2020年中考数学压轴题：一次函数与反比例函数综合题

1、2020年中考数学压轴题：一次函数与反比例函数综合题一次函数与反比例函数综合题题型一：与面积相关麴型题型二：与不等式相美题型31(2)过点P作直线l的垂线li,交反比例函数【答案】见解析题型三：与最值相关期型典例剖析【例1】(2019偃师一模)如图，直线l: y=ax+b交x轴于点A(3, 0),交y轴于点B(0, -3),交反比例函数y k于第一象限的点 P,点P的横坐标为4. x(1)求反比例函数y k的解析式； xy k的图象于点 C,求OPC的面积.x【解析】解：(1) .1 y=ax+b交x轴于点A(3, 0),交y轴于点B(0 , -3),.-3a+b=0, b=-3,解得：a=1

2、,即11的解析式为：y=x- 3,当 x=4 时，y=1,即 P (4,1),将P点坐标代入y k得:k=4,x巳D,即反比函数的解析式为：y 4; x 设直线11与x轴、y轴分别交于点 OA=OB=3,OAB=/OBA=45° , 111i, ./ DPB=90° , ./ ODP=45° ,设直线li的解析式为：y= x+b,将点P(4,1)代入得：b=5,4联立：y=-x+5, y 一 ,解得： xx=1 , y=4 或 x=4 , y=1 ,即 C(1,4),S>a opc=Saode S>a ocd Saope1 11=-X5X5- - X5

3、M - X5M2 2215 = .2【变式1-1 （2018河南第一次大联考）如图，在直角坐标系中，矩形 OABC的顶点O与坐标原点重1k合，A, C分力1J在坐标轴上，点B的坐标为（4, 2）,直线y= - x+3交AB , BC于点M , N,反比例函数y 的图象经过点 M, N.（1）求反比例函数的解析式；(2)若点P在x轴上，且OPM的面积与四边形 BMON的面积相等，求点 P的坐标.【答案】见解析.【解析】解：(1) . B (4,2),四边形OABC为矩形,OA=BC=2, 在 y=-；x+3 中，y=2 时，x=2, 即 M(2,2),k将 M (2, 2)代入 y 得：k=4,

4、一 ,，一，4反比例函数的解析式为：y -.，一 4(2)在 y 中，当 x=4 时，y=1 ,即 CN=1,S 四边形 BMON =S 矩形 OABC 一 Sa AOM - Sa CON1 1=4X2- 一 X2>2- - >4X12 2=4,Sa opm =4,口r 1即一OP OA=4,2 OA=2 ,.OP=4,点P的坐标为(4,0)或(一4,0)【例2】(2019济源一模)已知：如图，一次函数y=kx+3的图象与反比例函数 y m (x>0)的图象x交于点P, FA±x轴于点A, PBy轴于点B, 一次函数的图象分别交 x轴、y轴于点C, D,且SAdbp

5、=27,OC 1 .CA 2(1)求点D的坐标;(2)求一次函数与反比例函数的解析式;(3)根据图象写出x取何值时，一次函数 y=kx+3的值小于反比例函数 y m的值.x【答案】见解析【解析】解：(1) ,一次函数y=kx+3与y轴相交,，令x=0,解得y=3,D的坐标为(0, 3); OD ± OA, APXOA,/DCO = /ACP, / DOC=/CAP=90° , RtA CODRtA CAP,.OD OC 1, - , OD =3,AP AC 2 . AP=OB=6,DB=OD+OB=9,''' S>ADBP =27,即上空=27

6、, 2BP=6, P (6,-6),把P坐标代入y= kx+3,得到k= 32则一次函数的解析式为：y= -x+3;2把P坐标代入反比例函数解析式得：m=-36,则反比例解析式为：y=-; x(3)联立 y=- 36, y= 'x+3 得： x 2x= 4, y=9 或 x=6, y= 6,即直线与双曲线两个交点坐标为(一4,9), (6, 6),，当x>6或一4vxv0时，一次函数的值小于反比例函数的值.ABDC的顶点D, C在反比例函数【变式2-1（2019洛阳三模）如图，在平面直角坐标系中，菱形y=k上（k>0, x>0）,横坐标分别为 1和2,对角线 BC/x

7、轴，菱形ABDC的面积为9. x2（1）求k的值及直线 CD的解析式；（2）连接 OD, OC,求OCD的面积.【答案】见解析.【解析】解：（1）连接AD,菱形ABDC的顶点D, C在反比仞函数y=-±,横坐标分别为 1和2, x2D(-,2k), C(2, k), 22k1.BC/x轴,B(-1, -),A(1 -k),22，BC=3, AD=3k,- S 菱形 abcd=9 ,1- X3X 3k=9,解得：k=2,21_ D(-,4), C(2, 1),2设直线CD的解析式为y=mx+n,.1 m+n=4, 2m+n=1 , 2解得：m= 2, n=5,即直线CD的解析式为y=-

8、 2x+5.(2)设直线y=2x+5交x轴、y轴于点F, E,5则 F(2,0),E(0,5), SaOCD=SaEOF - SaOED - S OCF= lx5X-lx5xl-lx1X522222215=一,4即ocd的面积为：4【例3】（2019 西华县一模）如图，在矩形 OABC中，OA=3, OC=2 ,点F是AB上的一个动点（F 不与A, B重合），过点F的反比例函数 尸k的图象与BC边交于点E.x（1）当F为AB的中点时，求该函数的解析式；（2）当k为何值时， EFA的面积最大，最大面积是多少？【答案】见解析.【解析】解：（1）二.矩形OABC中，OA=3, OC=2,B (3,

9、2),F为AB的中点,F (3, 1),点F在反比仞函数y=4的图象上, xk=3,即函数的解析式为 y=3;x(2) E, F两点坐标为：E ( k, 2),2k .F (3,匕),31一 Sa efa= - AF?BE21 x k=八2 3=1 k12(3 一k),234，当k=3时，&EFA有最大值，最大值【变式3-1(2019 中原名校大联考)如图，一次函数y= kx+b的图象与反比例函数y= m的图象交x于A, B两点，与x轴交于点 C (-2, 0),点A的纵坐标为6, AC=3CB.(1)求反比例函数的解析式;(2)请直接写出不等式组 mvkx+b<4的解集;x(3

10、)点P (x, y)是直线y= k+b上的一个动点，且满足(2)中的不等式组，过点 P作PQy轴交y轴于点Q,若 BPQ的面积记为S,求S的最大值.【答案】见解析.【解析】解：(1)过点A作ADx轴于D,过B作BEx轴于 巳则/ ADC = / BEC = 90° , / ACD = / BCE,.ACDABCE,.AD AC CD 日口 6° CE 2 ,即 3 ,BE BC CE BE CE解得：BE=2, CE=1, A (1, 6), 反比例函数解析式为 y= 6; x(2)将 A (1, 6), C ( 2, 0)代入 y=kx+b,得:k b2k b即直线解析式

11、为：y=2x+4,由B(- 3, -2),得不等式组 6 v2x+4<4的解集为：-3VXV0;x(3)设 P (m, 2m+4) (- 3vmv0),则 PQ = - m, BPQ 中 PQ 边上的高为 2m+4 - ( - 2) = 2m+6,八1、，八八 . S= ?( m) ( 2m+6)2=-m2 - 3m=-(m+|) 2+9,当m=- 3时，S取得最大值，最大值为 9.24压轴精练I. (2019郑州外国语测试)如图所示，在平面直角坐标系中，直线II. y=x与反比例函数 y=k 2x的图象交于A、B两点，点A在点B左侧，已知 A点的纵坐标为2.(1)求反比例函数的解析式;

12、(2)根据图象直接写出1 x> k的解集；2 x(3)将直线y= lx沿y轴向上平移后的直线12与反比例函数y=k在第二象限内交于点 C,如果4ABC 2x的面积为30,求平移后的直线12的函数表达式.【答案】见解析【解析】解:(1)在 y=1小2x中,y=2 时，x= 4,即 A(4,2), 反比例函数y=k的图象过点A, x . k= 1 8,即反比例函数的解析式为：y=-；x联立y= 8 , y= 1x,解得：x= - 4, y=2 (点 A);或 x=4, y= - 2,即 B (4, 2),1 x> k 的解集为：x< 4 或 0<x<4 ;2 x(3)

13、设平移后的直线与 x轴交于点D,连接AD、BD, CD / AB, .ABC的面积等于 4ABD的面积，等于 30,S»a aod+Sabod=30,11 OD |yA|+ OD |yB|=30,，OD=15,即 D (15,0),设平移后直线的解析式为：y=1x+m, 2将 D (15,0)代入得：m=15 ,2即平移后的直线函数表达式为:y= 1x+” 222. (2018河师大附中模拟)如图，已知函数y=- (x>0)的图象经过点 A、B,点x过点A作AC/y轴，AC=1 (点C在A点的下方)，过点C作CD/x轴，与函数y=-xA的坐标为(1,2),(x>0)的图象

14、交于点D,过点B作BE LCD于E, E在线段CD上，连接 OC、OD.(1)求OCD的面积;1(2)当BE=1AC时，求CE的长. 2【答案】见解析.【解析】解:(1)将 A(1,2)代入 y=k得：k=2, x AC/ y 轴,AC=1,C(1,1), CD / x轴,2 .D在y=上,xD(2,1),，、- 1BE=1AC, 21BE=-,2 BEX CD,，.-3.点B的纵坐标为3, 22 .B点在函数y=2上, x-B(4, 3), 32CH = 1=一,33 DH=1.5,cC=223+ + 5.5,在 RtA CDE 中，/ CED=60° , CE= CDL- =4+

15、73 (米). sin 603. (2018洛阳三模)如图，在矩形OABC中，OA=3, OC=2 , F是AB上的一个动点(不与A、B重合)，过点F的反比例函数y=k (k>0)的图象与BC边交于点E. x(1)当F为AB边的中点时，求该函数的解析式；2(2)当k为何值时，4EFA的面积为？3【答案】见解析.【解析】解：(1)由题意知，AB=OC=2, BC=OA=3, , F是AB中点，F(3, 1),将 F(3, 1)代入 y=K 得：k=3, x即反比例函数的解析式为：y= 3 .x(2)由图象知，点 F位于B点下方，B(3,2),，当 x=3 时，y<2,即 k<6

16、,0<k<6,由题意知，F点横坐标为3,即F(3, k),3同理，得E点坐标为(k, 2),2S；A EFA= 1 AF BE2解得：k=2,或k=4,2当k为2或4时，AEFA的面积为234. (2019洛阳二模)如图，A, B分别在反比例函数 y k (x<0)和y 必(x>0)的图象上，AB/ x 轴，交y轴于点C.若4AOC的面积是BOC面积的2倍.(1)求k的值；(2)当/ AOB=90°时，直接写出点 A, B的坐标.【答案】见解析【解析】解：（1） AB/ x轴，. Sa_ kSa_ 2 S»A AOC= , SABOC=,.AOC的面

17、积是BOC面积的2倍,H=&,2k=2。2 （舍）或 k= 2 20.即k的值为：一2 72.（2） ./AOB=90°, /ACO=90°,. / A+/ABO = / B+ZBOC=90° ,A=/ BOC,.AOCAOBC,.AOC的面积是BOC面积的2倍,OC 2 , BC设 B(a,), a(舍)，2= 22 a,解得：a=应或 a= 72 a即 B(1, .2),5. (2019 周口二模)如图，点 A(-2, a),mC(3a-10, 1)是反比例函数 y (xv 0)图象上的两点.(1)求m的值;(2)过点A作APx轴于点P,若直线y=kx

18、+b经过点 A,且与x轴交于点 B,当/ PAC=/PAB时,【解析】解：(1) ,一点A(-2, a), C(3a-10, 1)是反比例函数 y m上, x一2a=3a 10,解得：a=2, .A(-2,2),C(-4,1),m=-4;(2)分两种情况讨论：当点B在AP左侧时, . / PAC= Z PAB ,A、C、B三点共线,将 A(-2,2),C(-4,1)代入 y=kx+b,并解得:k=, b=3, 2即直线AB的解析式为：y= 1x+3;2当点B在AP右侧时， . / PAC= Z PAB ,，此时直线 AB与中的直线 AB关于直线AP成轴对称，此时k=-1 ,2将(-2,2)代入

19、 y=-lx+b,得：b=1, 2即直线AB的解析式为：y=- 1 x+1 ；2综上所述，直线 AB的解析式为：y=；x+3, y=-；1x+1.6.如图，已知双曲线 y=k经过点B (3J3, 1),点A是双曲线第三象限上的动点，过 B作BCy轴, x垂足为C,连接AC.(1)求k的值；(2)若 ABC的面积为6J3,求直线AB的解析式;x的取值范围.(3)在(2)的条件下，写出反比例函数值大于一次函数值时【解析】解：(1)把B (3J3, 1)代入y=k中得，k=3>/3, x(2)设 ABC中BC边上的高为 h,. BCy 轴，B (3 右，1),BC=3 J3 ,.ABC的面积为

20、63,1 -BC?h=6 33 , 2解得：h=4,.点A的纵坐标为-3,把 y= 3 代入 y= 33-，得:x= J3 , x即 A (- 33 , - 3),设直线AB的解析式为：y=mx+n,把 A ( - 73, - 3)和 B (373, 1)代入 y=mx+n,并解得:3m= , b= 2, 3直线AB的解析式为y=2x-2.(3)由图象可得：xv- 73或0vx3j3.7. (2018 焦作一模)如图，一次函数y=-2x+b与反比例函数y= (x>0)的图象交于点 A (2, 6)2x和 B (m, 1)(1)填空：一次函数的解析式为 ,反比例函数的解析式为 ;(2)点E

21、为y轴上一个动点，若 S；aaeb=5,求点E的坐标.o【答案】(1) y=-1x+7, y=12 ； (2)见解析. 2x【解析】解：(1)把点A (2, 6)代入y=k ,得k=12,x即反比函数解析式为：y=.x，,12 ,丁点 B ( m, 1)在 y=一上,xm=12,即 B (12, 1).1-直线 y= - x+b 过点 A (2, 6), 2b=7,，一次函数的表达式为 y= - - x+7 .2.答案为：y=- lx+7, y=.2x(2)设直线AB与y轴交于点P,点E的坐标为(0, a),连接AE, BE,则点P的坐标为(0, 7),S>A AEB= Sa BEP -

22、 S>A AEP=5 ,11 X|a - 7|X ( 12-2) =5,2|a 7|=1,解得：a=6或a=8,即点E的坐标为(0, 6)或(0, 8).8. (2018 信阳一模)如图，在直角坐标系中，矩形 OABC的顶点。与坐标原点重合，A、C分别在坐标轴上，点B的坐标为(4, 2),直线y=- 1x+3交AB, BC分别于点M, N,反比例函数y=上的图象经过 2x点 M, N.(1)求反比例函数的解析式;(2)若点P在y轴上，且 OPM的面积与四边形 BMON的面积相等，求点 P的坐标.【答案】见解析【解析】解：(1) B (4, 2),四边形OABC是矩形,OA=BC=2,在

23、y=- 1x+3 中，当 y=2 时，x=2, 2M (2, 2),1 一将 x=4 代入 y= - -x+3 得：y=1 , N (4, 1), 反比例函数y=k的图象经过点 M (2, 2), xk=4, 反比例函数的解析式是 y=-; x(2) S 四边形 BMON = S 矩形 OABC Sa AOM Sa CON=4X2- 1X2X2 - 1X 4X122二4 ；OPM的面积与四边形 BMON的面积相等，.1 一一OP X AM =4 ,2而 AM=2,OP=4,点P的坐标是(0, 4)或(0, - 4).9. (2019 南阳毕业测试)如图，直线y=kx+b与反比例函数y二m的图象

24、分别交于点 A (- 1, 2),点xB (-4, n),与x轴，y轴分别交于点C, D.(1)求此一次函数和反比例函数的解析式；【解析】解：(1)将点A ( - 1, 2)代入y=-,x得 m= - 2,，反比例函数解析式为221将 B(-4, n)代入 y= 土中，得：n=-; x21、B点坐标为(-4, ) .2，1 ，将 A ( - 1, 2)、B ( - 4,-)代入 y=kx+b 中,一1得：-k+b=2, -4k+b=, 2解得：k=l, b=5, 一次函数的解析式为 y= lx+5 ;22(2)在 y = 1 x+ 5 中，当 y=。时，x= - 5,22C ( 5, 0),即

25、 OC=5.1 1=-?OC?|yA|- -?OC?|yB|=".4 k ,10. (2019 开封二模)如图， A (4, 3)是反比例函数 y=k在第一象限图象上一点，连接 OA,过A x作AB/x轴，截取AB=OA (B在A右侧)，连接OB,交反比例函数y=K的图象于点P. x(1)求反比例函数y= k的表达式； x(2)求点B的坐标；(3)求 OAP的面积.【答案】见解析.k . 一一 .【解析】解：(1)二点A (4, 3)在反比例函数 v=。的图象上, xk= 12,r 一 .,一 一，一，12即反比例函数解析式为：y=;x(2)如上图，过点 A作AC，x轴于点C,则 O

26、C=4, AC=3,在RtAOAC中，由勾股定理得： OA = 5,. AB/ x 轴，AB= OA=5,.点B的坐标为(9,3); B (9, 3),可得OB所在直线解析式为 y= 1 x, 3联立：y= -x, y= 12 , 3 x解得：x=6, y=2 或 x=-6, y=-2 (舍),P (6, 2),如上图所示，过点 P作PDx轴于D,S>aoap= S梯形 pdca=5 .k ,11. (2019 女阳一模)如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 y (kwQ与一次函数y=ax+b (aw。x交于第二、四象限的 A, B两点，过点 A作ADy轴于点D, OD=3, S“od=

27、3,点B的坐标为(n, -1).(1)求反比例函数和一次函数的解析式；k(2)请根据图象直接与出 ax b> 一的自变量x的取值范围.y*【答案】见解析.【解析】解：(1) .“，¥轴，OD=3,SAOD=1OD - AD, Saaod=3 2AD=2,即 A(-2,3),k将 A(-2,3)代入 y 中，得：k=-6,6即反比例函数解析式：y -.当 y=-1 时，x=6,即 B(6,-1),将 A(-2,3), B(6,-1)代入 y=ax+b 得：-2a+b=3,6a+b=-1,1斛得：a= 一，b=2,2即一次函数的解析式为：y= 1x+2.2k(2)观祭图象可知，ax

28、 b>的解集为：xw-2或0<xw6.xk12. (2019 二门峡二模)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y = x- 2与双曲线y= - (k0)相父x于A, B两点，且点 A的横坐标是3.(1)求k的值；(2)过点P (0,n)作直线，使直线与x轴平行，直线与直线y=x-2交于点M,与双曲线y=- (kxW0)交于点N,若点M在N右边，求n的取值范围.【解析】解：(1)在丫=* 2中，当x=3时，y= 1, .A (3, 1),k .点A (3,1)在双曲线y= k上，xk= 3;、3联乂 y=x- 2, y=,xx 3x1解得：或，即B ( - 1, - 3),y 1y3

29、如下图所示：当点M在N右边时，n的取值范围是 n>1或-3vnv0.1,4), 一次函数y=-13. (2019 濮阳二模)如图，已知反比例函数y=m (mw0)的图象经过点(xx+b的图象经过反比例函数图象上的点Q (-4, n).(1)求反比例函数与一次函数的表达式；个交点为 P点，连(2) 一次函数的图象分别与 x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数图象的另结OP、OQ,求 OPQ的面积.【解析】解：(1)反比例函数y=m图象经过点(1, 4), xm= 4,即反比例函数的表达式为：y=-.x反比例函数的图象过点Q (-4, n),n= 1,.一次函数y=-x+b的图象过点 Q (

30、 - 4, 1),''' b= - 5,即一次函数的表达式为：y=-x-5;4(2)联立 y=-x- 5, y=-,x解得：x= 4, y= 1 或 x= 1 , y= 4,P (T, - 4),在一次函数y=-x-5中，当y=0时，x= - 5,，点 A ( - 5, 0),S>A OPQ= S>A OPA SaOAQ5 45 12215=.2(n,一kc14. (2019商丘二模)如图，一次函数y= k1x+b与反比例函数y=的图象父于 A (2, m) , Bx2)两点.过点 B作BCx轴，垂足为 C,且 字abc=5.(1)求一次函数与反比例函数的解

31、析式.k(2)根据所给条件，请直接写出不等式k1x+b> k2的解集；x求实数p的取值范围.【答案】见解析.kc(3)右P (p, yi) , Q (-2, y2)是函数y= 图象上的两点，且 yi > y2,x【解析】解：(1) . Saabc= l?BC?(XA-XB)21 八，八、= _X2X (2 n),21X2X ( 2 - n) =5,2即 n= 3,A (2, 3), B (- 3, - 2),k2= 6,即反比例函数的解析式是y=-.2kl b 33k1b 2'x把 A (2, 3), B ( 3, 2)代入 y=kix+b 得: 解得：k=1, b=1,即

32、一次函数的解析式是 y= x+1 ；(2) .当-3<x< 0或x>2时，一次函数图象在反比例函数图象上方，不等式k1x+b> k2的解集是-3vxv 0或x>2; x6 .(3)在丫= 一中，当x>0时，y随x增大而减小；当 x>0时，y>0, x当 x=2 时，y2= 3,即 Q ( 2, 3)=-2x的图象与反比例函二若y1>y2,实数p的取值范围是：p< - 2或p>0.15. (2019 开封模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数. k .数y2=的图象交于 A ( - 1, n) , B两点.x(1)求

33、出反比例函数的解析式及点B的坐标;(2)观察图象，请直接写出满足 yW2的取值范围；(3)点P是第四象限内反比例函数的图象上一点，若POB的面积为1,请直接写出点 P的横坐标.【答案】见解析.【解析】解:解：(1)把 A ( 1, n)代入 yi= - 2x,得 n=2,A (-1,2),., k .把 A ( - 1, 2)代入 V2= k,可得 k= - 2,x反比例函数的表达式为由反比例函数图象性质，知点 B与点A关于原点对称，B (1, - 2).(2)由图象可知，yW2时自变量x的取值范围是：xv - 1或x>0;(3)过B作BMx轴于 M,过P作PNx轴于N,|m - 1|=

34、 1,ABCD的顶点 C与原点 O重合，点 B在y- ' S 梯形 mbpn = Sapob =1,设 P(m, 2),贝 (2+2m 2 m解得： m = 1 或 m = 1, 225 15 1综上所述，P点的横坐标为 二5"或 二.2216. (2019 开封二模)如图，在平面直角坐标系中，菱形轴的正半轴上，点 A在反比仞函数y= - (k>0, x>0)的图象上，点 D的坐标为(4, 3). x(1)求k的值；(2)若将菱形ABCD沿x轴正方向平移，当菱形的顶点 D落在函数y= k (k>0, x>0)的图象上时, x求菱形ABCD沿x轴正方向平

35、移的距离.【答案】见解析.【解析】解：(1)过点D作DE，y轴于 巳 点D的坐标为(4, 3),，DE = 4, OE=3,由勾股定理得：OD=5,AD = 5, 点A坐标为(4, 8), 点A在反比仞函数y= k的图象上,xk= 32;(2)由D(4, 3)知，当平移后落在 y= 32的图象上,x贝 U y=3,即 32=3,即 x=32,x3平移的距离为:32-4=20即菱形ABCD沿x轴正方向平移的距离为20317. (2019 郑州联考)如图，点 A的坐标为(3, 0),点C的坐标为(0, 4), OABC为矩形，反比例， k . 一一 . 、. ,函数y x的图象过AB的中点D,且和

36、BC相交于点E, F为第一象限的点， AF=12, CF=13.k(1)求反比例函数 y 1和直线OE的函数解析式;(2)求四边形OAFC的面积？【答案】见解析.【解析】解：(1)由题意得：点 B (3, 4),点D (3, 2),k将 D (3, 2)代入 y k,得 k=6.即反比例函数的解析式为 y -； x在 y 6 中，当 y=4 时，x=3,即 E(3, 4), x22设直线OE的解析式为：y=mx,将(：，4)代入得：m= 8 ,即直线OE的解析式为y=8x；3(2)连接AC,在 RtOAC 中，OA=3, OC = 4,由勾股定理得：AC=5,. AF=12, CF=13. . ac2+af2=cf2, ./ CAF = 90° , " S 四边形 OAFC = Sa OAC+ SaCAF=1 X 3x 4+1 X 5X 1222=36.18. (2019 安阳二模