某些简单组合体的相接问题，通过作出截面，使得有关的元素间的数量关系相对集中在某个平面图形中。【解析】选C.由题意，结合图形，经过球心。和三棱柱的侧棱中点的大圆，与三棱柱的侧棱垂直，三棱柱的底面三角形ABC直角三角形,其外接圆的圆心 O为其斜边BC的中点，连接OA,OO,OA,由勾股定理，OA2OO2OA2QQAAB22.33PAA22.66,POOABLDM223366=333其中。AR,。2AA6QA；

15、BC5,所以球。的半径为16.（2013新课标I高考文科T15）已知H是球。的直径AB一点，AH:HB=1:2,AB，平面，H为垂足，截球。所得截面的面积为兀，则球。的表面积为.【解析】因为截球。所得截面的面积为兀，所以截面的半径为1.设球的半径为R,则AH2R,BH”，由勾股定理得12昌2R2,解得333R29.所以球。的表面积为4R2-.82217.（2013大纲版全国卷高考文科T16）与（2013大纲版全国卷高考理科T16）相同已知圆。和圆K是球。的大圆和小圆，其公共弦长等于球。的半径，QK3,且圆。与圆K所在的平面所成角为60,则球。的表面积等于2【解题指南】解决本题要明确球大圆是指球

16、的切面过圆心的圆.根据题意画出图形，确定圆。与圆K所在平面的二面角，构造直角三角形求出半径长.【解析】如图，设公共弦 MNR,E为 MN 的中点，贝UQEMN,KEMNOEK 为圆。与圆K所在平面的二面角所以OEK60,又 OMN 为等边三角形,所以OER.又因为OK3,OKEK,22所以OEsin6009,即叵虫3.2222解得R2,所以S4R216.【答案】1619.（2013天津高考文科T10）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若球的体积为,则正方体的棱长为【解题指南】先根据球的体积求出半径，再根据球的直径与其内接正方体对角线的相等关系求其棱长.【解析】设球半径为R,因为球白体积为4R3上，所以R=3,又由球322的直径与其内接正方体对角线的相等知正方体的对角线长为3,故其棱长为3.【答案】-.320.（2013福建高考理科T12）已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是.【解题指南】如果考球，我们只要清楚一个结论，