2020年中考数学二轮复习重难题型突破类型五二次函数与特殊平行四边形判定问题

1、类型五二次函数与特殊平行四边形判定问题2.1例1、如图，抛物线y x2 bx c与直线y x 2交于C,D两点，其中点C在y轴 2上，点D的坐标为(3,7)。点P是y轴右侧的抛物线上一动点， 过点P作PE x轴于点E , 2交CD于点F .(1)求抛物线的解析式;(2)若点P的横坐标为m,当m为何值时，以O,C,P,F为顶点的四边形是平行四边形?请说明理由。31一【解析】(1)二.直线y -x 2经过点C,C(0,2)27;抛物线 yx2 bx c经过点 C(0,2) , D (3,一)2323b c7.抛物线的解析式为y x2 -x 22(2)二,点P的横坐标为 m且在抛物线上27 L, 1

2、 P(m, m m 2), F(m,-m 2) PF / CO，当PF CO时，以O,C, P,F为顶点的四边形是平行四边形2712当0 m 3 时，PF m - m 2 ( m 2) m 3m2m 3m 2,解得：m1 1, m2 2即当m 1或2时，四边形OCPF是平行四边形1272当 m 3时，PF (m 2) ( m -m 2) m 3m 2223 ,.173 、17 人，m 3m 2,解得：m , m2 (舍去)22.3 、17即当m1 一匚时，四边形OCFP是平行四边形2例2、如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点 A(- 1, 0)、B (3, 0),与y轴相交于点 C,

3、 点P为线段OB上的动点(不与 。B重合)，过点P垂直于x轴的直线与抛物线及线段 BC 分别交于点 E、F,点D在y轴正半轴上，OD=2连接DE OF.(1)求抛物线的解析式；【解析】解：(1)二点A ( - 1, 0)、B (3, 0)在抛物线y=ax2+bx+3上,.缶-"09a-F3b+3=0解得 a= - 1, b=2,，抛物线的解析式为：y= - x2+2x+3.(2)在抛物线解析式 y=-x?+2x+3 中，令 x=0,得 y=3,C ( 0, 3).设直线BC的解析式为y=kx+b ,将B (3, 0), C (0, 3)坐标代入得：f3k+b=0解得 k= - 1,

4、b=3,y= - x+3.设 E 点坐标为(x, -x+2x+3),则 P (x, 0) , F (x, - x+3), 22EF=yE- yF= - x +2x+3 - ( - x+3) =- x +3x.四边形ODE思平行四边形，EF=OD=2. . x2+3x=2,即 x2- 3x+2=0,解得x=1或x=2 ,.P点坐标为(1, 0)或(2, 0).12 ,_tan OCA 例3、如图，抛物线y ax bx 3与y轴交于点C,与X轴交于A、B两点，3 ,S ABC 6(1)求点B的坐标；(2)求抛物线的解析式及顶点坐标；(3)设点E在x轴上，点F在抛物线上，如果 A、C E、F构成平行

5、四边形，请写出点 E的坐标(不必书写计算过程)【解析】解：(1) y ax2 bx 3.C (0,3) 1 分1乂 - tan / OCA二一3 .A (1,0) 1分 又S A.ABCF61-3 AB 6.AB=4 1分.B (3,0) 1分(2)把 A (1,0)、B( 3,0)代入 y ax2 bx 3得:0 a b 3八 1分0 9a 3b 3a 1, b 2yx2 2x 3 2 分y (x 1)2 4.顶点坐标(1, 4) 1分(3)AC为平行四边形的一边时E1 析(1 , 0) 1 分E2(2 77 , 0) 1 分E3 ( 2 近,0) 1 分AC为平行四边形的对角线时E4 (3

6、, 0) 1 分2例4、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x+m)+n经过点A (3, 0)、B (0, - 3),点P是直线AB上的动点，过点 P作x轴的垂线交抛物线于点 M设点P的横坐标为t.(1)分别求出直线 AB和这条抛物线的解析式.(2)若点P在第四象限，连接 AM BM当线段PM最长时，求 ABM勺面积.(3)是否存在这样的点 P,使得以点P、M B O为顶点的四边形为平行四边形？若存在， 请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由.【解析】：2(1)分力1J利用待th系数法求两函数的斛析式：把A (3, 0) B ( 0, -3)分力1J代入y=x +mx+n与y=kx+b,

7、得到关于 m n的两个方程组，解方程组即可；(2)设点P的坐标是(t, t-3),则M (t, t2-2t-3),用P点的纵坐标减去 M的纵坐标 得到PM勺长，即PM= (t-3) - (t2-2t- 3) =-t2+3t,然后根据二次函数的最值得到当t = -=3时，PM最长为 上 二 9,再利用三角形的面积公式利用24及 ABMfSaBPI+S APIMT算即可；(3)由PM/ OB根据平行四边形的判定得到当P的OB时，点P、M R O为顶点的四边形为平行四边形，然后讨论：当 P在第四象限：PM=O&3, PM最长时只有，所以不可能；当 P 在第一象限：PM=OB=3, (t2-2

8、t -3) - (t-3) =3;当 P在第三象限：PMOB=3, t2-3t=3, 分别解一元二次方程即可得到满足条件的 t的值.【答案】解：(1)把A (3, 0) B (0, - 3)代入y=x2+m)+n,得,口出3日解得产-2 ,所以抛物线的解析式是y=x2- 2x-3.- 3=nn=3VI X设直线AB的解析式是y=kx+b,把 A (3, 0) B (0, -3)代入 y=kx+b,得0=3k+b-3k=lb二-310(2)因为p在第四象限,所以直线AB的解析式是y=x-3;设点 P 的坐标是(t , t 3),则 M (t , t2-2t -3),所以(3)存在，理由如下:,即

9、 PM最长值为22PM= (t 3) ( t - 2t - 3) = - t +3t ,. PM/ OB，当PM=OB寸，点R M B、O为顶点的四边形为平行四边形，9当P在第四象限：PM=OB=3, PM最长时只有-,所以不可能有 PM=3. 当 P在第一象限：PM=O93, (t2- 2t - 3) - (t - 3) =3,解得 ti=l±，t2="爽1 (舍 2H I2|去)，所以P点的横坐标是一历;2当P在第三象限：PM=OB=3, t2-3t=3,解得ti=»121 (舍去)，t2=lZj/H,所以P点22的横坐标是3一国.2所以P点的横坐标是 生或2

10、1近122例5、如图，抛物线经过-5A( 1,0),B(5,0),C(0,万)三点.(1)求抛物线的解析式;(2)在抛物线的对称轴上有一点P,使PA+PC勺值最小，求点 P的坐标;(3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N,使以A,C,M,N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点 N的坐标；若不存在，请说明理由【解析】解：(1)设抛物线的解析式为a b c 0,根据题意，得25a 5b c 0,5c .21a 2,解得b 2,5 c2 125抛物线的解析式为： y x2 2x .22(3分)(2)由题意知，点A关于抛物线对称轴的对称点为点B,连接BC交抛物线的对称轴于点巳则P点即为

11、所求.设直线BC的解析式为y kx b ,5k由题意，得b0,解得1,25直线BC的解析式为1 -x2（6分）抛物线y 1x222x5的对称轴是，当x 2时，y3（7分）.点P的坐标是（2, 3）2（3）存在（i）当存在的点N在x轴的下方时，如图所示,（8分）四边形ACNM平行四边形,CN/ x 轴,点C与点N关于对称轴x=2对称，= C点的坐标为（0,（4, 2）. （11 分）5、 一，一 一， 一），点N的坐标为 2（II ）当存在的点N在x轴上方时，如图所示，作 N Hx轴于点H, .四边形 ACM N是平行四边形， AC M N , N M H CAO , RtACAO RtA N M