场波教案-5恒定磁场52-117ppt

1、例例6 6 在具有气隙的环形磁心上紧密绕制在具有气隙的环形磁心上紧密绕制 N 匝线圈，匝线圈，如图所示。当线圈中的恒定电流为如图所示。当线圈中的恒定电流为 I 时，若忽略散时，若忽略散逸在线圈外的漏磁通，试求磁心及气隙中的磁通密逸在线圈外的漏磁通，试求磁心及气隙中的磁通密度及磁场强度。度及磁场强度。 解解 忽略漏磁通，磁通密度忽略漏磁通，磁通密度的方向沿环形圆周。由边界条件的方向沿环形圆周。由边界条件知，气隙中磁通密度知，气隙中磁通密度B Bg等于磁心等于磁心中的磁通密度中的磁通密度B Bf ，即，即fgBB fg0HH围绕半径为围绕半径为r0的圆周，利用安培的圆周，利用安培环路定律，且考虑到

2、环路定律，且考虑到 r0 a ， 可以认为线圈中磁场均匀分布，可以认为线圈中磁场均匀分布，则则 NIdrBdB) 2(0f0 g得得考虑到考虑到 ，得得 fgBB ) 2( 00 0 fgdrdNIeBBNId lH气隙中的磁场强度气隙中的磁场强度Hg 为为 ) 2( 00 0 ggdrdNIeBH磁芯中的磁场强度磁芯中的磁场强度 Hf 为为) 2( 00 0 ffdrdNIeBHXhyx = 0IO例例7 设一根载有恒定电流设一根载有恒定电流 I 的无限长导线与无限大的理想的无限长导线与无限大的理想导磁平面平行放置，如图示。导线与平面间的距离为导磁平面平行放置，如图示。导线与平面间的距离为

3、h ，试求上半空间任一点磁场强度。试求上半空间任一点磁场强度。 rhhPyx 0IH1H2H1H2HOrI 0解解 采用镜像法。设在镜像位置放置一根无限长的恒定采用镜像法。设在镜像位置放置一根无限长的恒定电流电流 I ，那么上半空间任一点合成磁场强度为，那么上半空间任一点合成磁场强度为 rIrI 2 221eeHHH由于理想导磁体表面的磁场强度的切向分量必须为零，由于理想导磁体表面的磁场强度的切向分量必须为零，因此为了满足这个边界条件必须要求因此为了满足这个边界条件必须要求I = I。因此合成磁场为因此合成磁场为 xyhyxhyhyxhyhyxxhyxxIeeH22222222)()( )()

4、(2对于边界上任一点，对于边界上任一点，y = 0，得，得 yhxxIeH)( 22 由此可见，所得结果满足前述的边界条件，即磁场由此可见，所得结果满足前述的边界条件，即磁场强度垂直于理想导磁体边界强度垂直于理想导磁体边界。 例例8 8 一根无限长的电流为一根无限长的电流为 I 的线电流，位于两种介的线电流，位于两种介质形成的无限大的平面边界附近，两种介质的磁导率质形成的无限大的平面边界附近，两种介质的磁导率分别为分别为 1 及及 2 ，试求两种介质中的恒定磁场。，试求两种介质中的恒定磁场。 I21= =+ +解解 设电流设电流 I 位于介质位于介质中，如下图所示。中，如下图所示。IH2I H

5、e e 1I e H 为了维持原有边界条件，求出的上半空间及为了维持原有边界条件，求出的上半空间及下半空间的场在边界上应满足恒定磁场的边界条下半空间的场在边界上应满足恒定磁场的边界条件，即件，即 。2n1n2t1t,BBHH IIII2 1 2 2 1 2 1 2I21= =+ +IH2I He e 1I e H IIIIII1 2 2 求得求得eH)( 2 1 2 1rI11 1HBee)(2)(221212 HrIrI22 2HB那么那么01HeHBrI 2 11 1此时，镜像电流此时，镜像电流 。这些结果与前例。这些结果与前例完全相同。完全相同。 0, III由此可见，若媒质为理想导磁体

6、，即由此可见，若媒质为理想导磁体，即 ，则则 1 7. 磁路磁路 高电导率的媒质（导体）可以汇聚电流高电导率的媒质（导体）可以汇聚电流用导线将电用导线将电源首尾相连，电流聚集在导线中形成回路，源首尾相连，电流聚集在导线中形成回路，即即电路电路。高磁导率的媒质可以汇聚磁场高磁导率的媒质可以汇聚磁场高磁导率材料在磁高磁导率材料在磁场中可以聚集磁场，形成磁通回路，场中可以聚集磁场，形成磁通回路，即即磁路磁路。磁通在磁路中流通与电流在电路中流通非常相似。磁磁通在磁路中流通与电流在电路中流通非常相似。磁路是构成诸如电机、变压器、电磁铁与继电器等器件路是构成诸如电机、变压器、电磁铁与继电器等器件的组成部分

7、。的组成部分。紧密缠绕的线圈所组成的螺线管紧密缠绕的线圈所组成的螺线管就构成简单的磁路。就构成简单的磁路。II磁性磁性材料材料空气隙空气隙漏磁通漏磁通边缘磁通边缘磁通当螺线管芯是具有极高磁导当螺线管芯是具有极高磁导率的材料，线圈仅在它的一率的材料，线圈仅在它的一小部分区域时，线圈产生的小部分区域时，线圈产生的磁通大部分仍在螺线管中环磁通大部分仍在螺线管中环流，只有一小部分则经由磁流，只有一小部分则经由磁路周围的空间完成闭合路径，路周围的空间完成闭合路径，这一小部分磁通称为这一小部分磁通称为漏磁通漏磁通。ILN（a）平均长度为）平均长度为L和截面积为和截面积为A的磁路的磁路Vm=NIL（b）等效

8、回路）等效回路磁路磁导率为磁路磁导率为。若线圈为。若线圈为N匝，载有电流匝，载有电流I，则外加的磁，则外加的磁动势（动势（mmf）Vm为为NI，其单位为安匝（，其单位为安匝（At）。dlHVlmNI若磁场强度在磁性材料内认为是均匀的，则若磁场强度在磁性材料内认为是均匀的，则LNIHB磁性材料内的磁感应强度为磁性材料内的磁感应强度为磁性材料内的磁通为磁性材料内的磁通为dlHVlmNIALVALNILNIABAdmS/SBmVNIHLALRm磁路中的磁通和所加的磁动势类似于电路中的电流和电磁路中的磁通和所加的磁动势类似于电路中的电流和电动势动势，定义分母为磁路的磁阻，用定义分母为磁路的磁阻，用Rm

9、表示，单位为表示，单位为H1磁路中的欧姆定律。磁路中的欧姆定律。mmVR 磁路磁路电路电路磁动势（磁动势（mmfmmf）（）（AtAt）电动势（电动势（emfemf）（）（V V）磁通磁通（WbWb）电流电流I I （A A）磁阻磁阻R Rmm（HH1 1）=L/(A)=L/(A)电阻电阻 R R（ ）=L/(A)=L/(A)若若磁路由磁路由n段材料组成，则段材料组成，则磁路与电路对应关系磁路与电路对应关系1nimimiRVi为第为第i段材料的磁通段材料的磁通，Rmi为第为第i段材料的磁阻。段材料的磁阻。miniiVLH1注意：注意：每一磁路总可用一个相应的等效回路来分析，每一磁路总可用一个相

10、应的等效回路来分析，但这仅仅适用于磁导率为常数的磁性材料。但这仅仅适用于磁导率为常数的磁性材料。用磁场强度用磁场强度H来表示来表示上两式类似于电路中的基尔霍夫定律。上两式类似于电路中的基尔霍夫定律。磁路分析基本上是两类形式的问题磁路分析基本上是两类形式的问题：第一类第一类：为在磁路中产生某定值的磁通量确定所需加为在磁路中产生某定值的磁通量确定所需加的的磁动势磁动势；第二类第二类：当当磁动势磁动势已知时，计算磁路内的磁感应强度已知时，计算磁路内的磁感应强度和磁通量。和磁通量。对于对于线性线性磁路，即磁导率是常数的磁路，可以用磁路，即磁导率是常数的磁路，可以用等效等效回路回路来求解。来求解。对于非

11、线性磁路，两类问题有所不同。对于非线性磁路，两类问题有所不同。(已知已知磁通量磁通量求磁动势）求磁动势）(已知磁动势求已知磁动势求磁通量磁通量）（1）分别计算每部分磁路的磁感应强度；）分别计算每部分磁路的磁感应强度；（2）由）由B-H曲线得出磁场强度曲线得出磁场强度H；（3）确定每部分磁路的磁位降；）确定每部分磁路的磁位降；（4）通过求解各部分磁位降之和得出所需的磁动势。）通过求解各部分磁位降之和得出所需的磁动势。 对于对于非线性非线性磁路，第一类问题：磁路，第一类问题：(已知已知磁通量磁通量求磁动势）求磁动势）（1）估计一段磁路的磁位降，计算出该段磁路的磁感应强估计一段磁路的磁位降，计算出该

12、段磁路的磁感应强度和磁通度和磁通；（2）根据磁通连续性的特点，可以计算其它磁路的磁感应根据磁通连续性的特点，可以计算其它磁路的磁感应强度和磁位降，从而得出所需要的强度和磁位降，从而得出所需要的磁动势；磁动势；（3）与给定的与给定的磁动势磁动势对比，如果误差较大，则再作一次估对比，如果误差较大，则再作一次估计，计，确定每部分磁路的磁位降；确定每部分磁路的磁位降；（4）继续迭代，直至计算出的磁动势与给定磁动势之间达）继续迭代，直至计算出的磁动势与给定磁动势之间达到允许误差范围，到允许误差范围，2%。对于对于非线性非线性磁路，第二类问题采用磁路，第二类问题采用迭代法迭代法：(已知磁动势求已知磁动势求

13、磁通量磁通量）例例9：横截面为正方形的电磁铁，具有横截面为正方形的电磁铁，具有1500匝密绕线圈。磁芯匝密绕线圈。磁芯的内半径与外半径分别为的内半径与外半径分别为10cm和和12cm。空气隙长为。空气隙长为1cm。若。若通过线圈的电流为通过线圈的电流为4A，磁性材料的相对磁导率为，磁性材料的相对磁导率为1200，求磁，求磁路中的磁感应强度。路中的磁感应强度。 解：解：由于磁性材料的磁导率由于磁性材料的磁导率为常数，外加为常数，外加磁动势磁动势已知，可以已知，可以用用磁阻法磁阻法来求磁芯内的磁感应强来求磁芯内的磁感应强度。度。平均半径为平均半径为11cm，磁性材料，磁性材料部分的平均磁路长度为部

14、分的平均磁路长度为 cmLm12.681112磁路的截面积与空气隙的截磁路的截面积与空气隙的截面积相同面积相同2422cmAAgmII磁性磁性材料材料空气隙空气隙每一区域的磁阻为每一区域的磁阻为WbAtRmm/129. 110410412001012.68472WbAtRmg/10894.191041041016472串联串联回路的总磁阻为回路的总磁阻为WbAtRRRmgmmm/10023.216磁路的磁通量为磁路的磁通量为WbRNIm6610402.28510023.2141500TBBmg714. 010410402.28546在空气隙或磁性材料区内在空气隙或磁性材料区内的磁感应强度为的磁

15、感应强度为ALRm8. 电磁感应定律电磁感应定律 由物理学知，穿过闭合线圈中的磁通发生变化时，线由物理学知，穿过闭合线圈中的磁通发生变化时，线圈中产生的感应电动势圈中产生的感应电动势 e 为为 tedd负号表示感应电流产生的磁场总是负号表示感应电流产生的磁场总是阻碍阻碍原磁场的原磁场的变化变化。感生电动势的参考方向感生电动势的参考方向引起磁通变化的原因分为三类引起磁通变化的原因分为三类：SBdtdtdeS 称为称为感生电动势感生电动势，这是变压器工作，这是变压器工作的原理，又称为变压器电势。的原理，又称为变压器电势。 回路不变，磁场随时回路不变，磁场随时间变化间变化感生电动势感生电动势lBVd

16、dtdel)( 称为称为动生电动势动生电动势，这是发电机，这是发电机工作原理，又称为发电机电势。工作原理，又称为发电机电势。 回路切割磁力线，磁场不变回路切割磁力线，磁场不变 动生电动势动生电动势SBlBVdtddtdeSl)( 磁场随时间变化，回路切割磁力线磁场随时间变化，回路切割磁力线 实验表明：感应电动势实验表明：感应电动势 与构成回路的材料性质无关与构成回路的材料性质无关（甚至可以是假想回路），只要与回路交链的磁通发生变（甚至可以是假想回路），只要与回路交链的磁通发生变化，回路中就有感应电动势。当回路是导体时，才有感应化，回路中就有感应电动势。当回路是导体时，才有感应电流产生。电流产生

17、。e 闭合线圈中产生感应电流意味着导线中存在电场推动闭合线圈中产生感应电流意味着导线中存在电场推动电荷运动，这种电场称为电荷运动，这种电场称为感应电场感应电场，以，以E 表示。感应电场表示。感应电场强度沿线圈回路的闭合线积分等于线圈中的感应电动势，强度沿线圈回路的闭合线积分等于线圈中的感应电动势，即即 tldd dlE又知又知 ，得，得SSB dSSBlEdd tl上式称为上式称为电磁感应定律电磁感应定律，它表明穿过线圈中的磁场变化时，它表明穿过线圈中的磁场变化时，导线中产生感应电场。导线中产生感应电场。它表明，它表明，时变磁场可以产生时变电时变磁场可以产生时变电场场。 根据斯托克斯定理，得根

18、据斯托克斯定理，得 0d)( SBEStt BE此为电磁感应定律的此为电磁感应定律的微分形式微分形式。它表明。它表明某点某点磁感应强度的磁感应强度的时间变化率时间变化率负负值等于值等于该点该点时变电场强度的旋度时变电场强度的旋度。 9. 电感电感 线性媒质中的单个闭合回路电流产生的磁感应强度与回路线性媒质中的单个闭合回路电流产生的磁感应强度与回路电流电流 I 成正比，所以穿过回路的磁通也与回路电流成正比，所以穿过回路的磁通也与回路电流 I 成正比。成正比。IL式中式中L 称为回路的称为回路的电感电感，单位为，单位为H （亨利）。由该定义可（亨利）。由该定义可见，电感又可理解为与单位电流交链的磁

19、通链。见，电感又可理解为与单位电流交链的磁通链。 与回路电流与回路电流 I 交链的磁通称为回路电流交链的磁通称为回路电流 I 的的磁通链磁通链，以，以 表示，令表示，令 与与 I 的比值为的比值为L，即，即 单个回路的电感仅与回路的单个回路的电感仅与回路的形状形状及及尺寸尺寸有关，与回路有关，与回路中中电流电流无关。无关。磁通链与磁通不同，磁通链与磁通不同，磁通链是指与某电流磁通链是指与某电流交链交链的磁通的磁通。与与N N 匝回路电流匝回路电流 I I 交链的磁通链为交链的磁通链为 = = N N 。INIL由由N N 匝回路组成的线圈的电感为匝回路组成的线圈的电感为与回路电流与回路电流 I

20、1交链的磁通链是由交链的磁通链是由两两部分部分磁通形成的，其一是磁通形成的，其一是 I1本身产本身产生生的磁通形成的磁通链的磁通形成的磁通链 11 ，另一，另一是是电流电流 I2 在回路在回路 l1中产生中产生的磁通形的磁通形成的磁通链成的磁通链 12 。 dl10zyxdl2l2l1I2I1r2 - r1r2r1与电流与电流 I I1 1 交链的磁通链交链的磁通链 1 1为为12111与电流与电流 I I2 2 交链的磁通链交链的磁通链 2 2为为22212dl10zyxdl2l2l1I2I1r2 - r1r2r1令令11111IL21212IML11称为回路称为回路 l1的的自感自感，M1

21、2称为回路称为回路 l2 对对 l1 的的互感互感。同理定义同理定义22222IL12121IML22 称为回路称为回路 l2的的自感自感，M21称为回路称为回路 l1对对 l2的的互感互感。 则则在线性均匀媒质中在线性均匀媒质中 2112MM因可以导出任意两个回路之间的互感公式为因可以导出任意两个回路之间的互感公式为 21 122121dd4llMrrll 12 211212dd4llMrrll考虑到考虑到 ，由上两式可见，由上两式可见，21121221,ddddrrrrllll2112MM21211112111IMIL22212122212ILIM 21 122121dd4llMrrll

22、12 211212dd4llMrrll由此两式还可见，若由此两式还可见，若 dl1与与 dl2处处保持垂直，则互处处保持垂直，则互感感 ；若处处保持平行，则互感；若处处保持平行，则互感 M 值达到最大。值达到最大。02112 MM 在电子电路中，如果需要增强两个线圈之间的耦合，在电子电路中，如果需要增强两个线圈之间的耦合，应彼此平行放置；若要避免两个线圈相互耦合，则应相互应彼此平行放置；若要避免两个线圈相互耦合，则应相互垂直。垂直。 互感可正可负互感可正可负，但，但自感始终应为正值。自感始终应为正值。自感计算的一般步骤：自感计算的一般步骤：),(0iLLLIBHA设设与回路交链的磁链由与回路交

23、链的磁链由该该回路的电流所产生，则磁回路的电流所产生，则磁链与回路电流的比值称为自感。链与回路电流的比值称为自感。 自感又分为内自感自感又分为内自感 Li 和外自感和外自感 L0 。0iLLLILii导体内部仅与部分电流交链的磁链与回路电流比值。导体内部仅与部分电流交链的磁链与回路电流比值。IL00导体外部闭合的磁链与回路电流的比值。导体外部闭合的磁链与回路电流的比值。 内磁链与外磁链内磁链与外磁链自感自感12121IM 回路回路2对回路对回路1的互感的互感21212IM2112MM 电流电流I I1 1 产生与回路产生与回路2 2交链的磁链交链的磁链A计算互感的一般步骤计算互感的一般步骤：设

24、设LdlA12121121111IMdISSBBH回路回路1对回路对回路2的互感的互感互感互感与回路交链的磁链由与回路交链的磁链由其他其他回路的电流所产生，则磁链回路的电流所产生，则磁链与回路电流的比值称为互感。与回路电流的比值称为互感。例例10 计算无限长直导线与矩形线圈之间的互感。设线圈与计算无限长直导线与矩形线圈之间的互感。设线圈与导线平行，周围媒质为真空，如图示。导线平行，周围媒质为真空，如图示。abdrrD0I1I2zS2解解 建立圆柱坐标系，令建立圆柱坐标系，令 z 轴方向与电轴方向与电流流 I1一致，则一致，则 I1 产生的磁感应强度为产生的磁感应强度为 eBrI 2101与线圈

25、电流与线圈电流 I I2 交链的磁通链交链的磁通链 21 为为 2d121SSB互感互感 M21 为为 DbDaIMln2012121可见可见 M21 0 。若线圈电流为。若线圈电流为逆时针逆时针方向时，则方向时，则B1与与dS 反向，反向， M21 为负。但在任何线性媒质中，为负。但在任何线性媒质中， M21 = M12 。 若线框电流如图所示的若线框电流如图所示的顺时针顺时针方向，则方向，则dS 与与B1方向方向相同。那么相同。那么bDDDbDaIrraI 101021ln2d12bcaO例例11 11 计算载有直流电流的同轴线单位长度内的电感。计算载有直流电流的同轴线单位长度内的电感。

26、解解 设同轴线内导体的半径为设同轴线内导体的半径为a a，外导体的内半径为外导体的内半径为b b，外半径为，外半径为c c，如图示。如图示。 在同轴线沿长度方向取一剖在同轴线沿长度方向取一剖面，沿长度方向为一面，沿长度方向为一矩形回路矩形回路。 IrcbaOdrIIe O同轴线单位长度的电感定义为同轴线单位长度的电感定义为 IL式中式中I I 为同轴线中的电流，为同轴线中的电流， 是单位长度内与电流是单位长度内与电流 I I 交链的磁通链。交链的磁通链。 该磁通链由三部分磁通形成：该磁通链由三部分磁通形成：外外导体中的磁通，导体中的磁通，内外导体内外导体之间之间的磁通以及的磁通以及内内导体中的

27、磁通。导体中的磁通。由于外导体通常很簿，穿过其内的磁通可以忽略。由于外导体通常很簿，穿过其内的磁通可以忽略。1) 已知已知内外导体之间内外导体之间的磁感应强度的磁感应强度 Bo 为为 eBrI20o该磁场形成的磁通称为该磁场形成的磁通称为外磁通外磁通，以，以 表示，则单位长度表示，则单位长度内的外磁通为内的外磁通为oabIrBbabaSmln2ddd0 o o ooreBSB该外磁通与电流该外磁通与电流 I 完全交链，故外磁通与磁通链相等。完全交链，故外磁通与磁通链相等。 2)内导体内导体中的磁感应强度中的磁感应强度 Bi 为为20i2 aIrBi这部分磁场形成的磁通称为这部分磁场形成的磁通称

28、为内磁通内磁通，以，以 表示。那么穿表示。那么穿过宽度为过宽度为dr的单位长度截面的内磁通的单位长度截面的内磁通 d 为为iraIrd2d20i220aIrdllB这部分磁通仅与内导体中自内导这部分磁通仅与内导体中自内导体轴线位置体轴线位置 0 至至 r 之间之间部分电流部分电流 I 交链，而不是与总电流交链，而不是与总电流 I 交链交链bcrcbaOdrIIeraIrIId2dd430ii由此求得内导体中的磁场对总电流由此求得内导体中的磁场对总电流 I 提供的磁通链提供的磁通链 i 为为aI 0 0ii8daIO3）与总电流与总电流 I 交链的总磁通链为交链的总磁通链为（o + i） ，因此

29、，同，因此，同轴线的单位长度自感为轴线的单位长度自感为8ln200io1abIL式中第一项称为式中第一项称为外自感外自感，第二项称为，第二项称为内自感内自感。 当同轴线工作于当同轴线工作于时变电磁场时变电磁场时，内外导体中的磁通皆时，内外导体中的磁通皆可忽略，只须考虑内外导体之间的磁通，同轴线单位长度可忽略，只须考虑内外导体之间的磁通，同轴线单位长度内的自感等于外自感，即内的自感等于外自感，即 abLln201例例 12 设传输线的长度为设传输线的长度为 , 试求图示试求图示两线传输线的自感。两线传输线的自感。l解：总自感解：总自感0iLL2LSB d00RDR0ldx)xD(21x21IRR

30、DlnIl0RRDlnlIL000HBeH0)xD(2Ix2II设设内自感内自感42,800lLlLii解法解法一一)(0LB由 两线传输线两线传输线设设z02z01RDRln2IRRDln2IIeAeAlAlAd2100lARRDlnlIL000解法二解法二)(0LA由RRDlnlI0 两线传输线的自感计算两线传输线的自感计算总自感为总自感为RRDllLLLiln42000若加入外源，回路中产生电流。在若加入外源，回路中产生电流。在电流建立过程中，回路中产生的反电流建立过程中，回路中产生的反磁通企图阻碍电流增长，为了克服磁通企图阻碍电流增长，为了克服反磁通产生反电动势，外源必须作反磁通产生反

31、电动势，外源必须作功。功。若电流变化非常缓慢，可以不计辐射损失，则外源输若电流变化非常缓慢，可以不计辐射损失，则外源输出的能量全部储藏在磁场中。出的能量全部储藏在磁场中。eIB10. 磁场的能量磁场的能量 设单个回路的电流从设单个回路的电流从零零开始逐渐缓慢开始逐渐缓慢地增加到地增加到最终值最终值 I I，因而回路磁通也，因而回路磁通也由零值逐渐缓慢地增加到最终值由零值逐渐缓慢地增加到最终值 。te dd感应（反）电动势为感应（反）电动势为eIB 为了克服这个反电动势，外源必须在回路中产为了克服这个反电动势，外源必须在回路中产生的电压生的电压 。eUteU dd即即若时刻若时刻 t t 回路中

32、的电流为回路中的电流为 i i( (t t) ) ，则此时刻回路中，则此时刻回路中的瞬时功率为的瞬时功率为 ttiUtitP dd)()()(在在d dt t 时间内外源作的功为时间内外源作的功为 d)(d)(d)(dtitittPW单个回路的磁通链与电流的关系为单个回路的磁通链与电流的关系为 。 )()(tLit 在线性媒质中，求得在线性媒质中，求得 d d t t 时间内外源作的功为时间内外源作的功为 iLtitiW d)(d)(d当回路电流增至最终值当回路电流增至最终值 I I 时，外源作的总功时，外源作的总功 W W 为为ILIitLiW 0 221d)(若以若以 WWmm 表示磁场能

33、量，那么表示磁场能量，那么2m21LIW 2m2IWL上式又可改写为上式又可改写为IW21mIL由于由于 对于对于 N N 个回路，可令各个回路电流均以个回路，可令各个回路电流均以同一比同一比例例同时由零值缓慢地增加到最终值。同时由零值缓慢地增加到最终值。NjNjjjjjjIMILIMIM2211 已知各回路磁通链与其电流之间的关系是线性已知各回路磁通链与其电流之间的关系是线性的，第的，第j j 个回路的磁通链个回路的磁通链 j j 为为式中式中I Ij j 为电流最终值。为电流最终值。第第 j j 个回路在时刻个回路在时刻 t t 的电流为的电流为jjItti)()(10NjjjNjjjIt

34、tiW11)()(ddd在在 d dt t 时间内，外源在时间内，外源在 N N 个回路中作的功为个回路中作的功为NjNjjjjjjIMILIMIM2211那么，在同一时刻该回路的磁通链为那么，在同一时刻该回路的磁通链为jNjNjjjjjjttiMtiLtiMtiMt)()()()()()(2211具有最终值电流的具有最终值电流的 N N 个回路产生的磁场能量为个回路产生的磁场能量为 101 mdNjjjIWNjjjIW1m21 当各个回路电流均达到最终值时，外源作的总当各个回路电流均达到最终值时，外源作的总功功 W W 为为WWd 已知回路磁通可用矢量磁位已知回路磁通可用矢量磁位 A A 表

35、示为表示为 ，因此第因此第 j j 个回路的磁通链可用矢量磁位个回路的磁通链可用矢量磁位 A A 表示为表示为 l dlA jlj d lA NjljjjIW1 md 21lA那么，那么，N N 个回路的磁场能量又可用矢量磁位表示为个回路的磁场能量又可用矢量磁位表示为VIddJl 若电流分布在体积若电流分布在体积V V中，电流密度为中，电流密度为J J，已知，已知 ，则上式变为体积分，此时磁场能量可以表示为则上式变为体积分，此时磁场能量可以表示为m1d2VWVA J对于面电流，则产生的磁场能量为对于面电流，则产生的磁场能量为 m1d2SSWSA J NjljjjIW1 md 21lA磁场能量的

36、分布密度磁场能量的分布密度已知已知 ， 则则JH VVVVWdHAdJAm2121由矢量恒等式由矢量恒等式 ，AHHAAH)(VVWVVd21d )(21 mAHAH对对 S 为半径无限大的球面，由高斯定理知，上式第一项为半径无限大的球面，由高斯定理知，上式第一项为为SAHAHd)(21d )(21 SVV式中式中V 为磁场所占据的整个空间。式中的被积函数即是磁为磁场所占据的整个空间。式中的被积函数即是磁场能量的分布密度。场能量的分布密度。 以小写字母以小写字母 wm 表示表示磁场能量密度磁场能量密度，则，则BH 21mw0d)( SAHS当电流分布在有限区域时当电流分布在有限区域时， ， ，

37、因此因此21rH rA1VVWVdBHdAHV m2121对各向同性的线性媒质，对各向同性的线性媒质， ，HB2m21Hw磁场能量与磁场强度磁场能量与磁场强度平方平方成正比，磁场能量也不符合叠加成正比，磁场能量也不符合叠加原理。原理。 例例1 计算同轴线中单位长度内的磁场能量。设同轴线中通过的恒定电流计算同轴线中单位长度内的磁场能量。设同轴线中通过的恒定电流为为 I ，内导体的半径为，内导体的半径为a ，外导体的厚度可以忽略，其半径为，外导体的厚度可以忽略，其半径为 b ，内外，内外导体之间为真空。导体之间为真空。 解解 已知同轴线单位长度内的电感为已知同轴线单位长度内的电感为abLln280

38、0因此，单位长度内同轴线中磁场能量为因此，单位长度内同轴线中磁场能量为 abIILIWln41621202021m 我们也可以通过磁场密度计算同轴线的磁场能量。已知内导体中的我们也可以通过磁场密度计算同轴线的磁场能量。已知内导体中的磁场强度为磁场强度为 20ii2 aIrBHbaOI 0因此内导体中单位长度内的磁场能量为因此内导体中单位长度内的磁场能量为16d2221d2120 0 2202imIrraIrVHWaV又知内外导体之间的磁场强度又知内外导体之间的磁场强度 H0 为为rIBH2000所以内外导体之间单位长度内的磁场能量为所以内外导体之间单位长度内的磁场能量为 abIrrHWbaln

39、4d22120 2000m单位长度内同轴线的磁场能量应为单位长度内同轴线的磁场能量应为 ，此结果与前式完全相同。，此结果与前式完全相同。 )(m0miWW已知已知 ，可见，通过磁场能量也可计算电感。，可见，通过磁场能量也可计算电感。2m2IWL 11. 磁场力磁场力 讨论两个任意形状的电流回路之间的作用力。讨论两个任意形状的电流回路之间的作用力。 dl1Ozyxdl2l2l1I2I1r2 - r1r2r1由回路电流由回路电流I1 产生的磁场产生的磁场 B1对于电流元对于电流元 I2dl 的作用力的作用力 dF21为为12221ddBlF I电流电流 I1 产生的磁感应强度产生的磁感应强度B1为

40、为1 312121101)(d4)(lIrrrrlrBB1对于整个回路对于整个回路 l2 的作用力的作用力F21 为为 1 2 312121122021)(dd4llIIrrrrllF 同理，回路电流同理，回路电流 I2 产生的磁场产生的磁场 B2 对于整个回路对于整个回路 l1 的的作用力作用力F12 为为 1 2 321212211012)(dd4llIIrrrrllF上述两式称为上述两式称为安培力定律安培力定律。 已知回路电流分布，利用安培定律可以计算回路之间已知回路电流分布，利用安培定律可以计算回路之间的磁场力。但是如果回路形状复杂，上述积分计算是很困的磁场力。但是如果回路形状复杂，上述积分计算是很困难的，甚至无法求得严格的解析表达式。难的，甚至无法求得严格的解析表达式。 为了计算磁场力，类似计算电场力一样，也可采用为了计算磁场力，类似计算电场