结构力学教学-12结构的极限荷载课件

1、Dec. 2013东南大学土木工程学院东南大学土木工程学院第第1212章章 结构的极限荷载结构的极限荷载 0101主讲教师: 郭彤 孙泽阳结构力学教学-12结构的极限荷载第12章 结构的极限荷载概述概述极限弯矩和塑性铰极限弯矩和塑性铰静定梁的极限荷载；静定梁的极限荷载；超静定梁的极限荷载；超静定梁的极限荷载；比例加载的一般定理及应用比例加载的一般定理及应用结构力学教学-12结构的极限荷载弹弹性设计方法性设计方法：荷荷载卸去后，结构会恢复到原来形状载卸去后，结构会恢复到原来形状无任何残余变形无任何残余变形。（不能充分估计结构屈服后承载力，。（不能充分估计结构屈服后承载力，偏于保守和不经济）偏于保

2、守和不经济）塑性设塑性设计方计方法法：以结构破坏时的荷载作为标准（承载：以结构破坏时的荷载作为标准（承载力不再增加）力不再增加）第12章 结构的极限荷载12.1 12.1 概述概述uPuPPkFFF容许荷载极限荷载结构塑性分析结构塑性分析的主要任务的主要任务 yykmax结结构设计的两种基本方法：构设计的两种基本方法：弹弹性性设计方法；设计方法；塑性塑性设计方法设计方法yACByDoE)OA(弹性阶段Eyyy/)AB(塑性阶段()CD卸载时模量与弹性阶段相同，存在残余应变理想弹塑性材料结构力学教学-12结构的极限荷载极限荷载分析假定极限荷载分析假定 理想弹塑性材料假定； 小变形位移假定； 所有

3、荷载均为单调增加，不出现卸载 加载过程中，所有荷载保持固定比例比例加载MMhb12.2 极限弯矩、塑性铰和破坏机构极限弯矩、塑性铰和破坏机构MMhb1.1.弹性阶段弹性阶段ymaxE-应力应变关系应力应变关系yIMy/-应力与弯矩关系应力与弯矩关系yy线性关系线性关系中性轴通过中性轴通过形心形心，横截面上的横截面上的正应力正应力沿沿高度高度按按直线分布直线分布。MMhb2.2.弹塑性阶段弹塑性阶段中性轴附近处于弹性状态中性轴附近处于弹性状态，处于弹性的部分称为处于弹性的部分称为弹性核弹性核. .yyyy0y0y3.3.塑性流动（极限状态）阶段塑性流动（极限状态）阶段yy2=1.54uyybhM

4、M-塑性极限弯矩塑性极限弯矩( (简称为极限弯矩简称为极限弯矩) )ymaxyyyWyIMmax-最大弹性弯矩最大弹性弯矩( (屈服弯矩屈服弯矩) )yybhM62极限弯矩极限弯矩与外力无关与外力无关, ,只与材料的只与材料的物理性质物理性质和和截面几何形状截面几何形状、尺寸尺寸有关。有关。021AAyy2/21AAA中性轴亦为等分截面轴。中性轴亦为等分截面轴。)(212211SSaAaAMyyyu由此可得由此可得极限弯矩极限弯矩的计算方法：的计算方法：式中式中: :距离，的形心到等分截面轴的、为、2121AAaa对该轴的静矩。、为、2121AASS截面的形式系数）(5 . 1WWMMsyus

5、Wyymm80mm20100mm20mm解解: :2m0036. 0A122/ 20.0018mAAA令A A1 1形心距下端形心距下端0.045m,0.045m,A A2 2形心距上端形心距上端0.01167m,0.01167m,A A1 1与与A A2 2的形心距为的形心距为0.0633m0.0633m. .)(21SSMyukN.m36.270633. 02AyA A1 1A A2 2塑性铰塑性铰极限状态下：截面上正应力达到屈服极限，极限状态下：截面上正应力达到屈服极限，应力应力不再增大不再增大 正正应变可继续增加应变可继续增加，截面发生有限转动，截面发生有限转动形如一个铰链，称为形如一

6、个铰链，称为塑性铰塑性铰。塑性铰塑性铰与与普通铰普通铰的区别：的区别：1.1.塑性铰可承受极限塑性铰可承受极限弯矩弯矩; ;2.2.塑性铰是塑性铰是单向的单向的; ;3.3.卸载时消失卸载时消失; ;4.4.随荷载分布随荷载分布而而出现于不同截面出现于不同截面。uMuMMM结构由于出现结构由于出现塑性铰塑性铰而形成的机构称为而形成的机构称为破坏机构破坏机构。破坏机构破坏机构可以是整体性可以是整体性的，的，也可能是局部的也可能是局部的。破坏机构破坏机构静定结构静定结构无多余约束，出现无多余约束，出现一个塑性铰一个塑性铰即成为破即成为破坏机构。这时结构上的荷载即为极限荷载。坏机构。这时结构上的荷载

7、即为极限荷载。1. 1. 塑性铰出现的位置：塑性铰出现的位置：截面弯矩截面弯矩与与所所在截面在截面极极限弯限弯矩矩比值比值绝对值最大绝对值最大的截面。的截面。2. 2. 找出塑性铰发生的截面后，令该截面的弯矩等找出塑性铰发生的截面后，令该截面的弯矩等于极限弯矩，利用于极限弯矩，利用平衡条件平衡条件即可即可求出极限荷载求出极限荷载。12.3 静定结构的极限荷载静定结构的极限荷载结构力学教学-12结构的极限荷载F FP PAl/2l/2Bmm80mm2010020极限弯矩极限弯矩：12()19.646kM.muyMSS梁中最大弯矩梁中最大弯矩：max/ 4PMF l令令 ，得，得uMMmax44/

8、19.64619.646kN4PuuFMl解：解：212/ 20.0018mAAA令2m0036. 0AA A1 1形心距下端形心距下端0.045m,0.045m,A A2 2形心距上端形心距上端0.01167m,0.01167m,A A1 1与与A A2 2的形心距为的形心距为0.0633m0.0633m. .A A1 1A A2 2例：已知屈服应力为例：已知屈服应力为 。求极限荷载。求极限荷载。m4,cm/kN5 .232lyAl/2l/2Bmm80mm2010020解：解：极限弯矩为极限弯矩为kM.m646.19uM梁中最大弯矩为梁中最大弯矩为max/ 4PMF l令令 ，得，得uMMm

9、ax44/19.64619.646kN4PuuFMl若能判断出若能判断出塑性铰的位置塑性铰的位置，利用，利用极限状态的平衡极限状态的平衡可直接求出极限荷载。可直接求出极限荷载。ABuMC 0CM也可列也可列虚功方程虚功方程: :uMuMC本例中，截面上有剪力，本例中，截面上有剪力，剪力剪力会使极限弯矩值会使极限弯矩值降低降低，但一般，但一般影响较小，可略去不计。影响较小，可略去不计。24PuuBF llMR202PuulFM取取BCBC杆为脱离体杆为脱离体: :结构力学教学-12结构的极限荷载( )(10.5/ )uuMxMx lq例：变截面简支梁的极限弯矩为梁承受全跨均布荷载作用，求荷载集度

10、的极限值。1( )()2M xqx lx解：梁的各截面的弯矩 得令, 0)(/ )(xMxMdxdu22420620.4495xlxlxll2063262622lqMMMuu2020990. 8611276lMlMquuu塑性铰出现的位置：塑性铰出现的位置：截面截面弯矩弯矩与与所所在截面在截面极限弯极限弯矩矩比值比值绝对值绝对值最大的截面。最大的截面。结构力学教学-12结构的极限荷载超静定梁有多余约束，出现一个塑性铰后仍是几何不变体系。超静定梁有多余约束，出现一个塑性铰后仍是几何不变体系。F FP PAl/2l/2BCF FP PABC3/16PF l5/32PF l3/16APuMF lMA

11、截面先出现塑性铰，这时16/3PuFMlABPFC/ 4PFl5/32/ 4CPPMF lF l再增加荷再增加荷载（载（“简支梁简支梁”）令uCMM5/32/ 4uPPMF lF l将将F FP P代入，得代入，得516/ 4323uuPMM lF ll2/3PuFMl逐渐加载法逐渐加载法（增量法）（增量法）12.4.1 单单跨超静跨超静定梁的极限荷载定梁的极限荷载6/PuPPuFFFMl 从受力情况，可判断出塑性铰发生的位置应为从受力情况，可判断出塑性铰发生的位置应为A A、C C。利用。利用极限状态的极限状态的平衡平衡可直接求出极限荷载。可直接求出极限荷载。2ABuMF FPuPuCuM

12、0AM1()2BPuulRFMl416()2PuuuuFMMMll或列虚功方程或列虚功方程202PuuulFMM6PuuFMl极限平衡法极限平衡法F FP PAl/2l/2BCF FP PABC3/16PF l5/32PF lABPFC/ 4PFl2/3PuFMl6/PuPPuFFFMl 0CM242PuuuBF lMlMR结构力学教学-12结构的极限荷载 例例: :求图示等截面梁的极限荷载求图示等截面梁的极限荷载. .已知梁的极限弯矩为已知梁的极限弯矩为Mu。 0AM221xqxRMuBC 0CM)2(1uuBMllqlR221)2(xqxlMlquuu因为 是最大弯矩，CMAlBq 解解:

13、 : 梁中出现两个塑性铰即为破坏机构，根据弹性梁中出现两个塑性铰即为破坏机构，根据弹性分析，一个在分析，一个在A截面，设另一个在截面，设另一个在C截面。截面。RBABuMCuMxuq0dxdMC02xqlMlquuu)2(2xllMquu0222llxxlx)21(llx4142. 0) 12(uuMlq266.11而而最大弯矩亦等于最大弯矩亦等于Mu228uuqxM 由前面例题可见由前面例题可见: :若分析出若分析出塑性铰的位置塑性铰的位置，由结构的，由结构的极限状极限状态的平衡态的平衡即可求出极限荷载即可求出极限荷载。 同时也可推知超静定结构的同时也可推知超静定结构的极限荷载极限荷载与结构

14、的与结构的温度变化温度变化、支座移动支座移动等因素等因素无关无关。1PF2PF1q2q11PPFF22PPFF22PqF11PqF求极限荷载相当于求求极限荷载相当于求F FP P的极限值。的极限值。比例加载比例加载-作用于结构上的所有荷载按作用于结构上的所有荷载按同一比例同一比例增加，增加， 且且不出现卸载不出现卸载的加载方式。的加载方式。12.5 比例加载时判定极限荷载的定理比例加载时判定极限荷载的定理结构处于结构处于极限状态极限状态时，应同时满足下面三个条件：时，应同时满足下面三个条件：1.1.单向机构条件；单向机构条件；2. 2. 弯矩极限弯矩极限( ( 内力局限）条件；内力局限）条件；

15、3.3.平衡条件。平衡条件。可破坏荷载可破坏荷载-同时满足单向机构条件和平衡条件的荷载。同时满足单向机构条件和平衡条件的荷载。可接受荷载可接受荷载-同时满足弯矩极限条件和平衡条件的荷载。同时满足弯矩极限条件和平衡条件的荷载。PFPF极限荷载极限荷载既是既是可破坏荷载可破坏荷载又是又是可接受荷载。可接受荷载。1.1.基本定理：基本定理：可破坏荷载可破坏荷载恒不小于恒不小于可接受荷载。可接受荷载。比例加载时关于极限荷载的定理：比例加载时关于极限荷载的定理：PPFF证明：证明： 取任一可破坏荷载PF，给与其相应的破坏机构虚位移，列虚功方程，给与其相应的破坏机构虚位移，列虚功方程1nPuiiiFM 取

16、任一可接受荷载PF，在与上面相同虚位移上列虚功方程，在与上面相同虚位移上列虚功方程1nPiiiFM uiiMMPPFF2.2.唯一性定理：唯一性定理：极限荷载是极限荷载是唯一的。唯一的。12PuPuFF12PuPuFF3.3.上限定理（极小定理）：上限定理（极小定理）：极限荷载极限荷载是所有是所有可破坏可破坏荷载荷载中中最小的。最小的。证明：证明： 由于极限荷载 是可接受荷载，由基本定理PuFPuPFF4.4.下限定理（极大定理）：下限定理（极大定理）：极限荷载极限荷载是所有是所有可接受可接受荷载荷载中中最大的。最大的。证明：证明： 由于极限荷载 是可破坏荷载，由基本定理PuFPuPFF定理的

17、应用（定理的应用（1 1）：确定极限荷载的上下限PPuPFFF定理的应用（定理的应用（2 2）：确定极限荷载的近似值2PPPuFFF极小定理和极大极小定理和极大定理的应用定理的应用定理的应用（定理的应用（3 3）：求极限荷载的精确值列出所有可能所有可能的破坏机构破坏机构，用平衡条件求出这些破坏机构对应的可破坏荷载，其中最小者最小者既是极限荷载。穷举法穷举法：每次任选一种破坏机构，由平衡条件求出相应的可破坏荷载，再检验是否满足内力局限性条件检验是否满足内力局限性条件；若满足，该可破坏荷载既为极限荷载；若不满足，另选一个破坏机构继续运算。试算法试算法：极小定理的应用极小定理的应用唯一性定理的应用唯

18、一性定理的应用lFP2MullMuABCD某些截面超过某些截面超过了极限荷载了极限荷载Mu2Mu4Mu152uPuMFlF FP P 满满足的三个条件，足的三个条件，是极限荷载是极限荷载BCAD32ABCD23试算法试算法任选破坏机构，由平衡条件或虚功原理求出相应荷任选破坏机构，由平衡条件或虚功原理求出相应荷载，作出弯矩图，若满足内力局限条件，即为极限荷载载，作出弯矩图，若满足内力局限条件，即为极限荷载Mu2Mu23PF lFPAl/3l/3BCFPl/3D例：求图示等截面梁的极限荷载。极限弯矩为例：求图示等截面梁的极限荷载。极限弯矩为Mu 。解：解：1.1.用用穷举法穷举法求解求解共有三种可能的破坏机构：共有三种可能的破坏机构：（1 1）A A、B B出现塑性铰出现塑性铰323/2l3/l223033PPuullFFMM5PuFMl（2 2）A A、C C出现塑性铰出现塑性铰23033PPuullFFMM4PuFMl323/2l3/l23/l（3 3）B B、C C出现塑性铰出现塑性铰203P