2020-2021学年高中数学新教材人教B版必修第一册学案：3.1.3 第2课时　函数奇偶性的应用 Word版含解析

1、第2课时函数奇偶性的应用必备知识·探新知基础知识1判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法(1)_定义_法：若函数的定义域不是关于原点的对称区域，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点的对称区域，再判断f(x)是否等于±f(x)，或判断f(x)±f(x)是否等于零，或判断(f(x)0)是否等于±1，等等(2)_图像_法：奇(偶)函数的充要条件是它的图像关于原点(或y轴)对称(3)_性质_法：偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数

2、与一个偶函数的积为奇函数(注：利用上述结论要注意各函数的定义域)2f1(x)f(x)f(x)为偶函数，f2(x)f(x)f(x)为奇函数(注：f1(x)、f2(x)的定义域是关于原点对称的区间)3奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相_同_；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相_反_.基础自测1已知偶函数f(x)在区间(，0上单调递减，则满足f(2x1)<f()的x的取值范围是(a)abcd解析：由题意得|2x1|<，<2x1<，<x<，故选a2若函数f(x)x3，则函数g(x)f(2x)在其定义域上是(d)a单调递增的偶函数b单调递增的奇函数c单调

3、递减的偶函数d单调递减的奇函数解析：f(x)x3，g(x)f(2x)8x3.又g(x)8x3g(x)，g(x)为奇函数又f(x)x3为增函数，g(x)8x3为减函数3已知函数f(x)是奇函数，x>0时，f(x)1，则f(2)(c)a0b1c1d±1解析：设x<0，则x>0，f(x)1.f(x)是奇函数，f(x)f(x)f(x)1，f(x)1(x<0)f(2)1.4偶函数f(x)在区间0，)上的图像如图，则函数f(x)的增区间为_1,0和1，)_.解析：由图像可知当x0时，f(x)在0,1上单调递减，在1，)上单调递增，又f(x)为偶函数，f(x)的图像关于y轴

4、对称f(x)在1,0上单调递增，在(，1上单调递减故f(x)的增区间为1,0和1，)5若函数f(x)x2|xa|为偶函数，求实数a的值解析：函数f(x)x2|xa|为偶函数，f(x)f(x)，即(x)2|xa|x2|xa|，|xa|xa|，即|xa|xa|，a0.关键能力·攻重难类型利用奇偶性求函数值典例剖析_典例1(1)已知函数f(x)ax3bx6，且f(2)8，则f(2)_20_.(2)已知f(x)，g(x)均为r上的奇函数，且f(x)af(x)bg(x)2在区间(0，)上的最大值为8，则在区间(，0)上的最小值为_4_.思路探究：(1)可构造g(x)ax3bx，利用g(x)的奇

5、偶性求解(2)因为f(x)和g(x)的具体表达式并没有给出，因此应充分利用“f(x)，g(x)均为r上的奇函数”这一条件，构造一个新函数来间接求解解析：(1)方法一令g(x)ax3bx，易知g(x)是奇函数，从而g(2)g(2)由f(x)g(x)6，得f(2)g(2)68，g(2)14，g(2)g(2)14，f(2)g(2)614620.方法二由已知条件，得得f(2)f(2)12.又f(2)8，f(2)20.(2)由f(x)，g(x)均为r上的奇函数，知af(x)bg(x)为r上的奇函数由f(x)af(x)bg(x)2在(0，)上的最大值为8，得f(x)2af(x)bg(x)在(0，)上的最大

6、值为6.根据奇函数的性质可知f(x)2af(x)bg(x)在(，0)上的最小值为6，故f(x)af(x)bg(x)2在(，0)上的最小值为624.归纳提升：利用函数奇偶性求函数值的解题思路已知f(a)求f(a)的思路：判断f(x)的奇偶性或构造已知奇偶性的函数，利用奇偶性找出f(a)与f(a)的关系，若还有其他条件，可再利用其转化，进而求出f(a)对点训练_1已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(1)g(1)2，f(1)g(1)4，则g(1)_3_.解析：由题意知f(1)g(1)f(1)g(1)2，f(1)g(1)f(1)g(1)4，两式相加，解得g(1)3.类型含有参数的函数的奇偶性

7、的判断典例剖析_典例2设a为实数，讨论函数f(x)x2|xa|1的奇偶性思路探究：以a是否为0进行分类讨论解析：当a0时，f(x)x2|x|1，f(x)(x)2|x|1x2|x|1f(x)，当a0时，函数f(x)为偶函数当a0时，f(1)2|1a|，f(1)2|1a|，假设f(1)f(1)，则|1a|1a|，(1a)2(1a)2，a0，这与a0矛盾，假设f(1)f(1)，则2|1a|2|1a|这显然不可能成立(2|1a|>0，2|1a|<0)，f(1)f(1)，f(1)f(1)，当a0时，函数f(x)是非奇非偶函数归纳提升：判断含参数的函数的奇偶性时，应注意对参数进行分类讨论，若函

8、数为非奇非偶函数时，可用特值法进行判断对点训练_2已知函数f(x)x2，常数ar，讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由解析：当a0时， f(x)是偶函数；当a0时， f(x)是非奇非偶函数函数f(x)的定义域为(，0)(0，)，定义域关于原点对称当a0时， f(x)(x)2x2f(x)，函数f(x)为偶函数当a0时，f(1)1a，f(1)1a，f(1)f(1)，f(x)不是偶函数f(1)f(1)20，f(1)f(1)，f(x)不是奇函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数类型函数奇偶性与图像的对称性的综合应用典例剖析_典例3(1)定义在r上的函数f(x)在(，2)上是增函数，且f(x2)为偶函数

9、，则(a)af(1)f(3)bf(0)f(3)cf(1)f(3)df(0)f(3)(2)设f(x)是定义在r上的奇函数，且f(x)的图像关于直线x对称，则f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)_0_.解析：(1)因为f(x2)为偶函数，所以其图像关于y轴对称，由于f(x2)的图像可由f(x)的图像向左平移2个单位长度得到，故f(x)的图像关于直线x2对称因为函数f(x)在(，2)上是增函数，所以f(x)在(2，)上是减函数，所以f(1)f(5)f(4)f(0)f(3)(2)由f(x)是r上的奇函数，得f(0)0.f(x)的图像关于直线x对称，于是f(x)f(1x)，f(1)f(0)0，f(2

10、)f(1)f(1)0，f(3)f(2)f(2)0，f(4)f(3)f(3)0，f(5)f(4)f(4)0，从而f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)0.归纳提升：(1)解决函数奇偶性与图像的对称性的综合问题时，要注意把已知函数的奇偶性按定义转化，再判断函数图像的对称轴或对称中心，也可利用图像变化关系得出函数图像的对称性总之，要充分利用已知条件进行适当转化(2)关于函数的对称性函数f(x)若对于任意xr，a是常数，关于直线xa对称：f(ax)f(ax)(f(2ax)f(x)，关于点(a，b)对称：f(ax)f(ax)2b(f(2ax)f(x)2b)，特别地：关于点(a,0)对称，则f(ah)f

11、(ah)对点训练_3求证：函数f(x)的图像关于(1,1)对称证明任取hr，因为f(1h)，f(1h)，所以f(1h)f(1h)2.所以函数f(x)的图像关于(1,1)对称易混易错警示忽略题目中的隐含条件致错典例剖析_典例4已知函数f(x)x22axb是定义在区间2b,3b1上的偶函数，则函数f(x)的值域为_1,5_.错因探究：此处易忽略函数的定义域关于坐标原点对称这一隐含条件解析：f(x)为偶函数，f(x)f(x)，即a0.又f(x)的定义域为2b,3b1，2b3b10，b1.f(x)x21，x2,2，函数f(x)的值域为1,5误区警示：f(x)是奇(偶)函数，包含两个条件：定义域关于坐标

12、原点对称；f(x)f(x)(f(x)f(x)切记不能漏掉.学科核心素养奇偶性与单调性的综合应用1比较大小问题，一般解法是利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化为与在同一单调区间上的自变量的函数值有关，然后利用单调性比较大小2抽象不等式问题的解题步骤如下：(1)将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系；(2)利用单调性脱去符号“f”，转化为解不等式(组)的问题需要注意的是：在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上；当不等式一边没有符号“f”时，需要转化为含有符号“f”的形式，如0f(1)，f(x1)0，则f(x1)f(1)；偶函数中f(x)f(|x|)的灵活应用典例剖析

13、_典例5已知函数f(x)是定义在(2,2)上的奇函数且是减函数，若f(m1)f(12m)0，求实数m的取值范围思路探究：利用函数的单调性、奇偶性，化“抽象的不等式”为“具体的代数不等式”解析：由题意知，得<m<.由函数f(x)是定义在(2,2)上的奇函数及f(m1)f(12m)0，得f(m1)f(2m1)函数f(x)在(2,2)上是减函数，m12m1，得m0.实数m的取值范围是0，)课堂检测·固双基1设f(x)是定义在r上的偶函数，且f(x)在0，)上是增函数，则f(2)、f()、f(3)的大小关系是(a)af()>f(3)>f(2)bf()>f(2)>f(3)cf()<f(3)<f(2)df()<f(2)<f(3)解析：f(x)是定义在r上的偶函数，且f(x)在0，)上是增函数，f(2)f(2)，f()f()，f(2)<f(3)<f()，即f()>f(3)>f(2)2设f(x)是r上的偶函数，且在(0，)上是减函数，若x1<0且x1x2>0，则(a)af(x1)>f(x2)bf(x1)f(x2)cf(x1)<f(x2)df(x1)与f(x2)的大小不确定解析：x2>x1>0，f(x)是r上的偶函数，f(x2)f(x2)又f(x)