均值不等式公式总结材料及应用

1、实用标准均值不等式应用1.(1)2.(1)若 a,b R，则 a2 b22_2ab(2)若 a,b R，则 a： b22若 a,b 二 R*，则-_ _ . ab (2)若 a,b ：= R*，则 a b _ 2 一 ab2（当且仅当a = b时取“=”）（当且仅当a = b时取“=”）(3)若 a,b 二 R*,（当且仅当a二b时取“=”文案大全13.若x .0,则x 2（当且仅当x =1时取“=”）x1若x ：0 ,则x2（当且仅当x - -1时取“=”）x若X H0，贝y X +1 >2即x+丄兰2或x +丄兰-2 （当且仅当a = b时取“=”XXX4. 若ab 0，则a . b

2、 _2(当且仅当a =b时取“=”)b a若ab式0，则a + b >2即a +- >2或a + b兰-2（当且仅当a = b时取“=”）b a b a b a2 25. 若a,b R，则（_a b）2乞a L （当且仅当a = b时取“=”）2 2（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”（3）均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用应用一：求最值 例1 :求下列函数的值域解：(1)y = 3x2+ 2p

3、=6 值域为6 ,12x 22(1) y = 3x2 + * (2) y = x+1t丄1(2)当 x > 0 时，y = x+ - X1当 x v 0 时，y = x+_ =( x值域为( a, 2 U 2 ,解题技巧 技巧一：凑项5A例已知x，求函数y =4x-2 的最大值。44x5解:因4x -5 0 ,所以首先要“调整”符号，又（4x -2卅才七不是常数，所以对4x - 2要进行拆、凑项,；x ： * 55_4x 0,41当且仅当5 _4x =，即X =1时，上式等号成立，故当x =1时，ymax = 1。54x评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。技巧二：

4、凑系数例1.当.4时，求y =x(8-2x)的最大值。解析：由L - < -知，5二：.：，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。 注意到2x(8_2x) 8为定值，故只需将y=x(8_2x)凑上一个系数即可。 = xC8-2x) = l2x- (8-2鋼丐严込2 =&当：，即x= 2时取等号当x= 2时，y=x(8-2x)的最大值为8。评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。3变式：设0 ： x，求函数y =4x(3-2x)的最大值。23解：T 0 ： x :-2*2x+3-2

5、x Yii 2 丿 3 -2x 0-4x(3 -2x) =2 2x(3 -2x)乞 2当且仅当2x=32x,即x =0,3 i时等号成立。4 l 2丿技巧三：分离例3.求y二2x 7x 10x +1(X -1)的值域。解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有(x + 1)的项，再将其分离。/宀十10当1，即1 "-时，y _2(x 1)4 5 =9 (当且仅当x = 1时取“=”号)。Vx+1技巧四：换元解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x + 1，化简原式在分离求最值。(t -1)2 7(t 1)+10_t2 5t 4 丄 4 Ly二 t 5tt

6、t当 X > -l，即卩 t=龙+ n。时，y K2(t 辺4 +5 = 9 (当 t=2 即 x= 1 时取“=”号)。评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最A值。即化为y二mg(x)B( A 0, B 0) , g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。g(x)技巧五：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数f(xHx a的单调性。x例：求函数x 亠5的值域。x2 4解：令 '.X24 二 t(t _2)，则y£=E占计心)11 r因t 0,t1，但t 解得t = 1不在区间12, 二，

7、故等号不成立，考虑单调性。tt15因为y二t £在区间1,牡节；单调递增，所以在其子区间2牡辽为单调递增函数，故y_?°所以,所求函数的值域为5,:2，练习.求下列函数的最小值，并求取得最小值时,X的值.2x2 3x 1 z(1)y,(x 0)x(2)= 2sini,x (0,二)sin x2 .已知o : X ： 1 ,求函数的最大值3. 0 .： X |，求函数y = . x(2 -3x)的最大值.条件求最值1.若实数满足a b = 2，则3a3b的最小值是.分析：“和”到“积”是个缩小的过程，而且3a 3b定值，因此考虑利用均值定理求最小值,解：3a和3b都是正数,3

8、a 3b > 2 3a 3b当3a =3b时等号成立,ab由 a，b=2 及 3=3 得 a=b=1即当a = b =1时，3a 3b的最小值是6.1 1变式：若log 4 x log 4 y = 2，求的最小值.并求x, y的值x y技巧六：整体代换多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。192：已知x 0, y 0，且1,求x y的最小值。x y错解：t x >0, y >0 ,且+ =1，二 x + y =(丄 +三 jx + y )兰22/刃=12故(x+ y )min =12。错因：解法中两次连用均值不等式，在x y _2 xy等号成立条

9、件是x二y，在1 .£ 2 £等号成立x y 一 V xy19条件是即y =9X，取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用均值不等式处理问题时，列x y出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。正解：x 0,y0,x J1 + y 2 = xj2 2+ ; 分别看成两个因式: 9 =1，x y（19 ） y 9x.x y 二 x y10 _6 10 =16lx y 丿 x y当且仅当 丄二空时，上式等号成立,x yX y min 二16。又 19.1，可得 x=4,“12 时,x y变式：（1）若x, y R且2x y = 1，求丄亠1的最小值x

10、 y（2）已知a,b,x, y R且仝 2 =1，求x y的最小值x y技巧七2已知x, y为正实数，且x2+才=1，求x 1 + y 2的最大值.a 2 + b 2 分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式abw° 1=#2 x即 x 寸1 + y 2 = "；;2x2 + y2同时还应化简1 + y 2中y2前面的系数为2 ,技巧八:已知a, b为正实数，12b+ ab+ a = 30,求函数y=爲的最小值.分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调 性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本

11、不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。30 - 2bab =30- 2bb+ 122 b + 30bb + 1由 a > 0 得，0 v bv 152入2t + 34t 3116令 t = b+1, 1v t v 16, ab =1 = 2 (t +-p )+ 3416t + t >2 t t = 81 abw 18.y>当且仅当t = 4，即b= 3, a = 6时，等号成立。18法_:由已知得：30 ab = a + 2b/ a+ 2b>2 2 ab 30 ab> 2

12、 2 ab令 u = ab则 u2+ 2 2 u 30w 0, 5 2 w U w 3 2ab w 3 2 , abw 18,1y18ab_丄点评：本题考查不等式ab ( a,bR )的应用、不等式的解法及运算能力；如何由已知不等2式a 2b 30(a,b R )出发求得ab的范围，关键是寻找到a b与ab之间的关系，由此想到不等a 丰 KI式 -.ab (a,b R ),这样将已知条件转换为含ab的不等式，进而解得 ab的范围.2变式：1.已知a>0, b>0, ab (a + b) = 1，求a+ b的最小值。2.若直角三角形周长为 1,求它的面积最大值。3x + 2y的最值.

13、，本题很简单技巧九、取平方5、已知x, y为正实数，3x+ 2y = 10,求函数W=解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，3x + 2y w 2( 3x ) 2+( 2y ) 2 ="2 %'3x + 2y = 2 5解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和 为定值”条件靠拢。W> 0, W7= 3x+ 2y + 2 3x 2y = 10+ 2 3x 2y w 10+ ( 3x ) 2 ( 2y ) 2= 10+ (3x + 2y) = 20 Ww 20 = 2 5变式:求函数y = . 2x二1 g；5=

14、2x (丄：x ：总)的最大值。2 2解析：注意到2x - 1与5 - 2x的和为定值。y2 =(、2x -1.5 _2x)2 =4 2 、(2x _1)(5 _2x)乞 4(2x_1)(5_2x) =8又y 0,所以0 ： y岂2Q当且仅当2x - 1=5 - 2x，即x =?时取等号。故ymax = 2、- 2。评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积 极创造条件利用均值不等式。应用二：利用均值不等式证明不等式1已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a2 b2 c

15、2 ab bc ca1)正数 a, b, c 满足 a+ b+ c = 1，求证：(1 a)(1 b)(1 c) >8abc,(1V1Y1例 6 :已知 a、b、c. R，且 a，b，c=1。求证：111_ 8，2 Ab人。丿分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘，又1 _仁二匕仝竺，可由此变形入手。aa a a1 彳 1-a b c 2、bc12 ac 12 ab解._a、b、c = R , a“七"，c = 1。1。冋理 1,1 -a a a abb cc上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得丄_1!_1丄“ 一土耳逅=8。当且仅当a=b二cJ时取等号。a b ca b3应用三：均值不等式与恒成立问题19例：已知x 0, y 0且1，求使不等式 x，y_m恒成立的实数 m的取值范围。x y1 9解：令 x y 二k,x 0, y 0,1 ,x yx y 9x 9y A1.kx kyk