2020-2021学年高中数学北师大版必修1学案：2.5　简单的幂函数 Word版含解析

1、§5简单的幂函数知识点一幂函数性质与图像 填一填1幂函数如果一个函数，底数是自变量x，指数是常数，即yx，这样的函数称为幂函数2幂函数性质与图像所有的幂函数在(0，)上有定义，并且图像都过点(1,1)，如果>0，则幂函数的图像还过(0,0)，并在区间0，)上递增；如果<0，则幂函数在区间(0，)上递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图像与y轴无限接近；当x趋向于时，图像与x轴无限接近答一答1幂函数yx的图像在第一象限内有何特征？提示：幂函数yx的图像在第一象限内具有如下特征：直线x1，y1，yx将直角坐标平面在第一象限的直线x1的右侧分为三个区域()、()、()如

2、图：则(1，)yx的图像经过区域() ，如yx2；(0,1)yx的图像经过区域()，如y；(，0)yx的图像经过区域()，如y.并且在直线x1的右侧，从x轴起，幂函数yx的指数由小到大递增，即“指大图高”、“指小图低”，在直线x1的左侧，图像从下到上，相应的指数由大变小知识点二奇函数与偶函数 填一填3奇函数与偶函数(1)一般地，图像关于原点对称的函数叫作奇函数在奇函数f(x)中，f(x)与f(x)绝对值相等，符号相反，即f(x)f(x)；反之，满足f(x)f(x)的函数yf(x)一定是奇函数(2)一般地，图像关于y轴对称的函数叫作偶函数在偶函数f(x)中，f(x)与f(x)的值相等，即f(x)

3、f(x)；反之，满足f(x)f(x)的函数yf(x)一定是偶函数(3)当函数f(x)是奇函数或偶函数时，称函数f(x)具有奇偶性答一答2(1)若奇函数yf(x)在x0处有定义，则f(0)的值是否唯一确定？提示：若奇函数yf(x)在x0处有定义，由f(0)f(0)可知，f(0)0，故f(0)的值是唯一确定的，即一定有f(0)0.(2)偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反，最值相反吗？奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，最值相同吗？提示：偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反，最值相同；奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，最值不同1幂函数图像的分布特点和规律幂函数在第一象限内的图

4、像，在经过点(1,1)且平行于y轴的直线的右侧，按幂指数由小到大的关系幂函数的图像从下到上的分布2幂函数yx(r)的图像和性质(1)当>0时，图像过点(1,1)，(0,0)且在第一象限随x的增大而上升，函数在区间0，)上是单调增函数(2)当<0时，幂函数yx图像的基本特征：过点(1,1)，且在第一象限随x的增大而下降，函数在区间(0，)上是单调减函数，且向右无限接近x轴，向上无限接近y轴(3)当为奇数时，幂函数为奇函数；当为偶数时，幂函数为偶函数3奇、偶函数图像对称性的缘由若函数f(x)是奇函数，对函数f(x)图像上任一点m(x，f(x)，则点m关于原点的对称点为m(x，f(x)又

5、f(x)f(x)，则有m(x，f(x)，所以点m也在函数f(x)的图像上，所以奇函数的图像关于原点对称同理可证偶函数的图像关于y轴对称4奇、偶函数图像的几点说明(1)一个函数为偶函数，其图像一定关于y轴对称，但是却不一定与y轴相交(2)既是奇函数又是偶函数的函数图像在x轴上如y0，x1,1既是奇函数又是偶函数(3)从图像上看：函数的奇偶性体现的是对称性，单调性体现的是升降性(4)根据以上奇、偶函数图像对称性的特点可以解决已知奇、偶函数在某区间的部分图像，画出其关于原点或y轴对称的另一部分的图像问题.类型一幂函数的概念 【例1】已知函数y(m2m5)xm1是幂函数，求m的值，并写出函数解析式【思

6、路探究】幂函数的解析式形如yx(r)，幂值前面的系数为1，底数为x，r为常数【解】y(m2m5)xm1为幂函数，y可以写成yx(为常数)的形式，m2m51，解得m3或m2.当m3时，m14，此时yx4；当m2时，m11，此时yx1.规律方法 判断一个函数是否为幂函数，依据是该函数是否为yx(为常数)的形式幂函数的解析式为一个幂的形式，且满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.反过来，若一个函数为幂函数，则该函数也必具有上述形式，这是我们解决某些问题的一个隐含条件(1)以下四个函数：yx0；yx2；y(x1)2；y2·x中，是幂函数的有(b)a1个 b2个c3个 d

7、4个解析：形如yx(为常数)的函数为幂函数，所以只有yx0，yx2为幂函数(2)f(x)(m2m1)xm22m1是幂函数，则实数m2或1.解析：f(x)(m2m1)xm22m1是幂函数，所以m2m11，解得m1或2.类型二 幂函数的性质 【例2】幂函数yx中的取值集合c是1,0，1,2,3的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合c为()a1,0， b，1,2c1，1,3 d，1,2,3【思路探究】根据常见的幂函数的图像与性质进行逐一判断【解析】根据幂函数yx1，yx0，yx，yx，yx2，yx3的图像和解析式可知，当1，1,3时，相应幂函数的值域与定义域相同【答案】c规律方法 1.画幂函数的

8、图像时，可先画出其在第一象限内的图像，再由定义域、单调性、奇偶性得出在其他象限内的图像2幂函数图像的特征：(1)在第一象限内，直线x1的右侧，yx的图像由上到下，指数由大变小；在第一象限内，直线x1的左侧，yx的图像由上到下，指数由小变大(2)当>0时，幂函数的图像都经过(0,0)和(1,1)点，在第一象限内，当0<1时，曲线上凸；当1时，曲线下凸；当<0时，幂函数的图像都经过(1,1)点，在第一象限内，曲线下凸如图，图中曲线是幂函数yx在第一象限的大致图像已知取2，2四个值，则相应于曲线c1，c2，c3，c4的的值依次为(b)a2，2 b2，2c，2,2， d2，2，解析：

9、解法1：在第一象限内，在直线x1的右侧，yx的图像由上到下，指数由大变小，故选b.解法2：赋值法令x4，则42，4，42,4216，易知选b.类型三幂函数性质的应用 【思路探究】注意分情况讨论要做到不重不漏先根据条件确定m的值，再利用幂函数的增减性求实数a的取值范围【解】因为函数在(0，)上递减，所以m22m3<0，解得1<m<3.又因为mn，所以m1或2，由函数图像关于y轴对称知，m22m3为偶数，所以m1.把m1代入不等式得(a1) <(32a) .因为yx在(，0)和(0，)上均递减，所以有a1>32a>0或0>a1>32a或a1<0

10、<32a，解得<a<或a<1.即a的取值范围是(，1)(，)规律方法 作直线xm(m>1)，它与若干个幂函数的图像相交，交点从上到下的排列顺序正是幂指数的降序排列，故可利用其比较指数的大小(1)已知(0.71.3)m<(1.30.7)m，则m的取值范围是m>0.解析：根据幂函数yx1.3的图像，当0<x<1时，0<y<1，所以0<0.71.3<1，又根据幂函数yx0.7的图像，当x>1时y>1，所以1.30.7>1，于是有0.71.3<1.30.7，又(0.71.3)m<(1.30.7)

11、m，所以m>0.(2)已知幂函数yf(x)的图像过点(2，)，试求出此函数的解析式，并作出图像，判断奇偶性、单调性解：设幂函数解析式为yx，将点(2，)的坐标代入，得2，解得，所以函数的解析式yx.定义域为(0，)，它不关于原点对称，所以，yf(x)是非奇非偶函数当x>0时，f(x)是单调减函数，函数的图像如图下面用定义证明yx在(0，)上为减函数：设x1，x2(0，)，且x1<x2，则xx2x1>0，yy2y1<0，所以yx在(0，)上为减函数类型四函数奇偶性的判断 【例4】判断下列函数的奇偶性(1)f(x)x43x2；(2)f(x)x；(3)f(x)0，x(1

12、,1；(4)f(x)2x1.【思路探究】先确定函数的定义域是否关于原点对称，再看f(x)与f(x)之间的关系【解】(1)函数f(x)的定义域为r，关于原点对称f(x)(x)43(x)2x43x2f(x)，函数f(x)为偶函数(2)函数f(x)的定义域为x|x0，关于原点对称f(x)xf(x)，函数f(x)为奇函数(3)函数f(x)的定义域为(1,1，不关于原点对称，故函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数(4)函数f(x)的定义域为r，关于原点对称f(x)2(x)12x1±f(x)，函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数规律方法 1.用定义判断函数奇偶性的步骤是：2在客观题中，多个函数有

13、公共定义域时也可以利用如下性质判断函数的奇偶性：(1)偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；(2)奇函数的和、差仍为奇函数；(3)两个奇函数的积为偶函数，两个奇函数的商(分母不为零)也为偶函数；(4)一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)x3；(2)f(x)x；(3)f(x)；(4)f(x).解：(1)函数f(x)x3的定义域是(，0)(0，)，关于原点对称又f(x)x3f(x)，函数f(x)x3是奇函数(2)函数f(x)x的定义域是(，0)(0，)，关于原点对称又f(x)(x) xf(x)，函数f(x)x是奇函数(3)函数f(x)的定义域是r，关于原

14、点对称又f(x)f(x)，函数f(x)是偶函数(4)函数f(x)的定义域为2，不关于原点对称，该函数既不是奇函数也不是偶函数类型五利用函数奇偶性求函数的解析式 【例5】若f(x)是定义在r上的奇函数，当x<0时，f(x)x(1x)，求当x0时，函数f(x)的解析式【思路探究】解决本题的关键是利用奇函数的关系式f(x)f(x)将x<0时f(x)的解析式转化到x>0上同时要注意f(0)0.【解】f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)f(x)(x)1(x)x(1x)，当x0时，f(0)f(0)，即f(0)0.当x0时，f(x)x(1x)规律方法 1.解答本题时，很容易遗漏x0

15、的情况，在区间转化时要细心2利用函数的奇偶性求解函数的解析式，主要利用函数奇偶性的定义求解一般分以下三个步骤：(1)设所求函数解析式中所给的区间上任一个x，即求哪个区间上的解析式，就设x在哪个区间上(2)把所求区间内的变量转化到已知区间内(3)利用函数奇偶性的定义f(x)f(x)或f(x)f(x)求解所求区间内的解析式(1)已知f(x)ax2bx3ab为偶函数，其定义域为a1,2a，则a，b0.解析：因为f(x)ax2bx3ab是偶函数，且定义域为a1,2a，所以a12a0，a，所以f(x)f(x)恒成立所以bxbx，所以b0. (2)函数f(x)为r上的奇函数，且当x<0时，f(x)x

16、(x1)，则当x>0时，f(x)x(x1)解析：当x>0时，x<0，所以f(x)x(x1)x(x1)，又因为f(x)为r上的奇函数，所以f(x)f(x)，所以f(x)x(x1)，所以f(x)x(x1)易错误区函数奇偶性判断中的误区【例6】以下说法中：(1)函数f(x)5x2，x(3,3是偶函数(2)f(x)x3是奇函数(3)函数f(x)|x2|是偶函数(4)函数f(x)0，x2,2既是奇函数，又是偶函数正确的有()a(1)(2) b(1)(4)c(2)(4) d(3)(4)【错解】选b或选d【正解】c对于(1)，函数f(x)5x2，x(3,3的定义域不关于原点对称，故该函数是

17、非奇非偶函数，故(1)错误对于(2)，函数f(x)x3的定义域为(，0)(0，)，且能满足f(x)f(x)，所以是奇函数，故(2)正确对于(3)，函数f(x)|x2|是由f(x)|x|的图像向右平移了两个单位得到的，图像不关于y轴对称，所以(3)错误对于(4)，函数f(x)0，x2,2图像既关于原点对称又关于y轴对称，所以(4)正确，因此正确的只有(2)(4)【错因分析】1.忽视了处函数的定义域x(3,3不关于原点对称，出现只是根据f(x)f(x)而判定为偶函数的错误；2忽视了处函数f(x)|x2|的图像不关于y轴对称，出现只看到绝对值，就认为是偶函数的错误【防范措施】1.定义域优先的原则由奇

18、偶函数的定义，“对于函数定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)或f(x)f(x)”可知，具有奇偶性的函数的定义域必是关于原点对称如本例中(1)函数f(x)5x2，x(3,3的定义域不关于原点对称，所以不具有奇偶性2注意图像的变换一些常用的图像平移、变换要牢记，如本例中函数f(x)|x2|，就是要根据y|x|的图像特征来平移得到，因为函数y|x|的图像关于y轴对称，而向右平移2个单位后图像就不再关于y轴对称，故可得结论函数f(x)|x2|x1|是(c)a偶函数 b奇函数c非奇非偶函数 d既奇又偶函数解析：f(x)|x2|x1|当x2时，f(x)x2x13，当x1时，f(x)2xx13，当1<x<2时，f(x)2xx112x.画出图像如图由图知f(x)为非奇非偶函数一、选择题1下列所给函数中，是幂函数的是(c)ayx3 by3xcyx dyx21解析：幂函数的形式为yx，只有c符合2幂函数yx(r)的图像一定不经过(