分段函数的几种常见题型及解法

1、函数的概念和性质考点分段函数分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内，有不同的对应法则的函数它是一个函数，却又常常被学生误认为是几个函数；它的定义域是各段函数定义域的并 集，其值域也是各段函数值域的并集由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用，时常在高考试题中“闪亮”登场，本文就几种具体的题型做了一些思考，解析如下：1 求分段函数的定义域和值域2x+2 x可1,0;例 1 求函数f(x)二 弓x x(0, 2);的定义域、值域3 x 2，：);2 求分段函数的函数值|x-1| -2，(|x|)17，(|x|1)J+x3 求分段函数的最值例 2 .已知函f(

2、x)二4x 3 (x乞0)I例 3求函数f(x)二x 3(0：x1)的最大值-x 5 (x 1)4 求分段函数的解析式函数y = f (x)和y =g(x)的图象关于直线y = x对称,现将y=g(x)的图象沿x轴向左平移 2 个单位,再沿y轴向上平移 1 个单位,所得例 4.在同一平面直角坐标系中的图象是由两条线段组成的折线(如图所示)则函数f (x)的A.B.C.D.2x+2(1兰x兰0)百+2(0 x2)2x2(1兰x兰0)百-2(0 ex兰2)2x-2j(1兰xE2)纟+1 (2 ex兰4)2x-6 (1Ex2)b-3(2 0)A. (1,1) B. (T, 二)C. (-：, 2)J

3、(0, ：) D.(-二，-1)._：(1 -)2|(x+1)(x1)例 12设函数f(x),贝y使得f(x)_1的自变量x的取值范围为冲 -Jx T (x兰1)()A. (-,-2._：0,10B.例 8 判断函数f(x)=x3x(x _0) -X2(x : 0)的单调性.C.(-21,10D.-2,0一1,10例 10.设函数f(x)Plog8ixx (-：,1x (1,：)1则满足方程f (x)的x的值为_41.（ 2013 新课标全国I,5 分） 已知函数f（x）=llnx+1a的取值范围是（）C. 2,1A. Ig 101C. 1A. (a,0B.(a,12. (2013 福建,4

4、分) 已知函数2x3,x0,f(x)= tannx,0Wx2,则f f3.(2013 北京,5 分)log1x,24.(2012 江西,5 分)函数f(x)=2x,x1,则f(f(10)=()5.(2011 北京,5 分) 根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为c1 &xA（A,c为常数）. 已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟，组装第A件产品用时 15 分钟，那么c和A的值分别是（）A. 75,25B. 75,16C. 60,25D. 60,166. （2012 江苏，5 分）设f（x）是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间1,1 上,f（x）=ax

5、+1, 1Wxv0,bx+2R ,0WxW1，13其中a,b R 若f(?) =f(-)，贝U a+ 3b的值为7. （ 2011 江苏，5 分）已知实数0,函数f（x）2x+a,xv1,x 2a,x 1.若f(1-a)=f(1+a），贝U a的值为反馈练习2 x+ 2x,若|f(x)| ax,则,x 0.D. 2,0B.D.函数的概念和性质考点一分段函数分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内，有不同的对应法则的函数它是一个函数，却又常常被学生误认为是几个函数；它的定义域是各段函数定义域的并 集，其值域也是各段函数值域的并集 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上

6、有较好的作用型做了一些思考，解析如下:1 求分段函数的定义域和值域2x 2 x -1,0;例 1 求函数f（x）=*x x壬（0,2）;的定义域、值域3x2,址);【解析】2 求分段函数的函数值|x-1| -2，(|x|)【解析】3 求分段函数的最值时常在高考试题中“闪亮”登场，本文就几种具体的题作图，利用“数形结合”易知f（x）的定义域为-1,：），值域为（-1,3.例 2 .f(x) = t 1(|x| 1)求ff(4).因为f (i) t -1| -2 -3,所以ff（豹二fM）二11(-勿213x4x 3 (x空0)例 3求函数f(xZx 3 (0：x1)的最大值X 5 (x 1)【解

7、析】当X-0时，fmax(X)= f (0) =3,当0：X1时，fmax(X)= f (1) = 4,当x 1时,-X 5 :：-1 5 = 4,综上有fmax(x)二4.4 求分段函数的解析式例 4.在同一平面直角坐标系中,函数y = f(x)和y = g(x)的图象关于直线y =x对称，现将y=g(x)的图象沿x轴向左平移 2 个单位，再沿y轴向上平移 1 个单位，所得【解析】当x -2,0时，y二舟x 1,将其图象沿x轴向右平移 2 个单位，再沿y轴向下得解析式为y二弓(x -2) 1 -1詔x -1, 所以当0,1时，y=2x，1,将其图象沿x轴向右平移 21 个单位，得解析式y =

8、2(x-2) 1-1 =2x-4, 所以2x + 2 (1兰x兰0)综上可得f(x)*2(0*2)，故选A5 作分段函数的图像例 5函数y二e|lnJ|x -1|的图像大致是()的图象是由两条线段组成的折线(如图所示)则函数f (x)的表达式为()A.B.C.D.2x+2Jr(1兰x兰0)住+2(Ocx兰2)2x-2r(1兰xWO)-21.2乙(0 ex兰2)(2x2 (1兰xM2)1+1(2 v x兰4)2x-6j(1兰x兰2)f-3(2 x4)f(x)=f(x)二f(x)二f (x)二平移1 个f( x卜2x个单位，再沿f(x)=2x 22 x一,单位，(x 0, 2),y轴向下平移1解析

9、：在定乂范围讨论，当0 x1 时y= 1，故选 Dx6 求分段函数得反函数例 6 已知 y =f(x)是定义在R上的奇函数，且当X 0时，f(x)=3X1, 设f(x)的反函数为y=g(x),求g(x)的表达式.【解析】设x：0,则-x 0,所以f(-x)=3-1,又因为f (x)是定义在R上的奇函数，所以f(-x) = -f(x),且f(0)=0,所以f(x)=1-3：因此3X-1 (x 0) f(x)=0(x=0),J-3(x0)log3(x+1) (XA0)从而可得g(x) = 0(x = 0)I-log3(1 -x)(x： ：0)7 判断分段函数的奇偶性2x (x T)例 7 判断函数

10、f(x)2-X (x+1)(xc0)(X0)的奇偶性.【解析】当x 0时,-x0,f (-X)二-(-x)2(-x 1) = x2(x -1) = f(X), 当X = 0时,2 2f(一0) = f (0) = 0, 当x：0,-x 0,f (-X)= (-X)(-x T) - -x (x 1) = f (x)因此,对于任意x R都有f ( X)二f (x),所以f (x)为偶函数.&判断分段函数的单调性工X X ( X 0)例 8判断函数f(x)的单调性i_x2(xcO)【解析】 2显然f (x)连续当x_0时，f (x) =3x1_1恒成立，所以f(x)是单调递增函数，当x：0时

11、，f(x)=-2x0恒成立，f (x)也是单调递增函数，所以f(x)在R上是单调递增函数；或画图易知f (x)在R上是单调递增函数例 9 写出函数f(x) =|1 2x| |x|的单调减区间.-3x 1(X)【解析】f (x 3 x (-$：X :：2)，画图易知单调3x -1 (x_2)减区间为(一：，一勻.9 解分段函数的方程2=x壬(一11i例 10.(01 年上海)设函数f (X)，则满足方程f(x)的x的log8ix(1)4值为_【解析】若2*=*，则2=2=得x=2T：，1，所以x=2(舍去)，若log81i，则x=814，解得x=3(1，=)，所以x= 3即为所求.10 解分段函

12、数的不等式2-1 (x0)例 11 设函数f(x)二1，若f (x0) 1，则x0得取值范围是()x2(XA0)围是（一咛-1）一（1,=）.【解析 2】因为f（Xo） 1,当X。乞0时，20-1 .1,解得X。：-1,当Xo0时,1X021,解得X01,综上X0的取值范围是（一_1）一（1：）.故选 D.2l(x十1)(X : 1),例 12设函数f(x)=,贝y使得f（x）兰1的自变量X的取值范围为A-y/x -1(X1)()A.(-二，-2一0,10B.(：，-2一0,1C.(-：，-2一1,10D.-2,0 1,10【解析】当X 1时，f (x) _ 1 = (x 1)2_ 1 = x

13、 _ -2或x _ 0, 所以X - -2或0岂x：1, 当x-1时，f(x) _1二4 - .1 _1= .1 _3二x _10, 所以1_x_10, 综 上所述,x_-2或Ox乞10,故选 A 项.【点评：】以上分段函数性质的考查中，不难得到一种解题的重要途径，若能画出其大致图像,定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等问题就会迎刃而解，方程、不等式等可用数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解，使问题得到大大简化，效果明显.反馈练习2一x+ 2x,x 0.C. （-：,-2）一（0,：）D.（一P,1）（1,）易知f（x0） .1时，所对应的x0的取值范若 |f(x)| ax，

14、则a的取值范围是()A. (g,0C. 2,1D. 2,0解析：本题考查一次函数、二次函数、对数函数、分段函数及由不等式恒成立求参数的取值范围问题，意在考查考生的转化能力和利用数形结合思想解答问题的能力.当x0 时,2 2 2 2f(x) =x+ 2x= (x 1) + 1 ax化简为x 2xax,即x(a+ 2)x, 因为xw0,所以a+ 2x恒成立，所以a 2；当x0 时，f(x) = ln(x+ 1) 0,所以 |f(x)| ax化简为 ln(x+ 1) ax恒成立，由函数图象可知a 0,综上，当一 2waax恒成立，选择 D.答案：D2x3,x 1,3.( 2013 北京，5 分)函数

15、f(x) = 5_2的值域为.2,x 1 时，log1xw0,当x1 时，02x1,A. lg 101B. 2C. 1D. 02B.( g, 1n=tan4=1，解析：f(10) = lg 10 = 1,故f(f(10)=f(1) = 1 +1 = 2.答案：B5.( 2011 北京，5 分)根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为b+ 2由f( 1) =f(1)，得一a+ 1 =，故b= 2a.由得a= 2,b= 4,从而a+ 3b= 10.答案：102x+a,xv1,7. (2011 江苏，5 分)已知实数az0,函数f(x)若f(1 a) =f(1x 2a,x 1.+a)，贝 Ua的值为_ .解析：当 1 av1,即卩a0 时，此时a+ 1 1,由f(1 a) =f(1 +a)，得 2(1 a)3+a= (1 +a) 2a,计算得a= (舍去)；当 1 a 1，即卩av0 时，此时a+ 1v1,由3f(1 a) =f(1 +a)，得 2(1 +a) +a= (1 a) 2a,计算得a= 4 符合题意，所以综上 所述，a= 4.答案：-3(A,c为常数).已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟，组装第A件产品用时 15 分钟，那么c和A的值分别是()A. 75,25B. 75,16解析：因为组装第ccA件产品用时15分钟，所以一人=15(1)