中考数学综合题专题二次函数压轴题解析专题解析一

1、中考数学综合题专题【二次函数压轴题解析】专题解析一1.已知抛物线y=ax2-2ax-3a (a<0)与x轴交于 A、B两点(点 A在点B的左侧)，与 y轴 交于点C,点D为抛物线的顶点.(1)求A、B的坐标；(2)过点D作DH，y轴于点H ,若DH = HC,求a的值和直线 CD的解析式；(3)在第(2)小题的条件下，直线 CD与x轴交于点E,过线段 OB的中点N作NF，x 轴，并交直线 CD于点F,则直线NF上是否存在点 M,使得点M到直线CD的距离等 于点M到原点O的距离？若存在，求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由.考点：二次函数综合题专题：压轴题分析：(1)令y=0,求得x的值

2、，从而得出点 A、B的坐标.(2)令x=0,则y=- 3a,求得点C、D的坐标，设直线 CD的解析式为y = kx+b,把C、D两点的坐标代入，求出直线CD的解析式.(3)设存在，作 MQLCD于Q,由RtAFQM RtAFNE,得MQ -FM- 及可得出关EN EF于m的一元二次方程，求出方程的解，即可得出点 M的坐标.解答：(1)由 y= 0 得，ax2 - 2ax- 3a= 0 .a/0, ,2 x 2x 3 = 0,解得 x1 = 1 , x2=3, A ( 1, 0) , B (3, 0).(2)由 y= ax2 2ax 3a,令 x = 0,得 y = 3aC (0, 3a)y=

3、ax2 2ax 3a = a(x 1)2 4aD (1, 4a)DH = HC .DH = 1, CH = 4a ( 3a) = a 一 a = 1 .C (0, 3) , D (1, 4)设直线CD的解析式为y=kx+3,则 k+3=4,解得 k= 1直线CD的解析式为y=x+3.3(3)存在，如下图，作 MQLCD 于 Q,由(2)得，E ( 3, 0) , N ( - , 0)2,EN= 92设存在满足条件的点MQ = OMM ( 3 , m)，则 FM = 9 - m,22QFM = / NFE , / FQM = / FNE = 90° RtA FQMsRtFNE299-m

4、 - mMQ FM 日口，42即 -EN EF 99.22F整理得 4m2+36m63=0, (2m3)(2m+21) = 0m2=-21点 M 的坐标为 M1 ( - , 3 ) , M2 ( 3 , © )2222点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及的知识点有一元二次方程的解法.在求有关 存在不存在问题时要注意先假设存在，再讨论结果. 1 2 3 一2.已知二次函数 y x x的图象如图.42(1)求它的对称轴与 X轴交点D的坐标;(2)将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与X轴，y轴的交点分别为 A、B、C三点，若/ ACB=90°,求此时抛物线的解析

5、式；CM(3)设(2)中平移后的抛物线的顶点为M,以AB为直径，D为圆心作。D,试判断直线与。D的位置关系，并说明理由.考点：二次函数综合题.分析：(1)根据对称轴公式求出 x二金，求出即可；(2)假设出平移后的解析式即可得出图象与x轴的交点坐标，再利用勾股定理求出即可；(3)由抛物线的解析式¥ = /工2+¥+4可得，A, B, C, M各点的坐标，再利用勾股定理逆定理求出 CDXCM,即可证明.答案：解：(1)由y-x2 3x得X 3422a36D ( 3 , 0 )(2)方法一：如图1,设平移后的抛物线的解析式为贝U C(0, k)oc=k.1 o 3令 y 0 即x

6、 -X k 0 42得 x1 3 4k 9 x2 3 4k 9.A(3 J4k 9,0) , B(3 J4k 9,0).AB2 (4k 9 3 3 、4k 9)2 16k_ 22_ 2 AC BC AB即：2k2 8k 36 16k 36得k14 k20(舍去) 123.抛物线的解析式为 y 1 x2 3 x 442方法二：1 o 3 一 9, y x x .顶点坐标 3,4249 .设抛物线向上平移 h个单位，则得到C 0,h，顶点坐标M 3- h4 129.二平移后的抛物线：y x 3 h44129一 一 当 y 0 时，一x3 h 0,得 x 3 V4h9 x 3 V4h944 .A(3

7、. 4h 9,0) B(3 、4h 9,0) / ACB=90° . AOCs COB2OC OA OBh2J4h 9 3 J4h 9 3 得 上4h 0舍去 129:平移后的抛物线：y x 3- 444(3)方法一:22534如图2,由抛物线的解析式 yA(-2, 0), B(8, 0), C(4,1 23一x x 4可得42g 25、0), M(3,)4过C、M作直线，连结 CD,过M作MH垂直y轴于H,则MH 3225 2625 DM()416在 RtA COD 中,CD= 732_4r 5 =AD点C在O D上225 2 625 DM 2 (一)2 416_2_22 DM C

8、M CD方法.CDM 是直角三角形，. CDXCM直线CM与O D相切如图3,由抛物线的解析式可得A(-2, 0), B(8, 0), C(4, 0), M (3,2525作直线CM,过D作DE，CM于E,过M作MH垂直y轴于H,则MH 3, DM 分由4 勾股定理得CM154 DM II OC ./ MCH= / EMD RtACMH RtADMEDEMHMD小得DECM由(2)知AB 10-O D的半径为5点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及勾股定理以及逆定理的应用，利用数形结合得 出是解决问题的关键.3.如图，半径为1的。M经过直角坐标系的原点O,且与x的正半轴，y的正半轴交于点

9、A、B,/OMA=60°,过点B的切线交x轴负半轴于点 C,抛物线过点 A、B、C.(1)求点A、B的坐标.(2)求抛物线的解析式.(3)若点D为抛物线对称轴上的一个动点，问是否存在这样的点D,使得 BCD是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点D的坐标 若不存在，请说明理由.考点：二次函数综合题。分析：(1)由题意可直接得出点A、B的坐标为A (1, 0) , B (0,);(2)再根据BC是切线，可求出 BC的长，即得出点 C的坐标，由待定系数法求出抛物线的解 析式；(3)先假设存在，看能否求出符合条件的点D即可.解答：解：(1),OM为半径1AB=2 ,/ OMA= 60

10、6;, ./ OAM= 60°OA=1,OB= .3 .A(1,0), B(0,、,3)(2) AB是。M的切线 ./ CBA= 90° / OAM= 60° . AC=4OA=3C(-3,0)设抛物线的解析式为 y ax2 bx c把 A(1,0), B( 0,点),C(-3,0)代入得a b c 0c .39a 3b c 0y32 *x ,333(3) .抛物线的对称轴为x=-1做BC的垂直平分线交抛物线于E,交对称轴于点 D3易求AB的解析式为y 翼义翼D3E是BC的垂直平分线 D3E II AB设D3E的解析式为yJ3x bD3E交x轴于(-1, 0)代入

11、解析式得 b= 33 , y 、3x ,3把x=-1代入得y=0D3 (-1 , 0),过B做BH II x轴，贝I BH= 1在RtA D1HB中，由勾股定理得 DiH =布 Di (-1, 而 J3)同理可求其它点的坐标。可求交点坐标 D1 (-1, 布 73) ,D2 (-1, 2V2) ,Da(-1, 0), D4(-1,E V3)D5 (-1,2V2)点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及的到的知识点有抛物线的公式的求法和等腰三角形判定等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合等数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题.(4) 知二次函数 y=x 2 2mx+4m 8(

12、1)当x<2时，函数值y随x的增大而减小，求 m的取值范围.AMN (M,(2)以抛物线y=x2-2mx+4m - 8的顶点A为一个顶点作该抛物线的内接正三角形N两点在抛物线上)，请问： AMN的面积是与 m无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由.(3)若抛物线y=x2 2mx+4m 8与x轴交点的横坐标均为整数，求整数 m的值.考点：二次函数综合题。专题：综合题。分析：(1)求出二次函数的对称轴x=m ,由于抛物线的开口向上，在对称轴的左边y随x的增大而减小，可以求出 m的取值范围.(2)在抛物线内作出正三角形，求出正三角形的边长，然后计算三角形的面积，得到三角形AMN

13、的面积是m无关的定值.(3)当y=0时，求出抛物线与 x轴的两个交点的坐标，然后确定整数 m的值.解答：解：(1)二次函数y=x2 2mx+4m 8的对称轴是：x=m .:当x<2时，函数值y随x的增大而减小，而x< 2应在对称轴的左边，m>2.(2)如图：顶点A的坐标为(m, - m2+4m - 8) AMN是抛物线的内角正三角形，MN交对称轴于点 B,则AB V3BM 3BN ,设 BM=BN=a ,则 AB 73a ,.，点 M 的坐标为(m+a, 43a m2 4m 8),二点M在抛物线上，- .3a m2 4m 8 (m a)2 2m(m a) 4m 8整理得：a2

14、.3a 0得：a V3或a=0(舍去)所以 AMN是边长为2，3的正三角形,SaAMN =263 3<3 ,与m无关;(3)当 y=0 时，x2 2mx+4m 8=0,解得：x m <m2 4m 8 m £m 2)2 4 ,:抛物线y=x2 2mx+4m - 8与x轴交点的横坐标均为整数，( m 2) 2+4应是完全平方数， m=2 .点评：本题考查的是二次函数的综合题，( 1)利用二次函数的对称轴确定 m的取值范围.(2) 由点M在抛物线上，求出正三角形的边长，计算正三角形的面积.(3)根据抛物线与x轴的交点的横坐标都是整数，确定整数 m的值.25.在平面直角坐标系中，

15、抛物线y ax bx 3与x轴的两个交点分别为 a (-3, 0)、B (1,0),过顶点C作CHLx轴于点H.(1)直接填写：a =, b=,顶点C的坐标为；(2)在y轴上是否存在点 D,使得 ACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；(3)若点P为x轴上方的抛物线上一动点(点 P与顶点C不重合)，PQLAC于点Q,当 PCQ与 ACH相似时，求点 P的坐标.考点：二次函数综合题.分析：(1)将 A 凶/0)、B (1, 0)标即可；(2)首先证明" CEds DOA、得出,代入y=ax2+bx+3求出即匕/利叭方法求出顶点坐y轴上存在点 D (

16、0, 3) MA 0, 1),即人得出 ACD是以AC为斜边白伏!三角形.(3)首先求耽线CM的解析式八y=k1x+b1,再利用联立两耳么析式即可得出交,标，冉利用若点aa对称轴左州(如图)，可./答案：4.解：(1) a 1,b2,顶点(2)假设在y轴上存在满足条件的点PCQsach,得/ PHQ=/ACH 上B 答案即/ C的坐标为4-1,4)(备用图)D,过点C作CELy轴于点E.由/CDA=90° 得，/ 1 + /2=90°.又/ 2+/3=90° , / 3=/ 1.又CED = / DOA= 90°, . CEDs DOA , CE -DO

17、.ED AO.一. 1 c设 D (0, c)，则 4 c 3变形得c2 4c 3 0,解之得g 3,C2 1.综合上述：在 y轴上存在点 D (0, 3)或(0, 1),使 ACD是以AC为斜边的直角三角形.CE上 AHB（3）若点P在对称轴右侧（如图），只能是 PCQsCAH,得/qcp=/cah.延长 CP 交 x 轴于 M, AM=CM,AM2=CM2.设 M (m, 0),则(m+3)2=42+(m+1)2,m=2,M (2, 0)设直线CM的解析式为y=k1x+b1,k1 6 4 则 1,解之得2k1 b1 0kibi直线CM的解析式, y联立4x32x2x13或20"9

18、1(舍去).1-41 20飞手.若点P在对称轴左侧（如图），只能是PCQs ach ,得/ pcq=/ach过A作CA的垂线交PC于点F,作FNLx轴于点N.一 ca由 CFAs CAH 得AFCH2,AH由 FNAs ahc 得-FNahna afhc caAN 2, FN1，点F坐标为（-5,1).设直线CF的解析式为y=kzx+b2,贝ijk25k2b2b2k2, b2419直线CF的解析式193, y - x联立 42y x192x.满足条件的点74或55161(舍去) P(47 55一，一).4 161 20P坐标为（；20）或（3 97 55 一，一)4 16点评：此题主要考查了二

19、次C数的综合应用以及相似三角形的应用，二次函C的珠合应用是初中阶段的重点题型特别再5.如图所示，过点 F/0,中 x1 < 0, x2>0) h（1）求b的值AB M(图)形结合是这部分考查的重点也是难点I）四尊线y=kx+b与抛物线交于,yF .NH1)和(图)苴掌握.B(x2, y2)两点（其(2)求x1?x2的值.(3)分别过M, N作直线l: y= 1的垂线，垂足分别是 Mi和N1.判断 M1FN1的形状，并 证明你的结论(4)对于过点F的任意直线 MN ,是否存在一条定直线m,使m与以MN为直径的圆相切.如果有，请求出这条直线m 的解析式；如果没有，请说明理由考点 ：二次

20、函数综合题。专题 ：代数几何综合题。分析： ( 1)把点 F 的坐标代入直线可以确定b 的值(2)联立直线与抛物线，代入(1)中求出的b值，利用根与系数的关系可以求出xi?x2的值.(3)确定Mi, N1的坐标，利用两点间的距离公式，分别求出M1F2, Nif2, Mini2,然后用勾股定理判断三角形的形状(4)根据题意可知 y= 1总与该圆相切.解答：解：(1) .直线 y=kx+b 过点 F (0, 1) ,b=1 ; ( 3 分)(2) :直线y=kx+b与抛物线交于 M(X1, y1)和N (x2, y2)两点，.可以得出：kx+b=x 2,整理得：x2 kx 1=0,x1?x2= 4

21、; (6 分)(3) AM1FN1是直角三角形(F点是直角顶点).理由如下：设直线l 与 y 轴的交点是F1FM 12=FF12+M 1F12=x12+4FN 12=FF12+F1N12=x22+4M1N12= (x1 x2) 2=x12+x22 2x1x2=x12+x22+8FM 12+FN 12=M 1N12M 1FN1 是以 F 点为直角顶点的直角三角形(10 分)(4)符合条件的定直线m即为直线l: y= 1.过 M 作 MH，NN 1 于 h, MN2=MH2+NH2= (x1 x2) 2+ (y1 y2) 2=(x1 x2) 2+ (kx1+1)( kx2+1) 2 =(x1 x2

22、) 2+k2 (x1 x2) 2 =(k2+1) ( x1 x2) 2= ( k2+1 )(4) 2 =16( k2+1 ) 2MN=4 (k2+l)分别取MN和mini的中点P, pi,PP1= (MM 1+NN 1) = (yl+1+y2+1) = (yl+y2) +1=k (xl+xl) +2=2k2+2=2 (k2+1)PP1=MN即线段MN的中点到直线l的距离等于MN长度的一半.以MN为直径的圆与l相切.(15分)点评：本题考查的是二次函数的综合题，(1)由点F的坐标求出b的值.(2)结合直线与抛物线的解析式，利用根与系数的关系求出代数式的值.(3)用两点间的距离公式，判断三角形的形

23、状.(4)根据点与圆的位置判断直线与圆的位置.6 .如图，在平面直角坐标系中，直线 AC: y= -X 8与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线 3y=ax2+bx+c过点A、点C,且与x轴的另一交点为 B (x0, 0),其中x0>0,又点P是抛物线 的对称轴l上一动点.(1)求点A的坐标，并在图1中的l上找一点P0,使P0到点A与点C的距离之和最小；(2)若 PAC周长的最小值为10+2 "1 ,求抛物线的解析式及顶点N的坐标；(3)如图2,在线段CO上有一动点 M以每秒2个单位的速度从点 C向点。移动(M不与端点C、O重合)，过点 M作MH / CB交x轴于点H ,设M移

24、动的时间为t秒，试把 P0HM的面 积S表示成时间t的函数，当t为何值时，S有最大值，并求出最大值；(4)在(3)的条件下，当S=75时，过M作x轴的平行线交抛物线于E、F两点，问：过 E、32F、C三点的圆与直线 CN能否相切于点C?请证明你的结论.(备用图图3)考点：二次函数综合题。分析：(1)由题意AB点关于抛物线对称，则BC所在直线与对称点的交点即为P0；(2)由(1)所求可知该题周长最小即为AC+BC的长，从而求出 x0,而解得；(3)由在三角形 OBCs三角形CMN ,得到高关于t的式子，因为 MH /BC ,得到三角形 MHP 0三角形底边关于t的表达式，根据t的取值范围，从而求

25、得S的最大值.(4)把S的取值代入(3)中表达式中求得 t,从而得到点 M的坐标，从而证明各点.解答：解：(1)由题意直线 AC与x轴的交点，所以当y=0，则x= - 6 ,所以点A (-6, 0)同理点C (0, 8),设点A关于y轴对称点为B (x', 0), 由题意 x_(_6)x0 贝 1 x' =2x+6 .2则直线BC为y= - _8x 8,x8八代入 x=xo,则 y= - x0 8 , x'所以该点为(x0, x08),x口 r /8x0即(x0,x08);2x06(2)由(1)可知三角形 PAC最小即为 AC+BC=10+2 J41 ,<62 8

26、2 7(2x0 6)282=10+2 <41 ,解得x0=2或x0= 8 (不符舍去)，则点 B (10, 0),228 八由点A, B, C三点的二次函数式为 y=- - x2 x 81515点 N (2, 16);(3)如图，作 MN，BC 与 N ,则在三角形 OBCs三角形cmn ,所以h2，3 10r 3即 h= -1 .5因为 MH II BC,8 21 MHBC解得 MH= 8_2lBC =821 2741 =必！(8-2t), 88411413,3 41j 3.41S= MHh= - x(8 - 2t) x-t =-11 ,所以当t为2时S最大；(4)把S的取值代入(3)

27、中表达式中求得 t,从而得到点M的坐标,s=75,即 753232则解得t=2, 则由题意知 CEF三点所在圆半径为 4,所以直线CN与CFE所在圆相切.点评：本题考查了二次函数的综合应用，知道三点求二次函数式，考查一次函数与二次函数的 结合求三角形面积，知道面积求点，很好结合，是道好题.7 .如图，四边形 OABC是矩形，点B的坐标为(8, 6),直线AC和直线OB相交于点M ,点P 是OA的中点，PDLAC,垂足为D.(1)求直线AC的解析式；(2)求经过点 O、M、A的抛物线的解析式；(3)在抛物线上是否存在 Q,使得SAPAD： SaQOA=8 : 25,若存在，求出点 Q的坐标，若

28、不存在，请说明理由.考点：二次函数综合题。专题：代数几何综合题。分析：(1)先求出A、C两点的坐标即可求出直线 AC的解析式;O、 M、(2)求出O、M、A三点坐标，将三点坐标代入函数解析式便可求出经过点A的抛物线的解析式；(3)根据题意先求出 Q点的y坐标，在根据 Q在抛物线上的关系求出 Q点的横坐标, 便可得出答案.解答：解：(1)由题意四边形 OABC是矩形，点B的坐标为(8, 6)可知：A、C 两点坐标为 A (8, 0) , C (0, 6),设直线AC的解析式y=kx+b ,将A (8, 0) , C (0, 6)两点坐标代入 y=kx+b ,k -解得 4,b 63故直线AC的解

29、析式为y X 6 ;4(2)由题意可知 O (0, 0) , M (4, 3) , A (8, 0),设经过点O、M、A的抛物线的解析式为y=ax2+bx,将 M (4, 3) , A (8, 0),两点坐标代入 y=ax2+bx ,16a 4b 3得，64a 8b 0a解得b故经过点0、M、A的抛物线的解析式为y316323 23一x 一 x ；162(3) : AOCA APD ,OC OA AC PD ADPA即9笆PD AD4196解得 PD=2.4 , AD=3.2 , SAPAD= XPDXAD=，225- Sa PAD ： SaQOA=8 : 25,-1 SaQOA=12 ,1S

30、aQOA=XOAX |yQ|=_ X8X|yQ|=12,2解得 |y|Q=3,又二点Q在抛物线上，3230323c所以 一x-x3 或一xx3162162解方程得 x1=4, x2=4+4, x3=4-4,故 Q 点的坐标为 Q(4 4J2, 3)、Q(4 4J2, 3)、Q (4, 3).点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及的到的知识点有抛物线的公式的求法和三角形的相似等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合数学思想的运 用，同学们要加强训练，属于中档题.8.如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2, 2),点B的坐标为(6, 6),抛物线经过A、O、B三点，连接 OA、

31、OB、AB,线段AB交y轴于点E.11)求点E的坐标；(2)求抛物线的函数解析式；(3)点F为线段OB上的一个动点(不与点O、B重合)，直线 EF与抛物线交于 M、N两点(点N在y轴右侧)，连接 ON、BN,当点F在线段OB上运动时，求 BON面积的最大值，并求出此时点 N的坐标；(4)连接AN ,当 BON面积最大时，在坐标平面内求使得BOP与 OAN相似(点B、O、P分别与点O、A、N对应)的点P的坐标.考点：二次函数综合题。专题：代数几何综合题。分析：(1)根据A、B两点坐标求直线 AB的解析式，令 x = 0,可求E点坐标；(2)设抛物线解析式为 y=ax2+bx+c,将A ( 2,

32、2) , B (6, 6) , O (0, 0)三点坐标代入，列方程组求a、b、c的值即可；(3)依题意，得直线 OB的解析式为y = x,设过N点且与直线 OB平行的直线解析式为 y =x+m ,与抛物线解析式联立，得出关于x的一元二次方程，当=0时， BON面积最大，由此可求m的值及N点的坐标；(4)根据N点的坐标及/ AON =/ OBP,可知直线 BP与y轴交于点(0, 30),可求直线 BP 的解析式，与抛物线解析式联立，可求P点坐标.解答：解：(1)设直线 AB解析式为y=kx+b,将 A ( 2, 2) , B (6, 6)代入，得2kb 26kb 61y 2x+3,令 x=0,

33、得 E (0, 3);(2)设抛物线解析式为y = ax2+bx+c ,将A ( 2, 2) , B (6, 6) , O (0, 0)三点坐标代入，得a4a 2b c 236a 6b c 6 ,解得 bc 0 c4120y = x2- - x； 42(3)依题意，得直线 OB的解析式为y = x,设过N点且与直线 OB平行的直线解析式为 y =x+m ,1 2 1联立 y 4 x 2x，得 x2 6x 4m = 0,当= 36+16m = 0 时， BON 面积最大， y x m解得 m = 一, x= 3, y =,即 N (3,);(4)依题意，得/ AON =Z OBP,则直线BP与y

34、轴交于点(0, 30),设直线BP的解析式y= kx+30 ,将B (6, 6)代入，得1 21 y = - 4x+30 ,联立y 4x I:解得y 4x 30x 20y 110P 点坐标为(一20, 110)点评：本题考查了二次函数的综合运用.根据已知条件求直线、抛物线解析式，再根据图形特 点，将问题转化为列方程组，利用代数方法解题.9.已知直线y=kx+3 (k<0)分别交x轴.y轴于A. B两点，线段 OA上有一动点 P由原点O 点A运动，速度为每秒 1个单位长度，过点 P作x轴的垂线交直线 AB于点C,设运动时间为 秒.(1)当卜=1时，线段OA上另有一动点 Q由点A向点O运动，

35、它与点P以相同速度同时出发， 当点P到达点A时两点同时停止运动(如图 1) .直接写出t=1秒时C. Q两点的坐标；若以Q. C. A为顶点的三角形与 AOB相似，求t的值.3(2)当k 时，设以C为顶点的抛物线y=(x+m)2+n与直线AB的另一交点为 D(如图2), 4求CD的长；设 COD的OC边上的高为h,当t为何值时，h的值最大？考点：二次函数综合题.专题：几何综合题.分析：(1)由题意得.由题意得到关于t的坐标.按照两种情形解答，从而得到答案.(2)以点C为顶点的抛物线，解得关于 t的根，又由过点 D作DELCP于点E,则/ DEC = /AOB=90°,又由 DECs

36、aob从而解得.先求得三角形COD的面积为定值，又由 RtAPCOsRt/XOAB,在线段比例中t为是，h最大.25解答：解：(1) C (1, 2) , Q (2, 0)由题意得：P (t, 0) , C (t, t+3) , Q (3t, 0)分两种情况讨论: 要使OC边上的高h的值最大，只要 OC最短，因为当 OCLAB时OC最短，此时 OC的长为，情形一：当 AQCsAAOB 时，/ AQC=/AOB=90° , CQXOA, CPXOA, 点P与点Q重合，OQ=OP,即 3 t=t,t=1.5情形二：当 AQCA AOB 时，/ ACQ=/AOB=90° ,OA=

37、OB=3. .A AOB是等腰直角三角形.ACQ也是等腰直角三角形:CPXOA ,. AQ=2CP,即 t=2 ( t+3)t=2满足条件的 t 的值是1.5秒或2秒.3(2)由题意得：C (t,-t 3)4以C为顶点的抛物线解析式是y= x t3,八，23,八3ct3,由xtt3=-3,444过点 D 作 DEL CP 于点 E,则/ DEC = /AOB=90°DE II OA-.Z EDC = /OAB人 c A 八 DECD33.,.A DEC A AOB.,. AO=4,AB=5, DE=x2 t t 一 一AOBA44CD = CD; CDDE BA 15AO 1615，

38、CD边上的图=，:,16及COD为定值./ BCO=90° / AOB=90° . COP=90° / BOC = / OBA又 CPXOA-. RtA PCOsRtOAB二，即 t=当t为36秒时，h的值最大.25点评：本题考查了二次函数的综合题，(1)由题意很容易知，由题意知P (t, 0) , C (t,t+3) , Q (3-t, 0)代入，分两种情况解答.(2)以点C为顶点的函数式，设法代入关于t的方程，又由 DECs aob从而解得.通过求解可知三角形COD的面积为定值，又由 Rt PCOsRtOAB,在线段比例中t为是，h最大.从而解答.10.如图，

39、在平面直角坐标系中，点A (10, 0),以OA为直径在第一象限内作半圆 C,点B是该半圆周上的一动点，连结 OB、AB,并延长AB至点D,使DB=AB,过点D作x轴垂线， 分别交x轴、直线OB于点E、F,点E为垂足，连结 CF.(1)当/AOB=30°时，求弧AB的长；(2)当DE = 8时，求线段EF的长；(3)在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与4AOB相似，若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由.考点：相似三角形的判定与性质；坐标与图形性质；勾股定理；弧长的计算；平行线分线段成 比例。专题：代数几何综合题。分析：(1)连接BC,由已知得/ AC

40、B=2/AOB=60 , AC= -AO=5 ,根据弧长公式求解；2(2)连接OD,由垂直平分线的性质得 OD=OA=10 ,又DE=8 ,在RtAODE中，由勾股定理求OE,依题意证明 OEFs DEA ,利用相似比求 EF ;(3)存在.当以点 E、C、F为顶点的三角形与 AOB相似时，分为当交点 E在O, C之间 时，由以点 E、C、F为顶点的三角形与 AOB相似，有/ ECF=/BOA或/ ECF= / OAB ,当交点 E在点C的右侧时，要使 ECF与ABAO相似，只能使/ ECF= / BAO ,当交点E在点O的左侧时，要使 ECF与ABAO相似，只能使/ ECF= / BAO ,

41、三种情况，分别求E点坐标.【解】（1）连结BC,A (10, 0) ,. .OA=10,CA=5, / AOB=30°, ./ ACB=2Z AOB=60° , 弧AB的长=605 ；4分1803(2)连结OD,. OA 是。C 直径，./ OBA=90°,又 AB=BD,OB是AD的垂直平分线，OD=OA=10,在 RtAODE 中，OE=.OD2 DE2,102 82 6,AE=AO-OE= 10-6=4,由/ AOB=/ADE=90°-/OAB, /OEF=/DEA,AEDEEFOEr 4，即一8EFEF=3;得 OEFs DEA,(3)设 OE=

42、x,当交点E在O, C之间时，由以点 E、C、F为顶点的三角形与 AOB 相似，有/ECF = /BOA 或/ ECF=/OAB,当/ ECF = /BOA时，此时 OCF为等腰三角形，点 E为OC中点，即OE=5 ,2Ei (5, 0);2当/ ECF = /OAB 时,有 CE=5-x,AE=10-x,CF / AB,有 CF=-AB , 2 ECFA EAD,CEAE生即二AD 10 x110，解得：x ,43OCOE . CEFA AED,CFCEADAEHOC而 AD=2BE,.-.2OECEAE即-5-2x三上，解得10 xXi5 17LX25 5.17.< 0（舍去），55

43、 17 八、，0);4当交点E在点O的左侧时,. / BOA=Z EOF>Z ECF.要使 ECF与 BAO相似,只能使/ECF = / BAO、,，1 -连结 BE,得 BE=AD=AB, 2/ BEA = Z BAO ./ ECF = Z BEA,CF / BE,当交点E在点C的右侧时,. / ECF>Z BOA,要使 ECF与 BAO相似，只能使/连结BE,BE为RtAADE斜边上的中线,BE=AB=BD, ./ BEA=/BAO, ./ BEA=/ECF,CF.CF / BE,/. BE. / ECF = Z BAO,Z FEC=Z DEA=RtZ ,CF ocBE OE又

44、. / ECF=/BAO,/FEC = /DEA=Rt/,CFAD 'CE . CEFA AED, AE而 AD=2BE,.1. -°C- CE2OE AE5x+5，解得Xi2x 10+x点E在x轴负半轴上,.E45 5,175 517-,X2 < 0 (舍去)，55 17 八、，0),4综上所述：存在以点E、C、F为顶点的三角形与 AOB相似，此时点E坐标为:0).4分【思路分析】(1)要求弧AB的长，半径为5,只要知道圆心角的度yD2EA xCOl 5 5.175 5.17E3 (, 0)、E4 (,数，连结BC,根据圆心角的度数与它所对的弧所对的圆周角的倍，丁./

45、ACB=2/AOB=60° ,可得.,弧 AB 的长=605180(2)连结OD,先证/OAD是等腰三角形, .OD=OA=10,解直角三角形 RtODE中,得 OE= OD2 DE2102 82 6,AE=AO-OE= 10-6=4,由 OEFs DE 求出 EF=3。(3)分三种情况讨论：设 OE=x,当交点 E在O,C之间时，CEF=/OBA=90有两种情况:当/ECF=/BOA, RtECFsRtBOA此时 OCF为等腰三角形，点 E为OC中点，即5OE=5,得2当/ ECF=/OAB 时，RtECFsRtAOB有 CE=5-x,AE=10-x,可得 ECFA EAD,CE

46、CF H 5 x 1 丘/口 ，即，解得:AE AD 10x410x 一3E2 (90);3当交点E在点C的右侧时，只能/ECF=/BAO, Rt/ECFsRt/BAO因为BE为RtAADE斜边上的中线,力BAE是等腰三角形，因为等边对等角/BEA=/BAO, .BEA=CF OCOCFs/oeb, BE OE可证 CEFs AED,又 AD=2BE,可解得x15 5,174 一 ,x25 5, 17 人上v 0 （舍去），4匚 / 5 517 E3 （， 0）；4当交点E在点。的左侧时，只能使/ ECF = Z BAO1一 一RtA ECFRtABAO,连结 BE,得 BE=- AD =AB

47、, 2BEA=/BAO .ECF=/BEA,CF / BE,CF OCBE OECE可证 CEFA AED, CEAECFADOC CE又 AD=2BE,，2OE AE可解得x15 5,174"25 5.17 人上<0 （舍去）4点E在x轴负半轴上,.E455.17 c、，0）,4综上所述：存在以点 E、C、F为顶点的三角形与 AOB相似，此时点E坐标为:510E1 （-, 0）、E2 （一，0）、E3 （235 5.175 5,17 小,0）、 E4 （, 0）.C.BQ点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理的运用，圆周角定理，弧长公式的运用.关键是理解题意，根据基

48、本条件，图形的性质，分类求解.11.抛物线y=(x-1) 2+3与y轴交于点A,顶点为B,对称轴BC与x轴交于点(1)如图1 .求点A的坐标及线段 OC的长;(2)点P在抛物线上，直线 PQ/ BC交x轴于点Q,连接BQ.若含45。角的直角三角板如图 2所示放置.其中，一个顶点与点C重合，直角顶点上，另一个顶点 E在PQ上.求直线BQ的函数解析式;若含30.角的直角三角板一个顶点与点C重合，直角顶点 D在直线BQ上，另一个顶点PQ上，求点P的坐标.考点：二次函数综合题。专题：综合题。分析：(1 )把x=0代入抛物线求出y的值确定点 A的坐标，求出抛物线的对称轴得到OC的长.(2)由 CDE是等

49、腰直角三角形，分别过点D作x轴和PQ的垂线，通过三角形全等得到/DQO=45，求出点Q的坐标，然后用待定系数法求出BQ的解析式.分点P在对称轴的左右两边讨论，根据相似三角形先求出点Q的坐标，然后代入抛物线求出点P的坐标.解答：解：(1)把x=0代入抛物线得：y=, ，点 A (0,).抛物线的对称轴为 x=1 ,OC=1 .(2)如图:B (1 , 3)分别过点 D作DM，x轴于M , DN，PQ于点N ,PQ II BC , . / DMQ= / DNQ= / MQN=90 ,DMQN是矩形. A CDE是等腰直角三角形，DC=DE , / CDM= / EDN . CDM 9A EDNDM

50、=DN ,DMQN是正方形， / BQC=45CQ=CB=3 .Q (4, 0)设BQ的解析式为：y=kx+b ,把 B (1, 3) , Q (4, 0)代入解析式得：k= 1, b=4.所以直线BQ的解析式为：y= x+4 .当点P在对称轴右侧，如图:过点D作DM，x轴于M , DN，PQ于N , / CDE=90 , . CDM= /EDN . CDM EDN当/ DCE=30DCDEDMDN又 DN=MQDM=MQBC=,BC=3 , CQ=CQQ (1 + , 0)1- P1 ( 1+ ,)当/ DCE=60 ,点 P2 (1+3 3 3 ,)当点P在对称轴的左边时，由对称性知:P3 ( 1 一 , ) , P4 ( 1 3,一)综上所述：P1 (1+, ) , P2 (1+3, -) , P3 (1-, ) , P4 (1-3,-)点评：本题考查的是二次函数的综合题，（1）利用抛物线与y轴的交点及对称轴求出点A的坐标和OC的长.（2）利用三角形全等确定