2020届全国各地高考试题分类汇编精讲版-三角函数与解三角形

1、2020届全国各地高考试题分类汇编三角函数和解三角形1. （2020北京卷）2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（4Day）.历史上，求圆周率"的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术'湘似.数学家阿尔卡西的方法是：当正 整数充分大时，计算单位圆的内接正6边形的周长和外切正6边形（各边均与圆相切的 正6边形）的周长，将它们的算术平均数作为24的近似值.按照阿尔卡西的方法，乃的近似值的表达式是（）.J . 3030A. 3" sin + tan Inn J1.60, 60,k""答案A/ . 30°30°B. 6 sin

2、+ tan inn工（. 60.60°D. on sin+ tan 【规律方法】计算出单位圆内接正6边形和外切正6边形的周长，利用它们的算术平均数 作为2江的近似值可得出结果.360060。【详细解答】单位圆内接正6边形的每条边所对应的圆周角为= ，每条边长为 n x 6 n2sin 亚 n30°所以，单位圆的内接正6边形的周长为12sin， n30030°单位圆的外切正6边形的每条边长为2 tan，其周长为12 tan nn.2行上2工”巴Z = 6（sin婴+ .g，则 2 n n"3叱+ 31北 故选：A.【点拨】本题考查圆周率"的近似值

3、的计算，根据题意计算出单位圆内接正6边形和外切 正6边形的周长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.2. （2020北京卷）若函数/（x） = sin（x + 0）+ cosx的最大值为2,则常数夕的一个取值为答案巳(2攵笈+巳,攵eZ均可) 22【规律方法】根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得 f (a) = cos? > + (sin + l)2 sin(x + 6),可得 Jcos，e + (sinq + l)' = 2 ,即可解出.【详细解答】因为 f (a) = cos esin x + (sin (p + l)cos x = Jcos2 3 +(sin 3 +

4、 1、sin (x + 8)，所以Jcos，(p + (sin q +1 )1= 2 ,解得sin夕=1,故可取0 =彳.故答案为： 22(2k;r + 2,keZ均可).2【点拨】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查 学生的数学运算能力，属于基础题.3. (2020北京卷)在aABC中，a + b = ll，再从条件、条件这两个条件中选择一个 作为己知，求：(I)。的值：(11) sinC和3c的而积.条件：c = 7,cosA = -y ；1 9条件：cos A = ,cos8 =. 816注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分.答案选择条件(

5、I ) 8 (II) sinC = , S = 60：2选择条件(I ) 6 (II) sinC = YZ, 8 = -. 44【规律方法】选择条件(I)根据余弦定理直接求解，(II)先根据三角函数同角关系求 得sin A，再根据正弦定理求sin C,最后根据三角形面积公式求结果：选择条件(I)先根据三角函数同角关系求得sinAsinB ,再根据正弦定理求结果，(II )根据两角和正弦公式求sinC,再根据三角形面积公式求结果.【详细解答】选择条件(I ) .c = 7,cosA = -g,a+b = llv a2 =b2 +c2 - 2bccosA a2 = (11-tz)2 +72 -2(

6、1(-g)/. a = 8(H ) / cos A = - , A e (0, tt) ：. sin A = Jl - cosA =77由正弦定理得：sin A sinC 4>/3 sinCS = basn C = -(11 8)x8x= 6/319选择条件(I)e. cos 71 = -, cos B = 一，A.B e (0, 816sin A = Jl cos' A =,sin B = Jl cos' B =816由正弦定理得：sin A sin 8_3a 5" 一16(ID sinC = sin(A + B) = sinAcos5 + sinBcosA

7、= x + xl = 81616 84S=sinC = l(ll-6)x6x = 【点拨】本题考查正弦定理、余弦定理，三角形面枳公式，考查基本分析求解能力，属中档 题.4. （2020全国1卷）设函数/（X）= COS（3X, + B）在一兀，汨的图像大致如下图，则犬X）的最6小正周期为（）7兀 B.63兀 D.2IOttA. 一94兀 C.3【规律方法】由图可得：函数图象过点一1,0）,即可得到cos（-士三3 + /卜0,结 <9/9 o /合（一充，。j是函数/（X）图象与，轴负半轴的第一个交点即可得到一m3 + * = -9'3即可求得。=二，再利用三角函数周期公式即可得

8、解.247r 1cosC0 + 6)【详细解答】由图可得：函数图象过点一丁，°|，将它代入函数/（x）可得：=0又（一 3二°|是函数/（、）图象与“轴负半轴的第一个交点所以一宁+ ? = 解3得：=2_ 2%_ 2%_ 44所以函数/（X）的最小正周期为方=三=?故选：c2【点拨】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中 档题.5. （2020全国 1 卷）已知。6（0,兀），且3cos2a-8cosa = 5,则sina=（）C. -D.好39答案A【规律方法】用二倍角 余弦公式，将已知方程转化为关于cosa的一元二次方程，求解得 出co

9、sa,再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.【详细解答】3cos2c 8cosc = 5 ,得6cos2 <z 8cosc 8 = 0，2即3cos22-4cosg-4 = 0，解得cos2 = -g或cosa = 2 （舍去）,又,： a e （0,乃）,，sin a - >/l - cos2 a = .故选：A.【点拨】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考 查计算求解能力，属于基础题.6.（2020全国2卷）若a为第四象限角，则（）A. cos2a>0B. cos2a<0C. sin2a>0D. sin2a<0答案D

10、【规律方法】由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可一【详细解答】方法一：由a为第四象限角，可得匹+ 2k/rvav2乃+ 24乃KeZ,2所以3万+4k;r<2a <4乃+ 4乃次eZ此时2a的终边落在第三、四象限及轴的非正半轴上，所以sin2av0 故选：D.方法二：当。=一巳时，cos2a=cos|；>0,选项B错误：（2兀1-<0 ,选项A错误;3 ）由。在第四象限可得：sina vO,cose >0,则sin2a = 2sinacosa<0,选项C错误,选项D正确：故选：D.【点拨】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等

11、知识，意在考 查学生的转化能力和计算求解能力.7. （2020全国 2 卷）4ABC 中，sin2J siir5 siii2C=sm5smC.（1）求 K：（2）若BC=3,求3c周长的最大值.答案（1）y：（2） 3 + 26.【规律方法】（1）利用正弦定理角化边，配凑出cosA的形式，进而求得4：（2）利用余弦定理可得到（AC + A8AC-A8 = 9,利用基本不等式可求得AC + AB的 最大值，进而得到结果.【详细解答】（1）由正弦定理可得：BC2-AC2-AB2=AC AB,2ACAB 2vAe(O.r), :.A = (2)由余弦定理得：BC2 = AC2 + AB2 -2AC-

12、 ABcosA = AC2 + AB2 + AC- AB = 9,即(AC + A8ACA8 = 9iACA84AC+AB（当且仅当AC = AB时取等号）,：. =(AC + ABy-AC-AB > (AC+ ABA( j =?AC + A8)t解得：AC + AB<2y/3 （当且仅当4C = A3忖取等号）, ABC周长L = AC + A8 + 8。< 3 + 2，.ABC周长的最大值为3 + 2.【点拨】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、 三角形周长最大值的求解问题：求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结 合基本不

13、等式构造不等关系求得最值.JC=4, BC=3,则 cos5=()28.（2020全国 3 卷）在中，cosC=-, 3A 1-9第 A 悟【规律方法】根据已知条件结合余弦定理求得A3,再根据cosB='"即可2 AB BC求得答案.2【详细解答】在aA6c中，cosC = -t AC = 4, BC = 3 3、2根据余弦定理：AB2 = AC2 + BC2 -2AC BC cosC.AB2 =42 +32 -2x4x3x-,3c n r I n AR1 + BC2 - AC2 9 + 9»161可得力&=9 , KJ AB = 3, Fh - cos 8

14、 =,2ABBC 2x3x39故cosB = l.故选：A.9【点拨】本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.9. (2020全国 3 卷)己知 2tan夕-tan(例尸7,则 tan2=()4A.-2B.-lC. 1D. 2答案D【规律方法】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案.【详细解答】V 2 tan <9 - tan I O + - = 7 , ?. 2tan6>-km 1 =7 , k 4 Jl-tanl9令/= tan8/wl,贝i2/-匚 =7,整理得产 + 4 = (),解得，=2,即tand = 2.故选：

15、1-rD.【点拨】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题.10. (2020全国3卷)关于函数/G) =sinx+一有如下四个命题：sinx®f(x)的图像关于y轴对称.f(x)的图像关于原点对称.f(X)的图像关于直线广工对称.2f(x)的最小值为2.其中所有真命题的序号是.答案【规律方法】利用特殊值法可判断命题的正误：利用函数奇偶性的定义可判断命题的正 误：利用对称性的定义可判断命题的正误：取-7工0可判断命题的正误.综合可得 出结论.【详细解答】对于命题，/ 所以，函数/(x)的图象不关于y轴对称，命题错误：对于命题，函数“X)的定义域为"Hk/r/e

16、Z,定义域关于原点对称,/(-x) = sin(-x) + -1- = -sinx- = -fsinx + U-/(x), sin(-x)sinx I sinxy仁卜”弓/呼卜-所以，函数/（X）的图象关于原点对称，命题正确:对于命题,12 )12 )1 17r- = COS X + . 7rCOSsin + x(2)25所以，函数/（X）的图象关于直线X = g对称，命题正确:对于命题，当一时，sinxvO,则/(x) = sinx +-v0<2 , sin x命题错误.故答案为：®.【点拨】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解,考查推理能力与计算能力, 属于中等

17、题.11. （2020江苏卷）已知sin?（£ + a） =g,贝ijsin2a的值是.43答案;【规律方法】直接按照两角和正弦公式展开，再平方即得结果.【详细解答】,sin2(+ a) = (-cosa + -sina)2 = (1 + sin2a) 42221 211二. 一（1 + sin 2a） =sin 2a = -，故答案为：一2333【点拨】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.12. （2020江苏卷）将函数）=3sin（2尸勺的图象向右平移;个单位长度，则平移后的图象 46中与T轴最近的对称轴的方程是.答案x =一苓【规律方法】先根

18、据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果.【详细解答】y = 3sin2(x-) + - = 3sin(2x-) 6412C 九 7T . z .、7 7T k 九 z f«.1 5Tz . f .2x + k7r(k £ Z)x + (k e Z) / k = 1 时 x -，故答案为:12 224224【点拨】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题.13.（2020江苏卷）在ZW5C中，角4 3, C的对边分别为4,6, c,已知“ =3工=夜.3 = 45。.（1）求sin。的值：4（2）在边8C上取一点。，使得cosNAOC

19、 =一不，求tanNDAC的值.Js2答案（1） sinC = -：（2） tan ADAC =.【规律方法】（1）利用余弦定理求得利用正弦定理求得sinC.（2）根据cosNAOC的值，求得sinNAOC的值，由（1）求得8sC的值，从而求得sinND4C,cosND4C的值，进而求得tanNDAC的值.【详细解答】（1）由余弦定理得=/+c22accosB = 9 + 2 2x3xJJxg = 5,所由正弦定理得出=，豆= sinC = ¥=4.471(2)由于cosZAOC = -, ZADCe ,4512,所以sinNAOC = JPcosZS?g.冗,所以 C e 0, ,

20、所以cosC = Jl -sin? C =>k 2 /5所以 sinZDAC = sin (7一 ZDAC) =sin(ZAPC + ZC)=sin ZADC - cos C+cos ZADC - sin C = -x- + 5541石 25/5x=525由于 ND4Ce 0.- 2，所以 cos NZMC = Jl sin? NQAC =所以 tan ZDAC =sin ZmC _ 2cos Z.DAC 11【点拨】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角恒等变换，属于中档题.14. （2020新全国1山东）下图是函数）=sm（3x+。）的部分图像，则sin（3x+p）=（）

21、C. cos(2a + -) 6D./ 5冗 r、 cos( - -2x) 6【规律方法】首先利用周期确定口的值，然后确定。的值即可确定函数的解析式，最后利 用诱导公式可得正确结果.【详细解答】由函数图像可知：彳=;4一。=:，则。=-=2,所以不选A. 2 36 2 T n当._彳"十不 _5 乃时，y = - 2x +（p = + 2k7r（k eZ）, 2122 .解得：（p = 2k九+二冗（kwZ）,即函数的解析式为：y = sin 2x + tt + 2ktt i = sin 2x + + =cos 2x+ j = sin -lx . 3116 2116113yl而cos

22、2x + 6=cos( 2x)，故选：BC.o【点拨】己知兀r）=，4s加（3.丫+夕）">0, 3>0）的部分图象求其解析式时，比较容易看图得出，困难的是求待定系数出和9,常用如下两种方法：（1）由3= y即可求出3：确定0时，若能求出离原点最近的右侧图象上升（或下降）的“零点” 横坐标X0，则令3Xo + 0 = O（或3刈+夕=），即可求出牝（2）代入点的坐标，利用一些已知点（最高点、最低点或"零点'）坐标代入解析式，再结合图形 解出3和9,若对3的符号或对夕的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.15. （2020 新全国1山东）在址=&q

23、uot;,csinA = 3,c二这三个条件中任选一个， 补充在下而问题中，若问题中的三角形存在，求。的值；若问题中的三角形不存在，说明理 由.问题：是否存在A3C，它的内角A,3,C的对边分别为且sin A = JJsin8, C = 2, 6?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.答案详见解析【规律方法】解法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到的比例关系， 根据比例关系，设出长度长度，由余弦定理得到C的长度，根据选择的条件进行分析判断和 求解.解法二：利用诱导公式和两角和的三角函数公式求得/mN的值，得到角48,C的值，然后 根据选择的条件进行分析判断和求解.详细解

24、答解法一：由sin A = JJsin 3可得：，=后，不妨设a = 8,b = m（m> 0）,/T则：c2 =a2 +b2 -2ahcosC = 3m2 + m2 -2xy/3mxmx = nr ,即 c = m.2选择条件的解析：据此可得：= B = 此时c = 7 = l.j 3 A /«!it. II -r Zp. b + c c/ 厂 3厂 1选择条件的解析：据此可得：cos A =；= 2bc2m22选择条件的解析：可得;= " = 1，。= /九 与条件矛盾，则问题中的三角形不 b m存在.解法二：V sinA = f3sinB.C =，8 = /r

25、（4 + C）, 6:.sinA = a/Jsin（A + C）= >/3s sinA = Qsin（A + C）= >/3sinAi- + VJcosA” ，:.sinA =小cosA，二 tanA =价，A = ,B = C =36若选，ac =6，<。= 3b = /3c，, y/c2 =逐，二 c=l;若选，csiiiA = 3,则? = 3, c = 2;若选,与条件c = >/%矛盾.【点拨】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系.题 中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理.应用正、 余弦定理时，

26、注意公式变式的应用.解决三角形问题时，注意角的限制范围.16. (2020天津卷)已知函数/(x) = sin'x + g).给出下列结论：/(X)的最小正周期为2乃：(九、/彳是“X)的最大值：把函数y = sin X的图象上所有点向左平移1个单位长度，可得到函数y = /(X)的图象. 其中所有正确结论的序号是A.B.C.D. 0答案B【规律方法】对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可.【详细解答】因为/(x) = sin(x + f),所以周期7 =2=2乃，故正确；3co/() = sin(y + y) = sin1,故不正确：将函数3' = sinx的图象上所有点

27、向左平移个单位长度，得到y= sin(A + -)的图象，33故正确.故选：B.【点晴】本题主要考查正弦型函数的性质及图象的平移，考查学生的数学运算能力，逻辑分析那能力，是一道容易题.17. （2020 天津卷）在3c中，角48，。所对的边分别为已知a = 2y/2,b = 5,c = >/?3 .（I）求角。的大小；（II ）求sin A的值：（III）求sin' 24 + 巳 的值.I 4 J答案（回）。=巳：（回）sinA = ：（回）sin 2A + - 1 = 121.413I 4 J 26【规律方法】（匚）直接利用余弦定理运算即可：（_）由（口）及正弦定理即可得到答案

28、：（二）先计算出sin Acos A,进一步求出sin2A,cos 2A,再利用两角和的正弦公式计算即可一【详细解答】（匚）在A3C中，由。=2忘/=5,c = 及余弦定理得cosC = "-+“J = 8 + 2设13 =巫,又因为Ce（0/）,所以c=£:lab 2x2V2x52420叵2V13（二）在aA3c中，由C = 7， = 2",。=屈及正弦定理，可得., asinC sin A =2713:=13（）由。知角 A 为锐角，由 sinA = ¥3,可得 cos A = J1 - sii/A =125进而 sin 2A = 2sin Acos

29、 A = 一,cos 2A = 2cos2 A -1 = 一>/2 5 72 172+ x=213 2261313所 以 sin(2A + ) = sin 2A cos + cos 2A sin = x 444 13【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考 查学生的数学运算能力，是一道容易题.17 . （2020浙江卷）.己知tane = 2,则cos26=； tan（6>-）=.431答案 .一二(2).-【规律方法】利用二倍角余弦公式以及弦化切得cos26,根据两角差正切公式得tan（6-巳） 4【详细解答】cos2 = cos1 2 -sin2 0 =cos2 夕一sin，0 _ 1-tan2 0 _ 1-22cos? 6 +sin* 1 + tan2 0 1