专题08数学归纳法与极限(原卷版)

1、专题08数学归纳法与极限专题点拨1 .数学归纳法证明问题有两个步骤：先证当n取第一个值n0时命题成立，然后假设当n=k(kCN*, k勘0)时命题成立，并利用假设证明当n=k+1时命题也成立，这两步缺一不可，要完整地书写.用数学归纳法证明的问题有：可以证明一些与正整数有关的命题，如数列求和公式，整除性和平面几何问题等.2 .数列的极限的四则运算，特别是掌握只有在数列an和bn的极限存在的条件下，才有四则运算，且数列运算性质是针对有限项数列运算的性质，不能推广至无限项.数列的三个基本极限：lim n一0°c= c, 1而n= 0, lim n>ooqn= 0(|q|< 1)

2、,它们是极限运算的基础，但是要区别，如果q是收敛的等比数列的公比时，0v|q|v1.计算数列极限的类型也有两种：一是根式型；二是分式型，它们都有自己的运算特点.无穷等比数列各项和的公式S= -a,可用于化循环小数为分数和解相应的应用题，这时关键是找出等1 q比数列的首项和公比，然后代入公式计算.真题赏析1. (2016上海)已知无穷等比数列的公比为q,前n项和为Sn,且Sn=S.下列条件中，使得 2Sn<S(nCN*)恒成立的是()A. a1>0, 0.6<q<0.7B. a1<0, -0.7<q<-0.6C. a1>0, 0.7<q<

3、;0.8D. a1<0, -0.8<q<-0.72. (2016上海)对于无穷数列an与bn,记 A=x|x=an,nCN*,B=x|x=bn,dCN*,nCN*,若同时满足条件： an, bn均单调递增；CAAB= C且ACB=N*,则称an与bn是无穷互补数列.(1)若an=2n 1, bn=4n-2,判断an与bn是否为无穷互补数列，并说明理由；(2)若an=2n且an与bn是无穷互补数列，求数列 bn的前16项的和；(3)若an与bn是无穷互补数列，an为等差数列且a16=36,求an与 bn的通项公式.【例 1】已知数列an满足：nan 2 1007(n 1同120

4、18(n 1)an(n N ),且 a1 1, a2 2,若lim 如【例3】观察下列式子:1 31 + 22<2,11 51+ 落 32<3 ,1117 + 27+ 32+ 42<0根据上述规律，第n个不等式应该为.【变式训练】数列2n1的前n项1,3, 7,，2n1组成集合An=1, 3,7,2n1(nCNj,从集合An中任取k(k=1, 2, 3,，n)个数，其所有可能的 k个数的乘积的和为 Tk(若只取一个数，规定乘积为此 数本身)，记 Sn=T1 + T2+ Tn,例如当 n=1 时，A1 = 1, T1 = 1, S1=1;当 n=2 时，A2=1, 3, T1

5、= 1 + 3, T2= 1 X3, S2= 1 + 3+ 1 X3= 7,试写出 Sn=.【例4】已知n为正整数，试比较 n2与2n的大小.【变式训练】已知fn(x)=(1 + 6n, nCN*.(1)若 g(x)= f4(x)+ 2f5(x)+3f6(x),求 g(x)中含 x2 项的系数;A,则 A1,，an),则a1的取值范围是2nan【例2】在无穷等比数列 陶中，lim(a1 a2 n巩固训练一、填空题1.无穷等比数列an的前n项和为Sn,若a 2,且S20152&0163s2017,则无穷等比数列an的各项和为2.已知数列an,其通项公式为an3n 1, n N * , a

6、n的前n项和为Sn,则limnSnngan3.已知数列an是首项为1，公差为2的等差数列，Sn是其前n项和,则limnSn-2 an4.若二项式(2x a)7的展开式中一次项的系数是 x2370,贝U lim(a a annxa )5.若数列an的前n项和Sn3n2 2n 1(n一 一*一anN )，则 lim n3n二、选择题n,n 2k6.数列an满足anak,n2k2013f 2012 ()A.22012B. 22013C. 42012D.201347.设 an1 .一 sin nn)Sn a125a2an，在 Sl,S2,S100中，正数的个数是(A. 25三、解答题8.是否存在常数如

7、，使等式1份对一切正整数盟成立？证明你的结论2?ii+ 39.若4和且分别表示数列口;和同前n项的和，对任意正整数抬，*2,4a-124 =13”(1)求数列I”的通项公式；(2)设有抛物线列 G, % ，抛物线6 (MEN,)的对称轴平行于y轴，顶点为('”，2lim也+&+/且通过点“°内十»,求点鼻且与抛物线&相切的直线斜率为&,求极限 咽 .10. (2019浦东新区三模)已知数列?满足？私+1 = -?+ 2?3?e ?，且0 < ?< 1.(1)求证：0 < ?< 1;(2)令?= lg(1 - ?丸且？=

8、5,试求无穷数列4的所有项和；(3)求证：? ?，当？?> 2时,2(? +?+?+? + ?) - (?彳？+ ?+ ? + ?2?-1 ?+ ?2?) < ?（2020?闵行区一模）计算:2.（2020?奉贤区一模）计算:3.（2020?浦东新区一模）lim n2一 3nlimn 1 3(2n 3n 2lim n 2n 123n2 1 1)4.（2020?静安区一模）计算 lim(1 0.9n)n5.（2020?普陀区一模）3n 12nlim nn 316.（2020?青浦区一模）已知数列an中，a 1,anan 11 ，一F(n 2N*)7. （2020?杨浦区一模）已知数列4的通项公式为ann1(2)(n, 2)(n 3)(n_ *.一 一 、， 一一N ） , Sn是数列an的前n项和,则 lim Snn8. （2020?松江区一模）在无穷等比数列an中，若lim（a 为 n、1an）-