【数学】2010年高考试题——数学(江西卷)(文)

1、绝密启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)文科数学本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，第I卷1至2页，第I【卷3 至4页，共150分。考生注意：1 .答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题 卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是 否一致。2 .第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。第I【卷用黑色墨水签字笔在答题卡 上作答。若在试题卷上作答，答案无效。3 .考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。参考公式S = 4%

2、R2其中R表示球的半径 球的体积公式V = -R33其中/?表示球的半径如果事件A, B互斥，那么球的表面积公式2(4 + 3)=2(A) + P(3)如果事件A, 8,相互独立，那么P(A 8) = P(A)尸(8)如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率E(k) = UpkQ-p)i一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。1 .对于实数见4C, “4”是的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要 条件【答案】B【解析】主要考查不等式的性质。当C=0时显然

3、左边无法推导出右边，但右边可以推出左边2 .若集合 A = x|x区 1 , B = 则 Ad8 =A. x|-l xljB. x|x20C. 1a|0 xX2的解集是A. (00,2)B. (0,4-00)C. (2,+cO)D. (yo,2)U(2,e)【答案】A【解析】考查含绝对值不等式的解法，对于含绝对值不等式主要是去掉绝对值后再求解，可 以通过绝对值的意义、零点分区间法、平方等方法去掉绝对值。但此题利用代值法会更好6 .函数y = siif x + sinx-l的值域为A. -1,1B, -,-1 C. -4D. -1,不【答案】C【解析】考查二次函数型值域问题。通过函数形状发现此函

4、数很像二次函数，故令smX = r 可得=尸+-1从而求解出二次函数值域7 .等比数列“中,4|=1,。5=-842，5。2，则 =A. (2)iB. (2T)c. (2) D. 一(2)”【答案】A【解析】考查等比数列的通项公式。用代特值法解决会更好8 .若函数)，=士的图像关于直线y = x对称，则。为1+XA. 1B. -1C. 1D.任意实数【答案】B【解析】考查反函数，因为图像本身关于直线)，= X对称故可知原函数与反函数是同一函数, 所以先求反函数再与原函数比较系数可得答案。或利用反函数的性质，依题知(1, a)与(a，1)皆在原函数图故可得a=-l9 .有位同学参加某项选拔测试，

5、每位同学能通过测试的概率都是p (0 p/3,/3 D. -1,0【答案】B【解析】考查相交弦问题。法一、可联立方程组利用弦长公式求IMNI再结合|MN|22可得答案法二、利用圆的性质知：圆心到直线的距离的平方加上弦长的一半的平方等于半径的 平方求出|MN|再结合|MN|2 2jT可得答案11 .如图，M是正方体ABC。AgGR的棱。R的中点，给出下列命题过M点有且只有一条直线与直线A3、与G都相交； 过M点有且只有一条直线与直线A3、与G都垂直； 过M点有且只有一个平面与直线A3、与G都相交； 过M点有且只有一个平面与直线A3、与G都平行. 其中真命题是：A. B. C.D. 【答案】C【解

6、析】考查立体几何图形中相交平行垂直性质12 .如图，四位同学在同一个坐标系中分别选定了一个适当的区间，各自作出三个函数 y = siii 2x,y = sin(x + ) , y = sin(x-2)的图像如下。结果发现其中有一位同学作出的图像有 63错误，那么有错误的图像是 【答案】C【解析】考查三角函数图像，通过三个图像比较不难得出答案C绝密启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学第n卷注意事项：第n卷2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题上作答，答案无效。二,填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。请把答案填在答题卡上13.已知向量，B满足向=2

7、,与5的夹角为60。，则后在上的投影是:【答案】1【解析】考查向量的投影定义，万在3上的投影等于B的模乘以两向量夹角的余弦值14 .将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴世博会的三个不同场馆服 务，不同的分配方案有 种（用数字作答）；【答案】90【解析】考查排列组合里分组分配问题，15点4%,齐）在双曲线土-L = l的右支上，若点A到右焦点的距离等 4 32于2%,则儿=；【答案】2【解析】考查双曲线的比值定义，利用点A到右焦点比上到右准线的距离等 于离心率得出兀=216 .长方体A5CQ AdGR的顶点均在同一个球面上，AB = AAl = l,= 则A, 8两点间的球面距

8、离为.【答案】- 3【解析】考查球面距离，可先利用长方体三边长求出球半径，在三角形中求出球心角，再利用球面距离公式得出答案三.解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 .（本小题满分12分）设函数 / (x) = 6x3 + 3(。+ 2)x2 + lax.(1)若/(x)的两个极值点为为,&，且4G=l，求实数的值;(2)是否存在实数，使得/(口是(-0,口)上的单调函数？若存在，求出。的值；若不存在，说明理由.【解析】考查函数利用导数处理函数极值单调性等知识解：fx) = 1 Sx2 + 6(a + 2)x + 2a(1)由己知有/(xj =/(a) =

9、 0,从而占三=二=1,所以4 = 9；18(2)由 = 36(。+ 2/-4x 18x2。= 36(a2 + 4) 0 ,所以不存在实数。，使得/(#是R上的单调函数.18 .(本小题满分12分)某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。首次到达此门，系统会随 机(即等可能)为你打开一个通道.若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、 3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门.再次到达智能门时，系统会随机打开 一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止. 求走出迷宫时恰好用了1小时的概率；(2)求走出迷宫的时间超过3小时的概率.【解析】考查数学知识的实际背景，重点考查相互独立事

10、件的概率乘法公式计算事件的概率、随机事件的数学特征和对思维能力、运算能力、实践能力的考查。解：设A表示走出迷宫时恰好用了 1小时这一事件，则P(A) = ；.(2)设B表示走出迷宫的时间超过3小时这一事件，则P(8) = ,6 6 6 219.(本小题满分12分)已知函数 /(x) = (1 + cotx)sm2 x-2sin(x + )sin(x-).44(1)若tana = 2,求/(a)；JI 7T(2)若,求/(x)的取值范围.1【解析】考查三角函数的化简、三角函数的图像和性质、三角函数值域问题。依托三角函数 化简，考查函数值域，作为基本的知识交汇问题，考查基本三角函数变换，属于中等题

11、.1 - cos2x 1 .一 一 + - sm 2x+cos 2xF解：(1) /(x) = sin、+ sinxcosx + cos2x =1- rr、1=(sin zx+cos zx) + -. c 2sinacosa2 tan a4由 tana = 2 得 sm 2a =；=；=-sir-。+cos-a 1 + taii- a 5c cos2 tz-sin2 a 1 - tan2 a 3 cos la = ；=；= -sin- tz + cos a 1 +tan- a 5(2)由(1)得/(x) = g(sin2x+cos2x) + g = sin(2x + 7)+ ；4由 x ，得

12、2x + / J,，所以 sin(2x + ) e -从而 /(x)=当 sin(2x + q)+ ； g 0, 20.（本小题满分12分）如图，A5CD与AWCD都是边长为2的正三角形，平面跖7。_1平 面 BCD, 46 _L 平面 BCD,AB = 2下.（1）求直线4W与平面6co所成的角的大小；（2）求平面ACM与平面BCD所成的二面角的正弦值.【解析】本题主要考查了考查立体图形的空间感、线面角、二面角、空间 向量、二面角平面角的判断有关知识，同时也考查了空间想象能力和推理 能力解法一：（1）取 CD 中点 0,连 08, 0M,则 OB_LCD, 0MLCD.又平面MC）_L平面S

13、CO,则M0_L平面8cO,所以M0/AB, A. 8、 0、M共面.延长AM、80相交于E,则N4E8就是4M与平面8CD所成的 角.0B=M0= /3 , M0/AB,则殷= L EO = O6 = GEB AB 2所以 EB = 2W=AB ,故 ZAE5 = 45.(2) CE是平面4cM与平面SCO的交线.由(1)知，。是8E的中点，则8CED是菱形.（2） CM =（-1,0.73）, 6 = （-1,一,2）.设平面ACM的法向量为4 =(x,y,z)，/T1C4- x+Gz = 0-x - y/3y + 2y/3z = 0.解得作8FJ_EC于F,连AF,则4F_LEC, N4

14、FB就是二面角4-EL8的平面角，设为夕 因为N8CE=120 ,所以N8CF=60 .BF = BC sin60 =3n AB .a 2小tan 0 =2 , sin 夕=BF5所以，所求二面角的正弦值是上正.5解法二：取CD中点0,连OB, 0M,则0B_LCD, 0MLCD,又平面MCD_L平面SCO,则M0_L平面5co.以0为原点，直线0C、80、0M为x轴，V轴，z轴，建立空间 直角坐标系如图.0B=0M= /3 ,则各点坐标分别为 0 (0, 0, 0), C (1, 0, 0),M (0, 0, 3)，8 (0, 一道，0), 4 (0, -G 20)，(1)设直线4M与平面8

15、C。所成的角为a.因AA/= (0, 6 JT),平面58的法向量为力=(0,0,1).21.(本小题满分12分)X=& , y = z，取)=(石,1,1).又平面BCD的法向量为3 = (0,(M),则已知抛物线q：/+力=尸经过椭圆C： 5+与=1（。0）的两个焦点.- a b-（1）求椭圆g的离心率；（2）设。（3/），又知,N为q与g不在），轴上的两个交点， 若bQMN的重心在抛物线G上，求G和g的方程.【解析】考查椭圆和抛物线的定义、基本量，通过交点三角形 来确认方程。解：（1）因为抛物线G经过椭圆g的两个焦点月（c,o），E（c,o）, 所以/+“0 = ，即由标=尸+/=2/得

16、椭圆C?的 离心率6 =乎.（2）由（1）可知标=2，椭圆G的方程为： 二+匚1 2b，b2联立抛物线q的方程x2 +力=/得：2y2-by-b2 = 0, 解得：y = g或）, = /,（舍去），所以=乎b, 即M（一半上一夕N（净,一夕，所以kQMN的重心坐标为（1,0）. 因为重心在G上，所以f+bx0 = /,得b = l.所以/=2.所以抛物线G的方程为：V + y = l,椭圆C.的方程为：一+）3=1.222.（本小题满分14分）正实数数列”中，%=1,4 = 5，且尤成等差数列.(1)证明数列q中有无穷多项为无理数：(2)当为何值时，明为整数,并求出使凡 243故 an- 2

17、4” 2 1.可2屋 1,与(an- 24”)(” + 24大)=1 矛盾，所以q=,1 + 24乂 (ksN)都是无理数，即数列q中有无穷多项为无理数；方法二：因为片+= 1 + 24，(eN),当的末位数字是3,4,8,9时，1+24的末位 数字是3和7,它不是整数的平方，也不是既约分数的平方，故此时1 = 4+24不是有 理数，因这种有无穷多，故这种无理项知+1也有无穷多.(2)要使。“为整数，由(4一 1)(/+ 1) = 24(一 1)可知:%-lq + 1同为偶数,且其中一个必为3的倍数,所以有牝1 = 6加或。” + 1 = 6加当。”=6m + 1 时，有=36/+127 +

18、1 = 1 + 127(36 + 1) ( m eN )又 7/7(3/77 +1)必为偶数，所以 a” = 6m + 1 ( e N )满足 a； = 1 + 24( - 1)即=，+ 1%(meN)时，。”为整数； 2同理。“ =6m一1(m N*)有。;=36L 一12？ + 1 = 1 + 12加( me N)也满足。；=1 + 24(一1),即=当二D + l (N)时，*为整数;显然=67-1(7 w N)和4 = 6? + 1 (?eN)是数列中的不同项；匚加(3机+ 1) 1 /、工n. z、/、n.5加,却所以当=-+ 1 CmeN )和=-+ 1 Une N )时，。为整数

19、;22由 an = 6m + 1 200 ( ？ e N )有 0 m 33，由 an = 6m-1 200 (m w N*)有 14根 33 .设见中满足勺/3 , 0), X (0, -/3 , 25/3 ),(1)设直线4M与平面8C。所成的角为a.因AA/= (0, JL -/3 ),平面58的法向量为=(0,0,1).(2) CM = (-1,0.73), GS = (-1,3,2回设平面acm的法向量为4 =（x,y,z），由,IL 1 CM ，一得 /l 1 CAf*1 .解得-X-y/3y + 2y/3z = 0 x= JJz , y = z，取E = (JJ,1,1).又平面

20、BCD的法向量为3 = (0,(M),则21.COS =设所求二面角为e,则sind =（本小题满分12分）解：（1）因为抛物线G经过椭圆G的两个焦点1（c,o）,A（c,o）,（2）由（1）可知标=2，椭圆c的方程为:二+汇=1 2b2 b2所以 c2+/?xO = Z?2,即由。2=+/=2/ 得椭圆 C?的联立抛物线G的方程x2 + by = 得：2y2 -by-b2 = 0,解得：） =一2或y = （舍去），所以=理人，22即m（- b-3）,N（旦上,所以bQMN的重心坐标为（1,0）.222因为重心在CJ,所以F+bx0 = ，得 =1.所以标=2.所以抛物线G的方程为：V + y = i,椭圆C.的方程为：一+）3=1.222.（本小题满分14分）证明：（1）由己知有：片=1 + 24（-1）,从而凡=,1+24（_1）,方法一：取 1 = 24”t,则q=a + 24乂(kwN*) 用反证法证明这些您都是无理数.假设q=J1 + 24乂为有理数，则。”必为正整数，且凡 24人,故 为 24* 2 1 4 - 24 1,与- 24*)(% + 24人)=1 矛盾，所以q=,1 + 24 乂 (kwN)都是无理数，即数列4中有无穷多项为无理数；方法二：因为总1 + 24，(w