2020-2021学年高中数学新教材人教B版必修第一册学案：第1章 1.2 1.2.2　全称量词命题与存在量词命题的否定 Word版含解析

1、1.2.2全称量词命题与存在量词命题的否定学 习 目 标核 心 素 养1.能正确写出一个命题的否定，并判断其真假2理解含有一个量词的命题的否定的意义3会对含有一个量词的命题进行否定(重点)4掌握全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题(重点、难点)1.通过对命题的否定的认识，提升数学抽象的素养2通过对含有一个量词的命题的否定的理解，提升逻辑推理的素养一位探险家被土人抓住，土人首领说：“如果你说真话，你将被烧死，说假话，将被五马分尸”问题请问探险家该如何保命？1命题的否定 (1)一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“¬p ”，读作“非p”或“p的

2、否定”(2)如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就是一个假命题；反之亦然(3)常见的否定词语一般地，写一个命题的否定，往往需要对正面叙述的词语进行否定，下面把常用的正面叙述的词语及它的否定列举如下：正面词语()是都是任意(所有)存在至多有1个至少有1个或且否定词语()不是不都是某个不存在至少有2个1个也没有且或 2.含有一个量词的命题的否定一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论：全称量词命题p：xm，q(x)，它的否定¬p：xm，¬q(x)；存在量词命题p：xm，p(x)，它的否定¬p：xm，¬p(x)全称量词命题的否定是存在量词命题，存

3、在量词命题的否定是全称量词命题拓展命题的否定与集合运算的关系(1)已知全集为u，设命题p对应的集合为p，则命题的否定¬p对应的集合为upx|xu，且xp，这样可以从集合的角度进一步认识命题的否定(2)已知全集为u，若“p是真命题”对应“ap”，则“p是假命题”对应“aup”；若“¬p是真命题”对应“aup”，则“¬p是假命题”对应“ap”1思考辨析(正确的打“”，错误的打“×”)(1)命题¬p的否定是p.()(2)xm，p(x)与xm，¬p(x)的真假性相反()(3)从存在量词命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定()答案(

4、1)(2)(3)×2(教材p29练习a改编)命题“xr，nn*，使得nx2”的否定形式是()a.xr，nn*，使得nx2b.xr，nn*，使得nx2c.xr，nn*，使得nx2d.xr，nn*，使得nx2d根据含有量词的命题的否定的概念可知，选d.3命题“xr，x22x20”的否定是 ()a.xr，x22x20bxr，x22x20c.xr，x22x20dxr，x22x20a由存在量词命题和全称量词命题的关系可知“xr，x22x20”的否定为xr，x22x20.4命题“任意xr，若y0，则x2y0”的否定是_存在xr，若y0，则x2y0已知命题是一个全称量词命题，其否定为存在量词命题，

5、先将“任意”换成“存在”， 再否定结论，即命题的否定是：存在xr，若y0, 则x2y0.命题的否定【例1】写出下列命题的否定，并判断其真假(1)p：ysin x是周期函数；(2)p：实数的绝对值都大于0；(3)p：菱形的对角线垂直平分；(4)p：若xy0，则x0或y0.解(1)¬p ：ysin x不是周期函数假命题(2)¬p：实数的绝对值不都大于零真命题(3)¬p：菱形的对角线不垂直或不平分假命题(4)¬p：若xy0，则x0且y0. 假命题¬p是对命题p的全盘否定，其命题的真假与原命题相反对一些词语的正确否定是写¬p的关键，如“都”的

6、否定是“不都”，“至多两个”的反面是“至少三个”等1写出下列命题的否定形式，并判断其真假(1)p：面积相等的三角形都是全等三角形；(2)p：若m2n20，则实数m，n全为零；(3)p：实数a，b，c满足abc0，则a，b，c中至少有一个为0.解(1)¬p：面积相等的三角形不都是全等三角形真命题(2)¬p：若m2n20，则实数m，n不全为零假命题(3)¬p：实数a，b，c满足abc0，则a，b，c中都不为0.假命题全称量词命题的否定【例2】写出下列命题的否定，并判断其真假(1)p：任意nz，则nq；(2)p：等圆的面积相等，周长相等；(3)p：偶数的平方是正数解(1

7、)¬p：存在nz，使nq，这是假命题(2)¬p：存在等圆，其面积不相等或周长不相等，这是假命题(3)¬p：存在偶数的平方不是正数，这是真命题1写出全称量词命题的否定的关键是找出全称量词命题的全称量词和结论，把全称量词改为存在量词，结论变为否定的形式就得到命题的否定2有些全称量词命题省略了量词，在这种情况下，千万不要将否定简单的写成“是”或“不是”2写出下列全称量词命题的否定(1)p：所有能被3整除的整数都是奇数；(2)p：对任意xz，x2的个位数字不等于3；(3)p：数列1，2，3，4，5中的每一项都是偶数；(4)p：可以被5整除的整数，末位是0.解(1)

8、2;p：存在一个能被3整除的整数不是奇数(2)¬p：xz，x2的个位数字等于3.(3)¬p：数列1，2，3，4，5中至少有一项不是偶数(4)¬p：存在被5整除的整数，末位不是0.存在量词命题的否定【例3】写出下列存在量词命题的否定(1)p：xr，x22x20；(2)p：有的三角形是等边三角形；(3)p：有一个素数含三个正因数解(1)¬p：xr，x22x2>0.(2)¬p：所有的三角形都不是等边三角形(3)¬p：每一个素数都不含三个正因数与全称量词命题的否定的写法类似，要写出存在量词命题的否定，先确定它的存在量词，再确定结论，然后

9、把存在量词改写为全称量词，对结论作出否定就得到存在量词命题的否定3写出下列命题的否定，并判断其真假(1)存在一个平行四边形，它的对角线互相垂直；(2)存在一个三角形，它的内角和大于180°；(3)存在偶函数为单调函数解(1)命题的否定：对于任意的平行四边形，它的对角线都不互相垂直，是假命题(2)命题的否定：对于任意的三角形，它的内角和小于或等于180°，是真命题(3)命题的否定：所有的偶函数都不是单调函数，是真命题全称量词命题与存在量词命题中的求参问题探究问题1关于x的不等式ax2bxc0(a0)恒成立的条件是什么？提示判别式b24ac0.2关于x的方程ax2bxc0(a0

10、)有实根的条件是什么？提示判别式b24ac0.【例4】已知命题p：“xr，x22xm0”是假命题，求实数m的取值范围思路点拨命题p的否定¬p一定为真命题，可以通过分离参数法，转化为不等式恒成立问题，通过求最值得出m的取值范围；也可以利用二次函数的图像和性质转化为与0的关系，解不等式求解解法一：¬p：xr，x22xm0，是真命题，即mx22x(x1)21，xr恒成立，设函数y(x1)21，由二次函数的性质知，当x1时，y最大值1，my最大值1，即实数m的取值范围是(1，).法二：¬p：xr，x22xm0，是真命题，设函数yx22xm，由二次函数的图像和性质知，只需方

11、程x22xm0的根的判别式0，即44m0，得m1，即实数m的取值范围是(1，).若命题“xr，使得x22xm0”为真命题，则m的取值范围是_m1xr，使得x22xm0，即关于x的方程x22xm0有实根，44m0，解得m1.含有量词的命题求参数问题的思路（1）此类题目常以二次方程或二次不等式等为载体，一般在题目中会出现“恒成立”等词语，解决此类问题，可用判别式法求参数范围，也可以利用分离参数法求得参数的范围（2）求参数的范围时，从真命题的角度比较好列关系式，所以如果已知条件是一个存在量词命题，且是假命题，可以写出该命题的否定，利用命题的否定是真命题求得参数的范围知识：1¬p是对命题p的

12、全盘否定，其命题的真假与原命题相反通过学习含量词的命题的否定的概念及应用培养数学抽象和逻辑推理素养2对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题：(1)确定命题类型：命题是全称量词命题还是存在量词命题(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词(3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等(4)无量词的全称量词命题要先补回量词再否定方法：(1)转化法：已知命题p为假命题求参数的值或取值范围时，通常等价转化为¬p是真命题后，再求参数的值或取值范围(2)分离参数法：存在量词命题为真命题求参数范围(值)的问题中常

13、出现“存在”等词语，对于此类问题，通常是假设存在满足条件的参数，然后分离参数，并利用条件求参数范围(值).1已知ab，则下列结论中正确的是()a.c0，abcbc0，abcc.c0，abc dc0，abcda项，若a1，b2，c1，满足ab，但abc不成立；b项，若a9.5，b10，c1，abc不成立；c项，因为ab，c0，所以abc恒成立，故c错误；d项，c0，abc成立，故选d.2设命题p：xr，x210，则¬p为()a.xr，x210 bxr，x210c.xr，x210 dxr，x210b命题p：xr，x210，是一个全称量词命题，¬p：xr，x210.故选b.3下列

14、命题的否定为假命题的是()a.xr，x22x20b.xr，x31c.所有能被3整除的整数都是奇数d.任意一个梯形的对角线都不互相平分d对于选项a，因为x22x2(x1)210，所以xr，x22x20是假命题，故其否定为真命题；对于选项b，因为当x1时，x31，所以xr，x31是假命题，故其否定为真命题；对于选项c，因为6能被3整除，但6是偶数，所以这是假命题，其否定为真命题；对于选项d，任一个梯形的对角线都不互相平分，是真命题，因此其否定是假命题故选d.4已知命题p：xr，x22axa0.若命题p是假命题，则实数a的取值范围是_(0，1)法一：若命题p：xr，x22axa0是真命题，得(2a)24a0，即a(a1)0, 若命题p是假命题，则a(a1)<0，解得0<a<1.法二：依题