2021届河南名校联盟高三上学期第一次模拟考试数学(理)试题Word版含答案

1、页6第2021届河南名校联盟高三上学期第一次模拟考试数学（理）试题注意事项：1 .答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴 在答题卡上的指定位置。2 .选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写 在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3 .非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和 答题卡上的非答题区域均无效。4 .考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1-已知集合 A = x r

2、 一3%-4>。 , 8 = x|lnx>。,则(44口8=(A. 0B. (0,42.下列命题中正确的是()A.若 a> b,则C.若 6>0, a> b,则 a bC.。,4D. (4,+8)B.若 a > b , c> d,则。一c> 力一dD.若a > b , c> d,则色>与 c a3 .设方程lg（x-l） + x-3 = 0的根为, x0表示不超过%的最大整数，则%=（）A. 1B. 2C. 3D. 44 .在力8C中，已知力=60。，&=能，力=，则3等于()A. 45。或 135。B. 60°

3、;C. 45°D. 135°5 .下列四个结论: 命题 a 3x0 g /?,sinx0 +cosx0 <1 n 的否定是“Vxw Rsinx + cosx? 1 "；若夕夕是真命题，则夕可能是真命题；“a>5且b>5”是“ + 6>0”的充要条件；当a<0时，罂函数歹=内在区间（0,一）上单调递减.其中正确的是（）A. B.C. D.6 .已知正项等比数列qj的前4项和为*，若( = *，S3-% = ：，则R=()A.卫B.卫C.即d.即3216847 . (x-l)(2x + l厂的展开式中”的系数为()A. -512B. 10

4、24C. 4096D. 51208.直线/：>，=米-1与曲线/:(/+/一飘+3)，= 0有且仅有2个公共点，则实数无的 取值范围是()4、4、1 4、A. (0,)B. (0,C. 大1,力 D. 不 1nJJ9.某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N(105,b2)(b>0), 试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀(高于120分)的人数占总人数的,，则此次数 学考试成绩在90分到105分之间的人数约为()A. 150B. 200C. 300D. 40010 .已知椭圆C:£+ = l(a>b>()的右焦点为歹，短轴的一

5、个端点为尸，直线/：4x-3y = 0 与椭圆。相交于力，B两点、,若M尸| + |8/1=6,点尸到直线/的距离不小于(，则椭圆离心 率的取值范围是()A. (0,$ B. (0,曰C.(°,与D，G等11 .若函数/(x) = sin(2x-g)与g(x) = cos(x + £)都在区间区,6)(0 <a<b<万)上单调递减，则 346 -。的最大值为()a 兀c 五八 式n 5不A. B. C- -D.6321212.已知关于X的方程L/'(x)Tf(x) + l = 0恰有四个不同的实数根，则当函数/3)=，丁时, 实数2的取值范围是()

6、A. (-8, - 2)U(2,+8)B, (- + ,-KO)夕 44 eA (BNQ c. (r，2) (T二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13. 若平面向量”，满足口+母=1, a+平行于X轴，力=(2,1),则=.x>14. 实数x, y满足约束条件：,则二二士的取值范围为.X+N-3W0 ”一15. 半径为2的球面上有力，B，C ,。四点，且4B，力C，49两两垂直，则A48C，ACD 与zMZ)8面积之和的最大值为.16. 如图，4, 4分别是椭圆二+/=的左、右顶点，圆4的半径为2,过点4作圆4的 4切线，切点为尸，在x轴的上方交椭圆于点。，则oi = 1。41三、

7、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. (12分)在数列4中，«,=1,当 22时，其前项和S“满足S：=q,(S”-1).(1)求*的表达式；(2)设=卢7求圾的前项和北.18. （ 12分）如图所示的三棱柱力3C却鸦中，窗，平面,48。，ABLBC , bc=MbB, = 8 4c的中点为。，若线段4q上存在点p使得尸。，平面用c（1）求 43；（2）求二面角力一4。一%的余弦值.19. (12分)部门在同一上班高峰时段对甲、乙两座地铁站各随机抽取了 50名乘客，统计其 乘车等待时间(指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过40分

8、钟).将统计数据 按5,10), 10,15), 15,20),，35,40)分组，制成频率分布直方图:假设乘客乘车等待时间相互独立.(1)在上班高峰时段，从中站的乘客中随机抽取1人，记为力：从乙站的乘客中随机抽取1人, 记为用频率估计概率，求“乘客力，夕乘车等待时间都小于20分钟”的概率；(2)从上班高峰时段，从乙站乘车的乘客中随机抽取3人，X表示乘车等待时间小于20分钟 的人数，用频率估计概率，求随机变量X的分布列与数学期望.20. (12分)已知。为坐标原点，椭圆C：W + E = l(4>b>0)的左、右焦点分别为大，工，T b离心率e ="，椭圆C上的点到焦点产

9、2的最短距离为n-2 .3(1)求椭圆C的标准方程；(2)设7为直线x=-3上任意一点，过5的直线交椭圆C于点尸，。，且为抛物线得而=0,的最小值.贞6第21. (12 分)已知函数/(x) = xgi-o(x + lnx), a e(1)若/(X)存在极小值，求实数。的取值范围；(2)设/是/(x)的极小值点，且Ax。)？。，证明:页10第请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】x = 2 + 2cos0在平面直角坐标系工。中，曲线G的参数方程为、.（夕为参数）.以坐标原点。为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系

10、，曲线Q的极坐标方程为夕= 4sine.（1）求G的普通方程和G的直角坐标方程；（2）已知直线G的极坐标方程为6 =。（0。乐夕£），力是G与G的交点，8是a与的交点，且力，方均异于原点O, |力例=4a,求1的值.23. （10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数/（x）=| 2x-a.（1）当a = 2,求不等式f（x）+|x区6的解集；（2）设fa）+|x-l|+3xU0对工g-2,-1恒成立,求a的取值范围.2021届河南名校联盟高三上学期第一次模拟考试数学（理）试题参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1

11、.【答案】C2 .【答案】C3 .【答案】B4 .【答案】C5 .【答案】A6 .【答案】B7 .【答案】C8 .【答案】C9 .【答案】C10 .【答案】C11 .【答案】B12 .【答案】B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13 .【答案】（-1J）或（-3,1）14 .【答案】1,+8）15 .【答案】816 .【答案】-三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【答案】（1）S = !- ； (2) T =-n 2n-l” 2n +1【解析】（1）S：=q,一，4=SSt（N2），S；=（S“-S”T）（S0-g）,即 2sL 心= ss

12、”, 由题意得S,“S尸0,式两边同除以S“S，得!-，一 二 2,3 ，一数列是首项为1二- = 1,公差为2的等差数列, q贞15第J = 1 + 2(-1) = 2-1,S=!- s” 2/7-1(2) ：4=言广诉诉T5（2- 2向), 7；=4+与+ = ；« ；) + (； !)+ + ( 4J J J18.【答案】(1)亚；(2)亚.23）局一上=票【解析】（1）如图，在平面Bcc4内过点。作4c的垂线分别交，。和勺6于例，n，连接PN,在平面,48。内过点例作8C的垂线交4C于R ,连接。,依题意易得，RMMABJIPNnR，M, N, p,。五点共面,因为P。！平面

13、ABC,所以PO 1 RO => ARMOM)NP n 型=竺,MO PN在儆CW中,CW = 4CMan300 =走,BN = 0- =巫, 131 cos300 3因此W为线段勺。靠近G的三等分点，由对称性知，加为线段6。靠近8的三等分点,因此RM=g/18,=代入，得AB = "dOM ON ="的=显.3372V2 32(2)由(1)可知，丽=(骼,;，骼)是平面幽。的一个法向量且品=(白,-1,0),设平面A£G的法向量为，则- BC 0/ 厂、_ 0n 可以为(1,启0),cos(OPjt)=OPn2褥 _亍一屈? V2 32因为二面角A-BC-

14、4为锐角，故所求二面角A-Bp-A.的余弦值为号.19.【答案】(1)-；(2)分布列见解析，E(X) = -.【解析】(1)设表示事件“乘客”乘车等待时间小于20分钟”，N表示事件“乘客8乘车 等待时间小于20分钟”，。表示事件“乘客力，6乘车等待时间都小于20分钟”.由题意知，乘客月乘车等待时间小于20分钟的频率为：(0.012 + 0.040 + 0.048)x5 = 0.5,故P(M)的估计值为0.5.乘客8乘车等待时间小于20分钟的频率为(0.016 + 0.028 + 0.036)x5 = 0.4,故P(N)的估计值为Q4. 1 2 11又P(C) = P(MN) = P(A/)-

15、P(AT) = -x- = -,故事件C的概率为-. 乙 D DJ(2)由(1)可知,乙站乘客乘车等待时间小于客分钟的频率为0.4,2 所以乙站乘客乘车等待时间小于20分钟的概率为显然，x的可能取值为0, 1, 2, 3且乂8(3二)，Q97054所以P(X =0)=崇；P(x = 1) = C.(-)2 =蚩； J1 乙，J J1 乙 JP-2)=。步|嗯;"/耻备故随机变量X的分布列为:6 - 5=2 - 5X3=x)z成X0123P275436125812512512520.【答案】(1) + 2 = 1； (2)623【解析】(1) £ =在，而q_c = 6 2,

16、 a 3又/ = /+°2,得。=遥，b =桓,故椭圆c的标准方程为二+亡=1. 62(2)由(1)知£(-2,0),：TFl PQ = O,故历_L而，设r(Tm),|历| = "7i，直线币的斜率为一7, 当机=0时，直线P0的方程为x = -2,也符合方程="-2：当/工0时-，直线P。的斜率为工，直线尸。的方程为= /)，-2； mx = my - 2设P(4M)，。(4，%)，将直线尸。的方程与椭圆C的方程联立，得F 丁+ =1162消去X,得(/2+3)/-4少一2 : 0, A>0,必+%=乎，%为=Y-， “ nr + 3nr +

17、3* gjh?=rJ善+£=无3叫，|巧| 二 771 二川+3 = 1(川川 | 22二拒仍。| 我?("+1) 24>jm2 +1 /24yjnr +1x/243，nr + 3当且仅当" = =，即掰=±1时，等号成立, ，疗+1，曹的最小值为9.陷321 .【答案】(1) (0,+oo)； (2)证明见解析.【解析】(1) fx) =(xex 1 -a)(x> 1),x令 g(x) = xe'-1 - a,则 g'(x) = (x + l)e'-1 > 0,所以g(x)在(0,+8)上是增函数，乂因为当x

18、70时，g(x)r-。；当x-» 一时，g(x)f+8,所以，当。40时，g(x) > 0, fx) > 0,函数/(x)在区间(0,+8)上是增函数,不存在极值点;当。>0时,g(x)的值域为(-。,+8),必存在%>0使g(x°) = 0,所以当 XW(0,Xo)时，g(x) < 0, f(x) < 0 , g(x)单调递减；当 X£(Xo，+8)时，g(-V)> 0 , f(x) > 0,/(Y)单调递增,所以/(X)存在极小值点，综上可知实数4的取值范围是(0,+8).(2)由(1)知，xoeV1 1 -67

19、 = 0,即。=为"；I 所以In。= lnxo+/一1,/(xo) = xoeT,> '(l-x0-lnx0),由/(仆)20，得令g(x) = l-xTnx,显然g(x)在区间(0,+8)上单调递减，又g=0,所以由/(%)20,得0<x.Wl,令(x) = x-lnx-l(x0), /7r(x) = l-l = =, XX X当>1时，"(x)>0,函数"(X)单调递增；当0<x<l时，H'(x)<0,函数(X)单调递减,所以，当=1时，函数(X)取最小值=0,所以(x) = x-lnx-120,即 x-lNlnx, BP ex ' > x» 所以 e', 之 / > 0, 1 - x0 - In x0 > 1 - x0 - (x0 -1) = 2(1 - x0) > 0,所以 /(%) = /*" (1 f o - 山 /)A 片 2(1 - %) = 2(%-X；),即 /(/) N 23-片).22 .【答案】(1) (x-2)2+y2=4, x2+(-2)2=4； (2) ? =【解析】(1)由尸= ： + 2cos"消去参数。，得G的普通方程为*